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1、小学数学解题研究小学数学解题研究 高等师范院校数学教材教学资源包高等师范院校数学教材教学资源包小学数学解题研究小学数学解题研究小学数学解题研究小学数学解题研究抽屉原理抽屉原理课题解析核心提示典型例题教学策略小学数学解题研究小学数学解题研究 【课题解析】 知识点简介知识点简介 抽屉原理有时也被称为鸽笼原理，它由德国数学家狄利克雷首先抽屉原理有时也被称为鸽笼原理，它由德国数学家狄利克雷首先明确提出来并用来证明一些数论中的问题，因此，也被称为狄利克雷明确提出来并用来证明一些数论中的问题，因此，也被称为狄利克雷原则抽屉原理是组合数学中一个重要而又基本的数学原理，利用它原则抽屉原理是组合数学中一个重要而
2、又基本的数学原理，利用它可以解决很多有趣的问题，并且常常能够起到令人惊奇的作用。许多可以解决很多有趣的问题，并且常常能够起到令人惊奇的作用。许多看起来相当复杂，甚至无从下手的问题，在利用抽屉原则后，能很快看起来相当复杂，甚至无从下手的问题，在利用抽屉原则后，能很快使问题得到解决使问题得到解决小学数学解题研究小学数学解题研究 【课题解析】 容斥原理的定义容斥原理的定义（一）举例（一）举例 桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，有的抽屉可以放一个，有的可以放两个，有的可以放五个，但最终我有的抽屉可以放一个，有的可以放两个
3、，有的可以放五个，但最终我们会发现至少我们可以找到一个抽屉里面至少放两个苹果。们会发现至少我们可以找到一个抽屉里面至少放两个苹果。小学数学解题研究小学数学解题研究 【课题解析】 容斥原理的定义容斥原理的定义（二）定义（二）定义 一般情况下，把一般情况下，把n n1 1或多于或多于n n1 1个苹果放到个苹果放到n n个抽屉里，其中必定个抽屉里，其中必定至少有一个抽屉里至少有两个苹果。我们称这种现象为抽屉原理。至少有一个抽屉里至少有两个苹果。我们称这种现象为抽屉原理。小学数学解题研究小学数学解题研究 【课题解析】 容斥原理的定义容斥原理的定义（三）分类（三）分类（1 1）直接利用公式进行解题）直
4、接利用公式进行解题 求结论（例求结论（例1 1、例、例2 2、例、例3 3、例、例4 4） 求抽屉（例求抽屉（例5 5） 求苹果（例求苹果（例6 6）（2 2）构造抽屉利用公式进行解题（例）构造抽屉利用公式进行解题（例7 7、例、例8 8）小学数学解题研究小学数学解题研究 【核心提示】 抽屉原理的解题方案抽屉原理的解题方案（一）、利用公式进行解题（一）、利用公式进行解题苹果抽屉商苹果抽屉商余数余数余数：（余数：（1 1）余数）余数1 1， 结论：至少有（商结论：至少有（商1 1）个苹果在同一个抽屉里）个苹果在同一个抽屉里 （2 2）余数（）余数（1 1x xn n1)1)， 结论：至少有（商结
5、论：至少有（商1 1）个苹果在）个苹果在 同一个抽屉里同一个抽屉里 （3 3）余数）余数0 0， 结论：至少有结论：至少有“商商”个苹果在同一个抽屉里个苹果在同一个抽屉里小学数学解题研究小学数学解题研究 【核心提示】 抽屉原理的解题方案抽屉原理的解题方案（二）、利用最值原理解题（二）、利用最值原理解题将题目中没有阐明的量进行极限讨论，将复杂的题目变得非常简单，也将题目中没有阐明的量进行极限讨论，将复杂的题目变得非常简单，也就是常说的极限思想就是常说的极限思想“任我意任我意”方法、特殊值方法方法、特殊值方法小学数学解题研究小学数学解题研究【典型例题】例例1 1：只鸽子要飞进个笼子，每个笼子里都必
6、须有只，只鸽子要飞进个笼子，每个笼子里都必须有只， 一定有一个笼子里有只鸽子对吗？一定有一个笼子里有只鸽子对吗？解析：解析：6 6只鸽子要飞进只鸽子要飞进5 5个笼子，如果每个笼子装个笼子，如果每个笼子装1 1只，这样还剩下只，这样还剩下1 1只鸽子这只只鸽子这只鸽子可以任意飞进其中的一个笼子，这样至少有一个笼子里有鸽子可以任意飞进其中的一个笼子，这样至少有一个笼子里有2 2只鸽子所以这只鸽子所以这句话是正确的句话是正确的利用刚刚学习过的抽屉原理来解释这个问题，把鸽笼看作利用刚刚学习过的抽屉原理来解释这个问题，把鸽笼看作“抽屉抽屉”，把鸽子看作，把鸽子看作“苹果苹果”， 6 65 51.11.
7、1，1 11 12 2（只）把个（只）把个6 6苹果放到个苹果放到个5 5抽屉中，每个抽抽屉中，每个抽屉中都要有个苹果，那么肯定有一个抽屉中有两个苹果，也就是一定有一个笼子屉中都要有个苹果，那么肯定有一个抽屉中有两个苹果，也就是一定有一个笼子里有里有2 2只鸽子只鸽子小学数学解题研究小学数学解题研究小学数学解题研究小学数学解题研究小学数学解题研究小学数学解题研究小学数学解题研究小学数学解题研究【举一反三】1.1.教室里有教室里有5 5名学生正在做作业，现在只有数学、英语、语文、地理名学生正在做作业，现在只有数学、英语、语文、地理四科作业四科作业 试说明：这试说明：这5 5名学生中，至少有两个人
8、在做同一科作业名学生中，至少有两个人在做同一科作业解析：解析：将将5 5名学生看作名学生看作5 5个苹果个苹果 将数学、英语、语文、将数学、英语、语文、地理作业各看成一个抽屉，共地理作业各看成一个抽屉，共4 4个抽屉个抽屉 由抽屉原理，一由抽屉原理，一定存在一个抽屉，在这个抽屉里至少有定存在一个抽屉，在这个抽屉里至少有2 2个苹果即至个苹果即至少有两名学生在做同一科的作业少有两名学生在做同一科的作业小学数学解题研究小学数学解题研究【举一反三】2.2.某年级一班学雷锋小组有某年级一班学雷锋小组有1313人教数学的张老师说：人教数学的张老师说：“你们这个小组你们这个小组至少有至少有2 2个人在同一
9、月过生日个人在同一月过生日”你知道张老师为什么这样说吗？你知道张老师为什么这样说吗？解析：解析：在这个问题中，把什么当作抽屉，一共有多少个抽屉？在这个问题中，把什么当作抽屉，一共有多少个抽屉？从题目可以看出，这道题显然与月份有关我们知道，一年有从题目可以看出，这道题显然与月份有关我们知道，一年有1212个月，把个月，把这这1212个月看成个抽屉，这道题就相当于把个月看成个抽屉，这道题就相当于把1313个苹果放入个苹果放入1212个抽屉中个抽屉中根据抽屉原理，至少有一个抽屉放了两个苹果根据抽屉原理，至少有一个抽屉放了两个苹果因此至少有两个同学在同一个月过生日因此至少有两个同学在同一个月过生日题目
10、中并没有说明什么是题目中并没有说明什么是“抽屉抽屉”，什么是，什么是“物品物品”，解题的关键是制造，解题的关键是制造“抽屉抽屉”，确定假设的确定假设的“物品物品”，根据，根据“抽屉少，物品多抽屉少，物品多”转化为抽屉原理来解转化为抽屉原理来解小学数学解题研究小学数学解题研究【举一反三】3.3.用五种颜色给正方体各面涂色用五种颜色给正方体各面涂色( (每面只涂一种色每面只涂一种色) )，请你说明：，请你说明：至少会有两个面涂色相同至少会有两个面涂色相同解析：解析：五种颜色最多只能涂五种颜色最多只能涂5 5个不同颜色的面，因为正方体有个不同颜色的面，因为正方体有6 6个面，个面，还有一个面要选择这
11、五种颜色中的任意一种来涂，不管这个面涂成还有一个面要选择这五种颜色中的任意一种来涂，不管这个面涂成哪种颜色，都会和前面有一个面颜色相同，这样就有两个面会被涂哪种颜色，都会和前面有一个面颜色相同，这样就有两个面会被涂上相同的颜色。也可以把五种颜色作为个上相同的颜色。也可以把五种颜色作为个“抽屉抽屉”，六个面作为六，六个面作为六个物品，当把六个面随意放入五个抽屉时，根据抽屉原理，一定有个物品，当把六个面随意放入五个抽屉时，根据抽屉原理，一定有一个抽屉中有两个或两个以上的面，也就是至少会有两个面涂色相同一个抽屉中有两个或两个以上的面，也就是至少会有两个面涂色相同小学数学解题研究小学数学解题研究【典型
12、例题】例例2 2：“六一六一”儿童节，很多小朋友到公园游玩，在公园里他们各自儿童节，很多小朋友到公园游玩，在公园里他们各自遇到了许多熟人试说明：在游园的小朋友中，至少有两个小朋友遇到了许多熟人试说明：在游园的小朋友中，至少有两个小朋友遇到的熟人数目相等遇到的熟人数目相等解析：解析：假设共有假设共有n n个小朋友到公园游玩，我们把他们看作个小朋友到公园游玩，我们把他们看作n n个个“苹果苹果”，再把每个小朋友遇到的熟人数目看作再把每个小朋友遇到的熟人数目看作“抽屉抽屉”，那么，那么，n n个小朋友个小朋友每人遇到的熟人数目共有以下每人遇到的熟人数目共有以下n n种可能：种可能：0 0，1 1，2
13、 2，n-1n-1其中其中0 0的意思是指这位小朋友没有遇到熟人；而每位小朋友最多遇见的意思是指这位小朋友没有遇到熟人；而每位小朋友最多遇见n-1n-1个个熟人，所以共有熟人，所以共有n n个个“抽屉抽屉”小学数学解题研究小学数学解题研究【典型例题】例例2 2：“六一六一”儿童节，很多小朋友到公园游玩，在公园里他们各自儿童节，很多小朋友到公园游玩，在公园里他们各自遇到了许多熟人试说明：在游园的小朋友中，至少有两个小朋友遇到了许多熟人试说明：在游园的小朋友中，至少有两个小朋友遇到的熟人数目相等遇到的熟人数目相等解析：解析：下面分两种情况来讨论：下面分两种情况来讨论：、如果在这、如果在这n n个小
14、朋友中，有一些小朋友没有遇到任何熟人，这时其他个小朋友中，有一些小朋友没有遇到任何熟人，这时其他小朋友最多只能遇上小朋友最多只能遇上n-2n-2个熟人，这样熟人数目只有个熟人，这样熟人数目只有n-1n-1种可能：种可能：0 0，1 1，2 2，n-2n-2这样，这样，“苹果苹果”数数(n(n个小朋友个小朋友) )超过超过“抽屉抽屉”数数(n-1(n-1种熟人数种熟人数目目) )，根据抽屉原理，至少有两个小朋友，他们遇到的熟人数目相等，根据抽屉原理，至少有两个小朋友，他们遇到的熟人数目相等小学数学解题研究小学数学解题研究【典型例题】例例2 2：“六一六一”儿童节，很多小朋友到公园游玩，在公园里他
15、们各自儿童节，很多小朋友到公园游玩，在公园里他们各自遇到了许多熟人试说明：在游园的小朋友中，至少有两个小朋友遇到了许多熟人试说明：在游园的小朋友中，至少有两个小朋友遇到的熟人数目相等遇到的熟人数目相等解析：解析：、如果在这、如果在这n n个小朋友中，每位小朋友都至少遇到一个熟人，个小朋友中，每位小朋友都至少遇到一个熟人，这样熟人数目只有这样熟人数目只有n-1n-1种可能：种可能：1 1，2 2，3 3，n-1n-1这时，这时，“苹果苹果”数数(n(n个小朋友个小朋友) )仍然超过仍然超过“抽屉抽屉”数数(n-1(n-1种熟人数目种熟人数目) )，根据抽屉原理，根据抽屉原理，至少有两个小朋友，他
16、们遇到的熟人数目相等至少有两个小朋友，他们遇到的熟人数目相等 总之，不管这总之，不管这n n个小朋友各遇到多少熟人个小朋友各遇到多少熟人( (包括没遇到熟人包括没遇到熟人) )，必有两个小朋友遇到的熟人数目相等必有两个小朋友遇到的熟人数目相等小学数学解题研究小学数学解题研究【举一反三】1.1.五年级数学小组共有五年级数学小组共有2020名同学，他们在数学小组中都有一些朋友，名同学，他们在数学小组中都有一些朋友，请你说明：至少有两名同学，他们的朋友人数一样多请你说明：至少有两名同学，他们的朋友人数一样多解析：解析：数学小组共有数学小组共有2020名同学，因此每个同学最多有名同学，因此每个同学最多
17、有1919个朋友；又由于个朋友；又由于他们都有朋友，所以每个同学至少有他们都有朋友，所以每个同学至少有1 1个朋友因此，这个朋友因此，这2020名同学中，名同学中，每个同学的朋友数只有每个同学的朋友数只有1919种可能：种可能：1 1，2 2，3 3，1919把这把这2020名同学名同学看作看作2020个个“苹果苹果”，又把同学的朋友数目看作，又把同学的朋友数目看作1919个个“抽屉抽屉”，根据抽，根据抽屉原理，至少有屉原理，至少有2 2名同学，他们的朋友人数一样多名同学，他们的朋友人数一样多小学数学解题研究小学数学解题研究【举一反三】2.2.在任意的四个自然数中，是否其中必有两个数，它们的差
18、能被在任意的四个自然数中，是否其中必有两个数，它们的差能被3 3整除？整除？解析：解析：因为任何整数除以因为任何整数除以3 3，其余数只可能是，其余数只可能是0 0、1 1、2 2三种情形我们将三种情形我们将余数的这三种情形看成是三个余数的这三种情形看成是三个“抽屉抽屉”一个整数除以的余数属于哪一个整数除以的余数属于哪种情形，就将此整数放在那个种情形，就将此整数放在那个“抽屉抽屉”里将四个自然数放入三个抽里将四个自然数放入三个抽屉，至少有一个抽屉里放了不止一个数，也就是说至少有两个数除以屉，至少有一个抽屉里放了不止一个数，也就是说至少有两个数除以的余数相同（需要对学生利用余数性质进行解释：为什
19、么余数相同，的余数相同（需要对学生利用余数性质进行解释：为什么余数相同，则差就能被整除）这两个数的差必能被整除则差就能被整除）这两个数的差必能被整除小学数学解题研究小学数学解题研究【举一反三】解析：3.四个连续的自然数分别被3除后，必有两个余数相同，请说明理由把这四个连续的自然数分别除以3，其余数不外乎是0，1，2，把这3个不同的余数当作3个“抽屉” ，把这4个连续的自然数按照被3除的余数，分别放入对应的3个“抽屉”中，根据抽屉原理，至少有两个自然数在同一个抽屉里，也就是说，至少有两个自然数除以3的余数相同小学数学解题研究小学数学解题研究【典型例题】例例3 3：解析：任意给定 2008个自然数
20、，证明：其中必有若干个自然数，和是 2008的倍数(单独一个数也当做和)把这 2008 个数先排成一行：1a，2a，3a，2008a，第 1 个数为1a；前 2 个数的和为12aa；前 3 个数的和为123aaa；前 2008 个数的和为122008aaa小学数学解题研究小学数学解题研究【典型例题】例例3 3：解析：任意给定 2008个自然数，证明：其中必有若干个自然数，和是 2008的倍数(单独一个数也当做和)如果这 2008 个和中有一个是 2008 的倍数，那么问题解决；如果这 2008个和中没有 2008 的倍数，那么它们除以 2008 的余数只能为 1， 2，2007 之一，根据抽屉
21、原理，必有两个和除以 2008 的余数相同，那么它们的差(仍然是1a，2a，3a， ，2008a中若干个数的和)是 2008 的倍数 所以结论成立小学数学解题研究小学数学解题研究【举一反三】1.解析：求证：可以找到一个各位数字都是 4 的自然数，它是 1996 的倍数19964499，下面证明可以找到 1 个各位数字都是 1 的自然数，它是499 的倍数取 500 个数：1，11，111，1111（500 个 1） 用 499 去除这 500 个数，得到 500 个余数1a，2a，3a，500a由于余数只能取 0，1，2，498 这499 个值，所以根据抽屉原则，必有 2 个余数是相同的，小学
22、数学解题研究小学数学解题研究【举一反三】1.解析：求证：可以找到一个各位数字都是 4 的自然数，它是 1996 的倍数这 2 个数的差就是 499 的倍数，差的前若干位是 1，后若干位是 0：111000 又 499 和 10 是互质的， 所以它的前若干位由 1 组成的自然数是 499的倍数，将它乘以 4，就得到一个各位数字都是 4 的自然数，这是 1996 的倍数小学数学解题研究小学数学解题研究【举一反三】2.求证：对于任意的 8 个自然数，一定能从中找到6 个数a，b，c，d，e，f，使得（a-b） （c-d） （e-f）是 105 的倍数解析：105357对于任意的 8 个自然数，必可选
23、出 2 个数，使它们的差是 7 的倍数；在剩下的 6 个数中，又可选出 2 个数，使它们的差是 5 的倍数；在剩下的 4个数中，又可选出 2 个数，使它们的差是 3 的倍数小学数学解题研究小学数学解题研究【举一反三】3.解析：任给六个数字，一定可以通过加、减、乘、除、括号，将这六个数组成一个算式，使其得数为 105 的倍数根据上一题的提示我们可以写出下列数字谜()()()a b c d e f使其结果为105 的倍数，那么我们的思路是使第一个括号里是 7 的倍数，第二个括号里是 5 的倍数，第三个括号里是 3 的倍数，那么对于如果六个数字里有 7 的倍数，那么第一个括号里直接做乘法即可，如果没
24、有 7 的倍数，那么我们做如下抽屉：除以 7 的余数是 1 或者是 6除以 7 的余数是 2 或者是 5除以 7 的余数是 3 或者是 4小学数学解题研究小学数学解题研究【举一反三】3.解析：任给六个数字，一定可以通过加、减、乘、除、括号，将这六个数组成一个算式，使其得数为 105 的倍数那么六个数字肯定有两个数字在同一个抽屉里，那么着两个数如果余数相同，做减法就可以得到 7 的倍数，如果余数不同，做加法就可以得到 7 的倍数这样剩下的 4 个数中，同理可得后面的括号里也可以组合出 5 和 3 的倍数于是本题可以证明小学数学解题研究小学数学解题研究【典型例题】例4.解析：证明：在任意的 6 个
25、人中必有 3 个人，他们或者相互认识，或者相互不认识把这 6 个人看作 6 个点，每两点之间连一条线段，两人相互认识的话将线段涂红色，两人不认识的话将线段涂上蓝色，那么只需证明其中有一个同色三角形即可从这 6 个点中随意选取一点A，从A点引出的 5 条线段，根据抽屉原理，必有 3 条的颜色相同， 不妨设有 3 条线段为红色， 它们另外一个端点分别为B、C、D，那么这三点中只要有两点比如说B、C之间的线段是红色，那么A、B、C3点组成红色三角形；如果B、C、D三点之间的线段都不是红色，那么都是蓝色，这样B、C、D3 点组成蓝色三角形，也符合条件所以结论成立小学数学解题研究小学数学解题研究【举一反
26、三】1.解析：平面上给定 6 个点，没有 3 个点在一条直线上证明：用这些点做顶点所组成的一切三角形中， 一定有一个三角形， 它的最大边同时是另外一个三角形的最小边我们先把题目解释一下一般情况下三角形的三条边的长度是互不相等的，因此必有最大边和最小边在等腰三角形(或等边三角形中)，会出现两条边，甚至三条边都是最大边(或最小边)我们用染色的办法来解决这个问题分两步染色：第一步： 先将每一个三角形中的最大边涂上同一种颜色， 比如红色； 第二步，将其它的未涂色的线段都涂上另外一种颜色，比如蓝色小学数学解题研究小学数学解题研究【举一反三】1.解析：平面上给定 6 个点，没有 3 个点在一条直线上证明：
27、用这些点做顶点所组成的一切三角形中， 一定有一个三角形， 它的最大边同时是另外一个三角形的最小边这样，我们就将所有三角形的边都用红、蓝两色涂好根据上题题的结论可知， 这些三角形中至少有一个同色三角形 由于这个同色三角形有自己的最大边，而最大边涂成红色，所以这个同色三角形必然是红色三角形由于这个同色三角形有自己的最小边，而这条最小边也是红色的，说明这条最小边必定是某个三角形的最大边结论得证小学数学解题研究小学数学解题研究【举一反三】2.解析：假设在一个平面上有任意六个点，无三点共线，每两点用红色或蓝色的线段连起来，都连好后，问你能不能找到一个由这些线构成的三角形，使三角形的三边同色？从这 6 个
28、点中随意选取一点A，从A点引出的 5 条线段，根据抽屉原理，必有 3 条的颜色相同，不妨设有 3 条线段为红色，它们另外一个端点分别为B、C、D，那么这三点中只要有两点比如说B、C之间的线段是红色，那么A、B、C3 点组成红色三角形；如果B、C、D三点之间的线段都不是红色，那么都是蓝色，这样B、C、D3 点组成蓝色三角形，也符合条件所以结论成立小学数学解题研究小学数学解题研究【举一反三】3.解析：平面上有 17 个点，两两连线，每条线段染红、黄、蓝三种颜色中的一种，这些线段能构成若干个三角形证明：一定有一个三角形三边的颜色相同从这 17 个点钟任取一个点A，把A点与其它 16 个点相连可以得到
29、 16 条线段，根据抽屉原理，其中同色的线段至少有 6 条，不妨设为红色考虑这 6 条线段的除A点外的 6 个端点：、如果 6 个点两两之间有 1 条红色线段，那么就有 1 个红色三角形符合条件；、 如果 6 个点之间没有红色线段， 也就是全为黄色和蓝色， 由上面的 2 题可知，这 6 个点中必有 3 个点，它们之间的线段的颜色相同，那么这样的三角形就符合条件综上所述，一定存在一个三角形满足题目要求小学数学解题研究小学数学解题研究【典型例题】例5.解析：把 125 本书分给五班的学生，如果其中至少有一个人分到至少4 本书，那么，这个班最多有多少人？本题需要求抽屉的数量，需要反用抽屉原理和最“坏
30、”情况的结合，最坏的情况是只有 1 个人分到 4 本书，而其他同学都只分到 3 本书，则（1254 ）340.1，因此这个班最多有：401(人)(处理余数很关键，如果有 42 人则不能保证至少有一个人分到 4 本书)小学数学解题研究小学数学解题研究【举一反三】1.解析：某次选拔考试，共有 1123 名同学参加，小明说： “至少有 10 名同学来自同一个学校 ”如果他的说法是正确的，那么最多有多少个学校参加了这次入学考试？本题需要求抽屉的数量，反用抽屉原理和最“坏”情况的结合，最坏的情况是只有 10 个同学来自同一个学校，而其他学校都只有 9 名同学参加，则（112310）9123.6，因此最多
31、有：1231124 个学校(处理余数很关键，如果有125 个学校则不能保证至少有 10 名同学来自同一个学校)小学数学解题研究小学数学解题研究【举一反三】2.解析：100 个苹果最多分给多少个学生，能保证至少有一个学生所拥有的苹果数不少于12 个.从不利的方向考虑：当分苹果的学生多余某一个数时，有可能使每个学生分得的学生少于 12 个，求这个数. 100 个按每个学生分苹果不多于 11 个（即少于 12个）苹果，最少也要分 10 人（9 人 11 个苹果，还有一人一个苹果） ，否则 911100，所以只要分苹果的学生不多余 9 人就能使保证至少有一个学生所拥有的苹果数不少于 12 个（即多于
32、11 个）.答案为 9.小学数学解题研究小学数学解题研究【举一反三】3.解析：把十只小兔放进至多几个笼子里， 才能保证至少有一个笼里有两只或两只以上的小兔？要想保证至少有一个笼里有两只或两只以上的小兔，把小兔子当作“物品” ，把“笼子”当作“抽屉” ，根据抽屉原理，要把10只小兔放进 10-19 个笼里，才能保证至少有一个笼里有两只或两只以上的小兔小学数学解题研究小学数学解题研究【典型例题】例6.解析：班上有50名小朋友，老师至少拿几本书，随意分给小朋友，才能保证至少有一个小朋友能得到不少于两本书？把50名小朋友当作50个“抽屉” ，书作为物品把书放在50个抽屉中，要想保证至少有一个抽屉中有两
33、本书， 根据抽屉原理， 书的数目必须大于50， 而大于50的最小整数是 51，所以至少要拿51本书小学数学解题研究小学数学解题研究【举一反三】1.解析：班上有28名小朋友，老师至少拿几本书，随意分给小朋友，才能保证至少有一个小朋友能得到不少于两本书？老师至少拿29本书，随意分给小朋友，才能保证至少有一个小朋友能得到不少于两本书小学数学解题研究小学数学解题研究【举一反三】2.解析：有10只鸽笼，为保证至少有1只鸽笼中住有2只或2只以上的鸽子请问：至少需要有几只鸽子？有10只鸽笼，每个笼子住1只鸽子，一共就是10只要保证至少有1只鸽笼中住有2只或2只以上的鸽子 那么至少需要11只鸽子， 这多出的1
34、只鸽子会住在这10个任意一个笼子里这样就有1个笼子里住着2只鸽子所以至少需要11只鸽子小学数学解题研究小学数学解题研究【举一反三】3.解析：三年级二班有43名同学，班上的“图书角”至少要准备多少本课外书，才能保证有的同学可以同时借两本书？把43名同学看作43个抽屉，根据抽屉原理，要使至少有一个抽屉里有两个苹果，那么就要使苹果的个数大于抽屉的数量因此， “图书角”至少要准备44本课外书小学数学解题研究小学数学解题研究【典型例题】例7.解析：在一只口袋中有红色、黄色、蓝色球若干个，小聪明和其他六个小朋友一起做游戏，每人可以从口袋中随意取出2个球，那么不管怎样挑选，总有两个小朋友取出的两个球的颜色完
35、全一样你能说明这是为什么吗？从三种颜色的球中挑选两个球，可能情况只有下面6种：红、红；黄、黄；蓝、蓝；红、黄；红、蓝；黄、蓝，我们把6种搭配方式当作6个“抽屉” ，把7个小朋友当作7个“苹果” ，根据抽屉原理，至少有两个“苹果”要放进一个“抽屉”中，也就是说，至少有两个人挑选的颜色完全一样小学数学解题研究小学数学解题研究【举一反三】1.解析：在一只口袋中有红色与黄色球各 4 只，现有 4 个小朋友，每人从口袋中任意取出2 个小球，请你证明：必有两个小朋友，他们取出的两个球的颜色完全一样小朋友从口袋中取出的两个球的颜色的组成只有以下 3 种可能：红红、黄黄、红黄，把这 3 种情况看作 3 个“抽
36、屉” ，把 4 位小朋友看作 4 只“苹果” ，根据抽屉原理，必有两个小朋友取出的两个球的颜色完全一样小学数学解题研究小学数学解题研究【举一反三】2.解析：学校里买来数学、英语两类课外读物若干本，规定每位同学可以借阅其中两本，现有4位小朋友前来借阅，每人都借了2本请问，你能保证，他们之中至少有两人借阅的图书属于同一种吗？每个小朋友都借2本有三种可能：数数，英英，数英第4个小朋友无论借什么书，都可能是这三种情况中的一种，这样就有两个同学借的是同一类书，所以可以保证，至少有2位小朋友，他们所借阅的两本书属于同类【总结】此题如用简单乘法原理的话，有难度，因为涉及到简单加法原理，所以推荐使用列表法。与
37、之前不同的是，本题借阅的书只说了两本并没说其他要求，所以可以拿2本同样的书小学数学解题研究小学数学解题研究【举一反三】3.解析：11 名学生到老师家借书，老师的书房中有文学、科技、天文、历史四类书，每名学生最多可借两本不同类的书，最少借一本试说明：必有两个学生所借的书的类型相同设不同的类型书为、四种，若学生只借一本书，则不同的类型有、四种；若学生借两本不同类型的书，则不同的类型有 AB、AC、AD、BC、BD、CD 六种共有 10 种类型，把这 10 种类型看作 10 个“抽屉” ，把 11 个学生看作 11 个 “苹果” 如果谁借哪种类型的书， 就进入哪个抽屉，由抽屉原理，至少有两个学生，他
38、们所借的书的类型相同小学数学解题研究小学数学解题研究【典型例题】例8.解析：红、蓝两种颜色将一个25方格图中的小方格随意涂色（见下图） ，每个小方格涂一种颜色是否存在两列，它们的小方格中涂的颜色完全相同？ 第二行 第一行 第 五 列 第 四 列 第 三 列 第 二 列 第 一 列用红、蓝两种颜色给每列中两个小方格随意涂色，只有下面四种情形： 蓝 蓝 红 蓝 蓝 红 红 红将上面的四种情形看成四个“抽屉” ，把五列方格看成五个“苹果” ，根据抽屉原理，将五个苹果放入四个抽屉，至少有一个抽屉中有不少于两个苹果，也就是至少有一种情形占据两列方格，即这两列的小方格中涂的颜色完全相同小学数学解题研究小学
39、数学解题研究【举一反三】1.解析：将每一个小方格涂上红色、黄色或蓝色 （每一列的三小格涂的颜色不相同） ，不论如何涂色，其中至少有两列，它们的涂色方式相同，你同意吗？这道题是例题的拓展提高，通过列举我们发现给这些方格涂色，要使每列的颜色不同，最多有6种不同的涂法， 蓝 黄 红 蓝 黄 红 蓝 黄 红 蓝 黄 红 蓝 黄 红 红 黄 蓝涂到第六列以后，就会跟前面的重复所以不论如何涂色，其中至少有两列它们的涂色方式相同小学数学解题研究小学数学解题研究【举一反三】2.解析：从2、4、6、8、50这25个偶数中至少任意取出多少个数，才能保证有2个数的和是52？构造抽屉：2,50，4,48，6,46，8
40、,44，24,28，26，共13种搭配，即13个抽屉，所以任意取出14个数，无论怎样取，有两个数必同在一个抽屉里，这两数和为52，所以应取出14个数或者从小数入手考虑，2、4、6、26，当再取28时，与其中的一个去陪，总能找到一个数使这两个数之和为52小学数学解题研究小学数学解题研究【举一反三】3.解析：证明：在从 1 开始的前 10 个奇数中任取 6 个，一定有 2 个数的和是 20.将 10 个奇数分为五组(1、19)，(3、17)，(5、15)，(7、13)，(9、11)，任取 6个必有两个奇数在同一组中，这两个数的和为 20.小学数学解题研究小学数学解题研究 【教学策略】 教学目标（1
41、）理解抽屉原理的基本概念、基本用法。（2）掌握运用抽屉原理解题的基本过程。（3）能够构造抽屉进行解题。小学数学解题研究小学数学解题研究 【教学策略】 教学策略 在讲述抽屉原理时可以强调学生要从寻找抽屉、构造抽屉入手，首先培养直观理解，利用数形结合，构造数学模型，从模型中发现不同、找到不同、解决问题，培养学生学习新问题的模式。小学数学解题研究小学数学解题研究 【教学策略】 教学建议“抽屉原理”应用很广泛且灵活多变，可以解决一些看上去很复杂、觉得无从下手，却又是相当有趣的数学问题。但对于小学生来说，理解和掌握“抽屉原理”还存在着一定的难度。 所以， 在本节课的教学中可以根据学生的认知特点和规律，在
42、设计时可以主要运用产生式教学策略中的数感教学策略和应用意识教学策略两种方式，着眼于开拓学生视野，激发学生兴趣，提高解决问题的能力，通过动手操作、小组活动等方式组织教学。小学数学解题研究小学数学解题研究 【教学策略】 教学建议一、游戏激趣，初步体验抽屉原理。创设贴近学生生活实际的情景。情境中激发兴趣，兴趣是最好的老师。课前可以设计“抢椅子”的小游戏，简单却能真实的反映“抽屉原理”的本质。通过小游戏，一下就抓住学生的注意力，让学生觉得这节课要探究的问题，好玩又有意义。再充分利用学生已有的经验学习数学。小学数学解题研究小学数学解题研究 【教学策略】 教学建议 二、讨论交流，操作探究，寻找抽屉原理的一
43、般规律。这一环节可以利用提出问题验证结论解决问题初步建模运用假设法发现规律介绍课外知识等数学活动， 引导学生探究抽屉原理的一般规律。小学数学解题研究小学数学解题研究 【教学策略】 教学建议1、提出问题：把 3 本书、4 支笔分别放进 2 个抽屉、3 个文笔筒中，不管怎么放，总有一个抽屉（笔筒）至少放进几本（几枝） 。让学生猜测“至少会是”几支？小学数学解题研究小学数学解题研究 【教学策略】 教学建议2、验证结论：不管学生猜测的结论是什么，都要求学生借助实物进行操作，来验证结论。学生以小组为单位进行操作和交流时，教师深入了解学生操作情况，找出列举所有情况的学生并板书。小学数学解题研究小学数学解题
44、研究 【教学策略】 教学建议（1）先请列举所有情况的学生进行汇报，一说明列举的不同情况，二结合操作说明自己的结论。 （教师根据学生的回答板书所有的情况）学生汇报完后，教师再利用多媒体课件，指出每种情况中都有几支铅笔被放进了同一个文具盒。小学数学解题研究小学数学解题研究 【教学策略】 教学建议（2)参与教学策略。由问题产生的参与，是思维的参与。教师充分发挥学生的主观能动性，创设丰富生动、富有挑战性的生活情境，激发学生参与的兴趣，通过问题激发学生主动参与学习活动，积极参与思考、讨论、动手实践、尝试练习，真正做学习的主人。如利用“鸽巢原理”中鸽子的聪明和机智一一占巢以及同学抢座位的做法让学生自然而然想到抽屉原理和 “平均分”有着非常紧密的联系，再结合前面学生的动手操作验证平均分的的作用。小学数学解题研究小学数学解题研究 【教学策略】 教学建议 (3)合作教学策略。合作策略是指通过教师与学生之间，尤其是学生与学生之间的共同合作，达到某一预期的教学目标。小组学习活动是合作教学中最基本、最常用的形式。培养学生合作交流的习惯是非常重要的。