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1、理学其它相关论文 -嵌套混沌变参映射在数字图像加密中的应用 摘 要 利用 Logistic 映射、 Henon 映射与超混沌 M-G 系统构造了一类嵌套混沌变参映射，并通过 Lyapunov 指数证明所构造映射产生信号的混沌性，同时分析其相关性和功率谱特性，然后利用其输出的混沌信号构成图像加密所需要的符号矩阵和灰度矩阵，与经过小波压缩后的图像运算，从而完成图像数据加密。 关键词 混沌；变参映射； Lyapunov 指数；相关性；图像加密 1 引言 混沌是确定性非线性系统所产生的貌似无规则的、复杂的且无需外加任何因素就能表现出似随机过程的一种动力学行为，它初始条件和系统参数极端敏感，轻微的扰动即
2、可产生完全不同的混沌信号，它具有宽频带特性，同时还有类噪声的性质，如尖锐自相关和极低的互相关性。正是因为混沌信号的上述特性，使它被广泛应用于信息与通信保密系统中，如混沌扩频通信 5，正是利用混沌信号的类噪声性质、宽带性以及参数和初始条件敏感性，从而产生理论上无穷尽的无周期扩频序列，另外还可以对图像加密、文件加密等，然后在有线通信网络中传输。 由于离散混 沌映射便于采用数字电路实现，符合数字信息和通信保密发展需要，如使用 DSP 器件、单片机器件 34，只需要简单的程序改变即可实现不同的混沌信号。但是数字电路实现的精度有限而导致信号周期化的出现，从而降低混沌保密信息系统的抗破译性，同时由于目前出
3、现并应用的混沌映射数量不多，且多是低维系统 2，复杂性不够，因此又增加了系统的可穷举破译性质。 本文分别利用了 Logistic 映射、 Henon 映射与超混沌 M-G 系统构造了一类嵌套混沌变参映射，其中嵌套混沌系统中参数是基于超混沌系统所产生的信号进行改变的，通 过 Lyapunov 指数证明所构造的映射确实产生混沌信号，同时还分析了所产生信号的相关性和功率谱特性，然后利用这些信号构成图像加密所需要的符号矩阵和灰度矩阵，与经过小波压缩后的图像运算，从而完成图像数据加密。 2 嵌套变参映射构造及混沌性分析 Logistic 映射是一种单峰的混沌映射，见式（ 1）： （ 1） 其中 .401
4、1550 表示沿该方向扩展，反之，则是收缩。 因此 Lyapunov 指数给出混沌过程对初始条件的敏感依赖性的度量，同时正值的 描述了混沌系统相空间混沌吸引子内部各个轨线之间的不稳定性，研究也证实了在判别一个系统是否存在混沌运动的时候，只要判别其最大 Lyapunov 指数是否为正的即可。对于多维相空 间情况下一般有多个正的 i 值，它的运动情况将会更复杂，因此就把那些 Lyapunov 指数正值比较大，包含正的 Lyapunov指数有两个正的或者更多正的 Lyapunov 指数时的系统称为超混沌。 M-G 混沌系统就是一个超混沌系统，但它是一个时滞超混沌系统，而非时滞超混沌系统，它的正的 L
5、yapunov 指数不会超过系统的维数，如果要产生更复杂的混沌信号，那必然就要增加系统的结构从而增加维数来使系统具有更大的正的 Lyapunov 指数，但这种改造对于混沌系统应用于信息和保密通信系统往往是代价太大，不实用。而本文利用的超混沌 系统 M-G 十分简单，系统正的 Lyapunov 指数不受限与系统维数，它可以产生很多正的 Lyapunov 指数，从而产生超混沌信号。 对本文中的 B 系统分析当参数变化的时候其混沌性。由系统方程可初步分析此系统至少有两个正的 Lyapunov 指数，因为它是一个三维系统，且是两个混沌系统嵌套而成的。固定参数 b=0.3，利用“伯内廷”方法 3分析当
6、a 参数变化时候系统各变量的 Lyapunov 指数，可以得到随参数变化的指数谱。如图 3 所示。 图 3 参数 b=0.3， c=2 时 B 系统各变量的 Lyapunov 指数随参数 a 变化的曲线 由图 3 可以看出系统 Z 变量信号与 X 变量信号的 Lyapunov 指数变化趋势是大概一致的，这也可以从系统关于 Z 变量方程中得知， Z 变量是 X 变量做了非线性运算得到的，故当 X 变量输出为混沌信号的时候， Z 变量也输出混沌信号，同时从图 3 中的 Lyapunov 指数比较而得 Z 变量的混沌信号比 X 变量混沌信号的指数大，因此更加复杂，而且 c 参数的取值只要保证平衡性即
7、可，无特殊要求范围，因此 c 的范围可以很大。另外当 a 取一定的参数时候，如 1.35 时候可以使 Y 变量也输出混沌信号，那么此时就是一个超混沌系统了，利用这时的系统进行通信系统信息传 输，保密性将更强。 3 混沌时间序列分析 B 系统映射参数的选取按照如下方式。所构造映射中的参数分别按照 M-G 系统的 =100（对应系统参数 p=0.2、 m=10、 n=0.1）和 =10（对应系统参数 p=10、m=10、 n=-2）时间延迟取相应 M-G 系统参数下其输出的混沌信号中的值来取，为了仿真方便，这里取相应时延内的输出某两个固定值， =100 对应 a=1.3， c=2， =10 对应
8、a=1.4， c=2，然后由嵌套变参映射输出混沌时间序列。以下图像加密所用的符号矩阵与灰度矩阵所需要的混沌信号，就由此参数 下的嵌套变参映射输出信号构成。 混沌序列信号不满足绝对可和与能量可积的条件，但功率谱有限可积，因此可以通过功率谱来研究其频域特性。周期变量的功率谱呈现分离尖峰结构，尖峰对应的频率之间存在公倍数；拟周期变量对应的各尖峰间无公倍数现象；混沌和噪声的功率谱在宽的频率范围内都呈现出连续性，因此，若系统的功率谱是连续的时候，说明系统具有混沌特征的可能性。因为混沌吸引子内部存在很多不稳定周期轨道，因此如果若连续谱中除了显现噪声特性外，还具有宽峰谱特性时，那么就是混沌信号的谱。如图 4
9、 所示。 (a) (b) (c) 图 4 白噪声序列和嵌套映射序列 X、 Z 的功率谱 通过计算，可以发现映射所输出序列的自相关和白噪声类似，随机性和互相关性在取不同参数的时候，也非常弱。参数分别选 a=1.4 和 a=1.38， b、 c 参数不变化的时候序列的差值信号见图 5（ a），可见参数很小的变化输出序列差别极大，反映了参数敏感性，因此在图像与文件加密中有大量的加密数据和密钥可用，且无任何联系。图 5（ b）、（ c）分别是白噪声和输出 Z 序列的自相关，可见非常尖锐，证明其类噪声性质。 (a) (b) (c) 图 5 a=1.4 和 a=1.38，时差值序列及 白噪声序列和嵌套映射
10、序列自相关 4 数字图像加密过程 （ 1）利用小波包变换的技术对原始图像进行压缩，去除图像中大量的空间冗余信息，降低图像数据之间的相 关性，可提高信息传输的有效性和抗破译性。图像矩阵设为 I。 （ 2）利用嵌套变参混沌映射输出的实值混沌序列 ，并利用 生成符号矩阵 S 和灰度矩阵 W，如式（ 6）。 分别代表符号矩阵和和灰度矩阵里面的元素，把这些元素构造成和图像矩阵相同维数矩阵即可。 ，取整运算 （ 6） （ 3）灰度置乱矩阵 B 实现过程：设图像矩阵中的元素为 I（ i， j），灰度矩阵元素 W（ m， n），则灰度置乱矩阵 B（ p， q）生成如下，见式子（ 7）： （ 7） （ 4）加密
11、过程：（ B+W） .S，既灰度置乱矩阵与由混沌信号构造而成的灰度矩阵再相加，然后与符号矩阵相乘即可。 以上加密过程如图 6（ a）（ b）（ c）分别是原图像、压缩图像和加密后图像， 6（ d）是当生成符号和灰度矩阵的嵌套映射的参数 a 相差 10-3 的时候恢复的图像，可见参数极微小的变化就不能正确恢复图像，原因就是由于在加密的过程中，不但把原图像的灰度矩阵用混沌信号生 成的新矩阵置换了，而且还又和其做了相加运算，可以证明这时候其灰度矩阵元素序列就是混沌信号。经过大量图像加密验证，证明本加密方法不但实现简单而且还有很好的抗破译性。另外本加密方法可用的密钥可以是系统的参数 a、 b、 c和确
12、定系统参数 M-G系统的参数 p、m、 n 与其系统时延共同确定，只要其参数在能保证输出混沌特性的参数变化范围内都是可以的。 解密过程为以上加密的逆向运算。 （ a）原图像 (b) 压缩图像 (c)加密后图像 (d)密钥相差 0.001 后恢复图像 图 6 图像加密过程 5 结论 本文利用了三种混沌系统构造了一种嵌套映射，其中 Logistic 映射、 Henon映射相互嵌套构造成新的离散系统，系统中参数变化由超混沌系统 M-G 系统确定，参数取某值时间的长短 M-G 系统的时间延迟来确定，不同的延迟时间内又对应不同的 M-G 系统输出来确定系统这段时间内的参数，所以系统的变化可以非常复杂。又
13、经过 Lyapunov 指数方法证明系统在一定的参数变化范围内的混沌特性，因此当通过 M-G 系统来控制这些系统的参数变化的 时候，系统输出就可以是变化多样的混沌信号，如果用其加密所要传输的信息，系统的抗破译性非常强。本文就利用这些混沌信号来加密数字图像，所用的加密方法不但实现简单有效，而且由于用混沌信号构造的新灰度矩阵置乱原图像灰度矩阵，因此加密方法抗破译性又进一步加强，而且还不影响接收端信息恢复的速度。 参考文献 1K Pyragas.Transmission of signals via synchronization chaotic timedelay systemsJ.Int.J.B
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