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1、在此输入您的封面副标题数学思维拓展资源包周期问题 高等师范院校数学教材教学资源包高等师范院校数学教材教学资源包课题解析核心提示典型例题教学策略 【课题解析】 我们在学习小数的时候，知道有一类小数叫循环小数，例如：我们在学习小数的时候，知道有一类小数叫循环小数，例如：1/3 =0.3333333、等，像、等，像0.3和和0.142857不断不断的循环出现，每出现一次就叫做一个周期。在日常生活中，有一些按照一定的规律不断重复的现象，如人的的循环出现，每出现一次就叫做一个周期。在日常生活中，有一些按照一定的规律不断重复的现象，如人的十二生肖：子（鼠）丑（牛）寅（虎）卯（兔）辰（龙）巳（蛇）午（马）未
2、（羊）申（猴）酉（鸡）戌十二生肖：子（鼠）丑（牛）寅（虎）卯（兔）辰（龙）巳（蛇）午（马）未（羊）申（猴）酉（鸡）戌（狗）亥（猪）（狗）亥（猪） 、每个星期有七天、一年有春夏秋冬四个季节等等。我们把这种特殊的规律性问题称为周、每个星期有七天、一年有春夏秋冬四个季节等等。我们把这种特殊的规律性问题称为周期问题。期问题。 【核心提示】周期现象：周期现象：事物在运动变化过程中，某些特征有规律循环出现；周期：我们把连续两次出现所经过的时间叫周期；解决有关周期性问题的关键是确定循环周期.分类： 1图形中的周期问题； 2数列中的周期问题； 3年月日中的周期问题周期性问题的基本解题思路是：周期性问题的基本解
3、题思路是：首先要正确理解题意，从中找准变化的规律，利用这些规律作为解题的依据；其次要确定解题的突破口。主要方法有观察法、逆推法、经验法等。主要问题有年月日、星期几问题等。【典型例题】例例1小兔和小松鼠做游戏，他们把黑、白两色小球按下面的规律排列：小兔和小松鼠做游戏，他们把黑、白两色小球按下面的规律排列：你知道它们所排列的这些小球中，第你知道它们所排列的这些小球中，第90个是什么球？第个是什么球？第100个又是什么球呢？个又是什么球呢？解析 仔细观察图中球的排列，不难发现球的排列规律是：2个黑球，1个白球；2个黑球，1个白球；也就是按“2个黑球，1个白球”的顺序循环出现，因此，这道题的周期为3（
4、2个黑球，1个白球）再看看90、100里包含有几个这样的周期，若正好有整数个周期，结果为周期里的最后一个，若是有整数个周期多几个，结果就为下一个周期里的第几个因为90330，正好有30个周期，第90个是白球1003331，有33个周期还多1个，所以，第100个是黑球【举一反三】美美有黑珠、白珠共美美有黑珠、白珠共102个，她想把它们做成一个链子挂在自己的床头上，她是按下面的顺序排个，她想把它们做成一个链子挂在自己的床头上，她是按下面的顺序排列的：列的：那么你知道这串珠子中，最后一个珠子应是什么颜色吗？那么你知道这串珠子中，最后一个珠子应是什么颜色吗？美美怕这种颜色的珠子数量不够，你能帮她算出这
5、种颜色在这串珠子中共有多少个吗？美美怕这种颜色的珠子数量不够，你能帮她算出这种颜色在这串珠子中共有多少个吗？解析：观察可以发现，这串珠子是按“一白、一黑、二白”4个珠子组成一组，并且不断重复出现的我们先算出102个珠子可以这样排列成多少组，还余多少我们可以根据排列周期判断出最后一个珠子的颜色，还可以求出有多少个这样的珠子因为1024252，所以最后一个珠子是第26个周期中的第二个，即为黑色在每一个周期中只有1个黑珠子，所以黑色珠子在这串珠子中共有25126（个）【典型例题】节日的夜景真漂亮，街上的彩灯按照节日的夜景真漂亮，街上的彩灯按照5盏红灯、再接盏红灯、再接4盏蓝灯、再接盏蓝灯、再接1盏黄
6、灯，然后又是盏黄灯，然后又是5盏红灯、盏红灯、4盏蓝灯、盏蓝灯、1盏黄灯、盏黄灯、这样排下去问：这样排下去问：第第150盏灯是什么颜色？盏灯是什么颜色？前前200盏彩灯中有多少盏蓝灯？盏彩灯中有多少盏蓝灯？解析街上的彩灯按照5盏红灯、再接4盏蓝灯、再接1盏黄灯，这样一个周期变化的，实际上一个周期就是54110（盏）灯1501015，150盏灯刚好15个周期，所以第150盏应该是这个周期的最后一盏，是黄色的灯如果是200盏灯，就是2001020的周期每个周期都有4盏蓝灯，20480（盏） 前200盏彩灯中有80盏蓝灯【举一反三】在一根绳子上依次穿在一根绳子上依次穿2个红珠、个红珠、2个白珠、个白
7、珠、5个黑珠，并按此方式反复，如果从头开始数，直到第个黑珠，并按此方式反复，如果从头开始数，直到第50颗，那么其中白珠有多少颗？颗，那么其中白珠有多少颗？50(225)5552212（个）【典型例题】如图所示，每列上、下两个字（字母）组成一组，例如，第一组是如图所示，每列上、下两个字（字母）组成一组，例如，第一组是“我，我，A ”，第二组是，第二组是“们，们，B ”写出第写出第62组是什么？组是什么？如果如果“爱，爱， ”代表代表1991年，那么年，那么“科，科， ”代表代表1992年年问问2008年对应怎样的组？年对应怎样的组？解析解析（1）要求第62组是什么数，我们要分别求出上、下两行是什
8、么字（字母），上面一行是以“我们爱科学”五个字为一个周期，下面一行则是以“ ”七个字母为一个周期625122 ,62786，所以第62组是“们， ”2008是1991之后的第17组，现在上面一行按“科学我们爱”五个字为一个周期，下面一行则按“ ” 七个字母为一个周期：2008199117（组），1753217723，所以2008年对应的组为“学， ”我我们们爱爱科科学学我我们们爱爱科科学学我我ABCDEFGABCDA BCD E F G A BCD【举一反三】在图所示的表中，将每列上、下两个字组成一组，例如第一组为（新奥），第二组为（北林），在图所示的表中，将每列上、下两个字组成一组，例如第一
9、组为（新奥），第二组为（北林），那么第那么第50组是什么？组是什么？解析：要知道第50组是哪两个数，我们首先要弄清楚第一行和第二行的第50个字分别应该是什么第一行“新北京新奥运”是6个字一个周期，50682，第50个字就是北再看第二行“奥林匹克运动会”是7个字一个周期，50771，第50个字就是奥把第一行和第二行合在一起，第50组就是“北奥”新北京新奥运新北京新奥运新北京新奥运新北京新奥运新北京新奥运新北京新奥运奥林匹克运动会奥林匹克运动会奥林匹克运动会奥林匹克运动会奥林匹克运动会奥林匹克运动会【典型例题】如图，是一片刚刚收割过的稻田，每个小正方形的边长是如图，是一片刚刚收割过的稻田，每个小正
10、方形的边长是1米，米，A、B、C三点周围的阴影部分三点周围的阴影部分是圆形的水洼。一只小鸟飞来飞去，四处觅食，它最初停留在是圆形的水洼。一只小鸟飞来飞去，四处觅食，它最初停留在0号位，过了一会儿，它跃过水洼号位，过了一会儿，它跃过水洼，飞到关于，飞到关于A点对称的点对称的1号位；不久，它又飞到关于号位；不久，它又飞到关于B点对称的点对称的2号位；接着，它飞到关于号位；接着，它飞到关于C点对称点对称的的3号位，再飞到关于号位，再飞到关于A点对称的点对称的4号位，号位，如此继续，一直对称地飞下去。由此推断，如此继续，一直对称地飞下去。由此推断，2004号位和号位和0号位之间的距离是多少米？号位之间
11、的距离是多少米？ 0米。根据题上给出的条件，动手画出，就可以了！四次再次回到0号位置！2004是4的倍数，所以第2004号位和0号位之间的距离是0米。【举一反三】现将现将16把椅子摆成一个圆圈，依次编上把椅子摆成一个圆圈，依次编上1到到16个号码，现有一人从个号码，现有一人从1号椅子顺时针前进了号椅子顺时针前进了328个，再个，再逆时针前进逆时针前进485个，又顺时针前进了个，又顺时针前进了328个，再逆时针前进个，再逆时针前进485个，又顺时针前进了个，又顺时针前进了136个，这时他个，这时他到了第几号椅子上？到了第几号椅子上？【解析】【解析】不管顺时针还是逆时针，只要前进16个就回到原来位
12、子，即周期为16。所以只考虑前进了多少个大圈又后退了多少的大圈就可以知道他到了第几个椅子上了，但要注意顺时针前进和逆时针前进的方向问题。解：方法一：3281620（圈）8（个）4851630（圈）5（个） 136168（圈）8（个）顺时针前进：88824（个）逆时针前进：5510（个）总计顺时针前进：241014（个）这时候他到了第15号椅子上。方法二：（328485328485136）16110（圈）2（个）这时候他到了第15号椅子上。【典型例题】小和尚在地上写了一列数：小和尚在地上写了一列数：7，0，2，5，3，7，0，2，5，3你知道他写的第你知道他写的第81个数是多少吗？个数是多少吗？
13、你能求出这你能求出这81个数相加的和是多少吗？个数相加的和是多少吗？从排列上可以看出这组数按7，0，2，5，3依次重复排列，那么每个周期就有5个数81个数则是16个周期还多1个，第1个数是7，所以第81个数是7， 1每个周期各个数之和是：7025317再用每个周期各数之和乘以周期次数再加上余下的各数，即可得到答案17167279，所以，这81个数相加的和是279【举一反三】根据下面一组数列的规律求出根据下面一组数列的规律求出51是第几个数？是第几个数？ 1、2、3、4、6、7、8、9、11、12、13、14、16、17解析：观察题目可知数列个位数字每九个数一组，十位数字依次增加，04共五个数，
14、则可列式为：591=46，即51为第46个数。【典型例题】例例6 12个同学围成一圈做传手绢的游戏，如图个同学围成一圈做传手绢的游戏，如图 从从1号同学开始，顺时针传号同学开始，顺时针传l00次，手绢应在谁手中？次，手绢应在谁手中？ 从从1号同学开始，逆时针传号同学开始，逆时针传l00次，手绢又在谁手中？次，手绢又在谁手中？ 从从1号同学开始，先顺时针传号同学开始，先顺时针传l56次，然后从那个同学开始逆时针传次，然后从那个同学开始逆时针传143次，再顺时次，再顺时针传针传107次，最后手绢在谁手中？次，最后手绢在谁手中？解析：因为一圈有l2个同学，所以传一圈还回到原来同学手中，现在，从1号开
15、始，顺时针传l00次，我们先用除法求传了几圈、还余几次100128(圈)4(次)从1号同学顺时针传4次正好传到5号同学手中与第一小题的道理一样，先做除法100128(圈)4(次)这4次是逆时针传，正好传到9号同学手中(如图)先顺时针传156次，然后逆时针传l43次，相当于顺时针传15614313(次)；再顺时针传l07次，与13次合并，相当于顺时针传1317120(次)，1201210(圈)，手绢又回到l号同学手中?12?11?10?9?8?7?6?5?4?3?2?1?12?11?10?9?8?7?6?5?4?3?2?1【举一反三】8个队员围成一圈做传球游戏，从号开始，按顺时针方向向下一个人传
16、球在传球的同时，按个队员围成一圈做传球游戏，从号开始，按顺时针方向向下一个人传球在传球的同时，按顺序报数当报到顺序报数当报到72时，球在几号队员手上？时，球在几号队员手上？解析：将8名队员看作一组，每组报8个数，72个数可以分成几组：7289组，没有余数，球正好在一组的最后一位队员手中，因此球应该在8号队员手上【典型例题】甲、乙两人对一根甲、乙两人对一根3米长的木棍涂色。首先，甲从木棍的端点开始涂黑色米长的木棍涂色。首先，甲从木棍的端点开始涂黑色5厘米，间隔厘米，间隔5厘米厘米不涂色，再涂不涂色，再涂5厘米黑色，这样交替做到底。然后，乙从木棍同一端点开始留出厘米黑色，这样交替做到底。然后，乙从
17、木棍同一端点开始留出6厘米不涂色，厘米不涂色，然后涂然后涂6厘米黑色，再间隔厘米黑色，再间隔6厘米不涂色，交替做到底，最后木棍上没有被涂黑色部分的总长度厘米不涂色，交替做到底，最后木棍上没有被涂黑色部分的总长度是多少？是多少？解析：此题最好画图为同学们示意：在前30厘米内未被涂黑的是：1，3，5，在31-60厘米内的是：4，2，因此60厘米一个周期：（1+3+5+4+2）30060=75厘米 .【举一反三】紧接着紧接着1989后面写一串数字，写下的每一个数字都是它前面两个数字的乘积的个位数例如，后面写一串数字，写下的每一个数字都是它前面两个数字的乘积的个位数例如，8 972，在，在9后面写后面
18、写2，9 218，在，在2后面写后面写8得到一串数字：得到一串数字：19892868，问：这串数字从，问：这串数字从1开始，往右数，第开始，往右数，第l999个数字是几？这个数字是几？这1999个数字的和是多少？个数字的和是多少？解析：根据题意，写出这列数的前面部分数字：“286884”这6个数字重复出现，周期是6第1999个数字是：因为(19994)63323，所以，第l999个数字是6这1999个数字的和是：(1989)(286884)332(286)27119521611995【典型例题】右图中，任意三个连续的小圆圈内三个数的连乘积都是右图中，任意三个连续的小圆圈内三个数的连乘积都是89
19、1，那么，那么B代表多少？代表多少？解析：根据“任意三个连续的小圆圈内三个数的连乘积都是891”，可知任意一个小圆圈中的数和与它相隔2个小圆圈的小圆圈中的数是相同的.于是：B=891(99)=11.A BCD E F G A BCD【举一反三】课外活动时，甲、乙、丙、丁四人排成一个圆圈依次报数甲报课外活动时，甲、乙、丙、丁四人排成一个圆圈依次报数甲报“1”，乙报，乙报“2”，丙报，丙报“3”，丁报，丁报“4”，这样每人报的数总比前一个人多，这样每人报的数总比前一个人多1问问“34”是谁报的？是谁报的？“71”是谁报的？是谁报的？解析：根据题意，甲从“1”开始报数，一共报了34次因为是4个人在报
20、数，所以报4次就要重复一遍，也就是说是以4为一个周期重复的34里面有8个周期还余2次，所以“34”应是重复8遍以后第二个人报的，即乙报的714173，所以“71”应是第三个人报的，即丙报的【典型例题】有一个有一个111位数，各位数字都是位数，各位数字都是1，这个数除以，这个数除以6，余数是几？商的末位数字是几？，余数是几？商的末位数字是几？我们可以用列表的方法寻求周期（如上表）通过表格我们可以发现，余数出现的周期为3（1，5，3）；第1个“1”上相对应的商为“0”，从第二个“1”开始，商的末位数字的周期为3（1，8，5）因为111337，所以这个数除以6后余数的末位数字是3；因为(1111)3
21、362，所以这个数除以6后商的末位数字是8被除数中“1”的个数1234567除以6后余数的末位数字1531531除以6后商的末位数字0185185【举一反三】有一个有一个1111位数，各位数字都是位数，各位数字都是1，这个数除以，这个数除以6，余数是几？商的末位数字是几？，余数是几？商的末位数字是几？解析：余数出现的周期为3（1，5，3）；第1个“1”上相对应的商为“0”，从第二个“1”开始，商的末位数字的周期为3（1，8，5），因为111133701，所以这个数除以6后余数的末位数字是1；因为（11111）3370，所以这个数除以6后商的末尾数字是5【典型例题】 求求 的个位数字的个位数字.
22、由由128 432知，知， 的个位数与的个位数与 的个位数相同，等于的个位数相同，等于6。由。由29 2141知，知， 的个位数的个位数与与 的个位数相同，等于的个位数相同，等于9.因为因为69，在减法中需向十位借位，所以所求个位数字为，在减法中需向十位借位，所以所求个位数字为1697. 128292829【举一反三】算式算式 的得数的尾数是几？的得数的尾数是几？解析：这是一道很经典的题目，分别找规律，我们只看个位数就够了：2：2，4，8，6，762/4=1902，个位数是4 ；3：3，9，7，1，123/4=303，个位数是7 ；因此个位数：（3+4）7=49 .36776212336776
23、2（） 123【典型例题】阳历阳历1978年年1月月1日是星期日，阳历日是星期日，阳历2000年年1月月1日是星期几？日是星期几？解析每四年有一个闰年，闰年的年份被4整除，所以从1978年至1999年共有17个平年，5个闰年，由此可以算出总天数，用总天数除以7，余1是星期一，余2是星期二，依次类推3651736658035（天），803571147（星期）6（天），所以，阳历2000年1月1日是星期六A BCD E F G A BCD【举一反三】1999年的元旦是星期五，那么据此你知道年的元旦是星期五，那么据此你知道2005年的元旦是星期几吗？年的元旦是星期几吗？解析00、04是闰年，01、0
24、2、03、05是平年，一共度过了：36562=2192（天），21927=3131，2005年的元旦是星期六【典型例题】小区里的李奶奶腿脚不方便，方方、圆圆、长长三名同学做好事，每天早晨轮流为李奶奶取小区里的李奶奶腿脚不方便，方方、圆圆、长长三名同学做好事，每天早晨轮流为李奶奶取牛奶方方第一次取奶是星期一，那么，他第牛奶方方第一次取奶是星期一，那么，他第100次取奶是星期几？次取奶是星期几？21天内，每人取奶7次，方方第8次取奶又是星期一，即每取7次奶为一个周期1007142，所以方方第100次取奶是星期四【举一反三】甲、乙、丙、丁四位医生依次每天轮流到农村卫生所义诊甲、乙、丙、丁四位医生依次
25、每天轮流到农村卫生所义诊.甲第甲第30次义诊是星期三，那么当丙首次次义诊是星期三，那么当丙首次在周日义诊时，丁医生已经下乡义诊几次了？在周日义诊时，丁医生已经下乡义诊几次了？解析甲第30次义诊是在总次数的第429+1=117（次），1177=165，从周三往前数5天，由周期性知甲第一次义诊时间是在星期六，甲前7次义诊分别是星期六、三、日、四、一、五、二 . 丙在周日义诊是甲周五义诊之后的两天，所以那是丙第6次去义诊.由于丁在丙后一天义诊，所以他已经去过5次.【典型例题】在某个月中刚好有在某个月中刚好有3个星期天的日期是偶数个星期天的日期是偶数(双数双数)，则这个月的，则这个月的5日是星期几？日
26、是星期几？一个星期有7天，注意7是奇数(单数)，所以任意两个相继星期天的日数奇偶性不同于是在每个月从l日到28日这28天中，有2874个星期天，且其中有两个星期天的日期是偶数，从而题中第3个日期为偶数的星期天必为30日由此可以推知，这个月的第1个星期天是30472日，那么，5日为星期三所以这个月的5日是星期三23456789101112131415161718192021222324252627282930日一二三四五六【举一反三】已知某月中，星期二的天数比星期三的天数多，而星期一的天数比星期日的天数多，那么这个月已知某月中，星期二的天数比星期三的天数多，而星期一的天数比星期日的天数多，那么这
27、个月的的5号是星期几？号是星期几？解析：这道题表面看无从下手实际上本题暗藏着一个重要条件：在一个月内，无论是星期几，它的天数只能是4或5，根据这个知识点，就可知道本月星期一，二都是5天，星期三，日都是4天，用列表法可以得到答案123456789101112131415161718192021222324252627282930日一二三四五六 【教学策略】 周期问题，生活常见，但是让学生进行抽象规律的确存在困难。哪怕就是在身边的很熟悉的环境中，进行周周期问题，生活常见，但是让学生进行抽象规律的确存在困难。哪怕就是在身边的很熟悉的环境中，进行周期问题的探究学习，也是需要一个由浅入深、直观而深入、感
28、性而理性的逐渐深化的过程。就拿每周七天的周期问题的探究学习，也是需要一个由浅入深、直观而深入、感性而理性的逐渐深化的过程。就拿每周七天的周期问题来说，我们不能动辄几十天、上百天地时间总长度去周期分段，而应从八天、十天等短时间段去做周期期问题来说，我们不能动辄几十天、上百天地时间总长度去周期分段，而应从八天、十天等短时间段去做周期分段，这样学生可以避免陷入太过跨度而迷惑的误区。尊重此时的学生学习心理，尊重此时学生学习的能力规分段，这样学生可以避免陷入太过跨度而迷惑的误区。尊重此时的学生学习心理，尊重此时学生学习的能力规律，尽量地浅显化、直观化周期问题情境设计，对他们的自主探究是很有帮助的。律，尽
29、量地浅显化、直观化周期问题情境设计，对他们的自主探究是很有帮助的。 周期问题中，也存在一个验算证明的过程。那就是运用算式计算方法与画一画方法之间的相互验算证明。所周期问题中，也存在一个验算证明的过程。那就是运用算式计算方法与画一画方法之间的相互验算证明。所以，我在学生们得出两种解决问题的方法时，引导他们进行比较研究，进行验算。这样，他们自己得出的抽象以，我在学生们得出两种解决问题的方法时，引导他们进行比较研究，进行验算。这样，他们自己得出的抽象认识，可以得到及时的直观论证，可使他们更加信服子自己的能力，增强信心，更重要地在内心深处开始主动认识，可以得到及时的直观论证，可使他们更加信服子自己的能力，增强信心，更重要地在内心深处开始主动地接受了这种原本很是抽象的周期问题。之后，这样的问题解决，他们就可以自信大胆地运用计算方法了。地接受了这种原本很是抽象的周期问题。之后，这样的问题解决，他们就可以自信大胆地运用计算方法了。