2022年平面向量数量积的物理背景及其含义.docx

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1、精品学习资源教学目标平面对量数量积的物理背景及其含义欢迎下载精品学习资源1. 平面对量的数量积 重点2. 平面对量的数量积的几何意义 难点3. 向量的数量积与实数的乘法的区分 易混点基础 初探 教材整理 1向量数量积的定义及性质阅读教材 P103 P104“ 例 1”以上内容，完成以下问题1. 向量的数量积的定义已知两个非零向量 a 与 b，它们的夹角为 ，我们把数量 |a|b|cos 叫做 a 与 b 的数量积 或内积，记作 ab，即 ab |a|b|cos 规定零向量与任一向量的数量积为02. 向量的数量积的性质设 a 与 b 都是非零向量， 为 a 与 b 的夹角1ab. ab02当 a

2、 与 b 同向时， ab |a|b|；当 a 与 b 反向时， ab |a|b|3aa |a|2 或|a| aa a2.|a|b|4cos ab . 5|ab| |a|b|.判定正确的打“”，错误的打“” (1) 向量的夹角和直线的倾斜角的范畴相同欢迎下载精品学习资源(2) 两个向量的数量积是向量 (3) 设向量 a 与 b 的夹角为 ，就： cos 0. ab0.解： 1 .因向量的夹角包括 180，直线的倾斜角不包括 180.(2) .因两个向量的数量积没有方向，不是向量(3) .由数量积的定义可知【答案】1 2 3教材整理 2向量的数量积的几何意义及运算律阅读教材 P104 例 1 以下

3、至 P105 例 2 以上内容，完成以下问题1. 向量的数量积的几何意义(1) 投影的概念如图 24 1 所示： OAa，OBb，过 B 作 BB1 垂直于直线OA，垂足为 B1，就 OB1 |b|cos |b|cos 叫做向量 b 在 a 方向上的投影， |a|cos 叫做向量 a 在b 方向上的投影图 241(2) 数量积的几何意义：ab 的几何意义是数量积 ab 等于 a 的长度 |a|与 b 在 a 的方向上的投影 |b|cos 的乘积2. 向量数量积的运算律1ab ba交换律 欢迎下载精品学习资源2 a bab ab结合律 3 ab c acbc安排律 欢迎下载精品学习资源已知|a|

4、3，向量 a 与 b 的夹角为 3 ，就 a 在 b 方向上的投影为欢迎下载精品学习资源 3欢迎下载精品学习资源解： 向量 a 在 b 方向上的投影为 |a|cos 3 cos2【答案】33 2.欢迎下载精品学习资源 小组合作型 与向量数量积有关的概念(1) 以下四种说法中正确的选项是假如 ab 0，就 a0 或 b 0；假如向量 a 与 b 满意 ab0，就 a 与 b 所成的角为钝角； ABC 中，假如 ABBC 0，那么 ABC 为直角三角形；假如向量 a 与 b 是两个单位向量，就 a2b2.(2) 已知|a|3，|b|5，且 ab 12，就 a 在 b 方向上的投影为 ， b 在 a

5、 方向上的投影为(3) 已知等腰 ABC 的底边 BC 长为 4，就BABC .依据数量积的定义、性质、运算律及投影的定义解答解：1由数量积的定义知 ab |a|b|cos 为向量 a，b 的夹角假设 a b 0，就 90或a0 或 b 0，故错；假设 a b0，就 为钝角或 180，故 错；欢迎下载精品学习资源由ABBC0 知 B 90，故ABC 为直角三角形，故 正确；由 a2|a|21，b2|b|2 1，故 正确(2) 设 a 与 b 的夹角为 ，就有欢迎下载精品学习资源ab |a| |b|cos 12，ab12欢迎下载精品学习资源所以向量 a 在向量 b 方向上的投影为 |a|cos

6、|b| 5欢迎下载精品学习资源12ab 12欢迎下载精品学习资源5 ；向量 b 在向量 a 方向上的投影为 |b|cos |a|(3) 如图，过 A 作 ADBC，垂足为 D由于 ABAC，1所以 BD2BC 2，于是|BA|cosABC|BD|3 4.欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源 1 1 42.欢迎下载精品学习资源2|BC|所以BA2BC欢迎下载精品学习资源 |BA|BC|cosABC4 2 8.5【答案】1 212438欢迎下载精品学习资源1. 在书写数量积时， a 与 b 之间用实心圆点 “” 连接，而不能用“” 连接，更不能省略不写2. 求平面对量数量积的方法：(1) 假设

7、已知向量的模及其夹角， 就直接利用公式 ab |a|b|cos .欢迎下载精品学习资源(2) 假设已知一向量的模及另一向量在该向量上的投影，可利用数量积的几何意义求 ab. 再练一题 1给出以下判定： 假设 a2 b20，就 ab0；已知 a，b， c 是三个非零向量，假设 ab0，就|ac| |bc|； a， b 共线. ab |a|b|； |a|b|0，就 a 与 b 的夹角为锐角； 假设 a，b 的夹角为 ，就|b|cos表示向量 b 在向量 a 方向上的投影长其中正确的选项是： 解： 由于 a2 0，b2 0，所以，假设 a2b20，就 ab 0，故正确；假设 ab0，就 a b，又

8、a，b，c 是三个非零向量， 所以 ac bc，所以 |ac| |bc|，正确； a，b 共线. ab |a|b|，所以 不正确；对于应有|a|b|ab；对于，应当是 aaa|a|2a； a2 b22|a|b|2ab，故正确；当 a 与 b 的夹角为 0 时，也有 ab0，因此 错；|b|cos 表示向量 b 在向量 a 方向上的投影的数量， 而非投影长， 故错综上可知 正确【答案】数量积的基本运算欢迎下载精品学习资源已知|a|4， |b| 5，当1ab； 2ab；3a 与 b 的夹角为 135时，分别求 a 与 b 的数量积 .1当 ab 时，a 与 b 夹角可能为 0或180.2当 ab

9、时，a 与 b夹角为 90.3假设 a 与 b 夹角及模已知时可利用a b |a| |b|cos 为 a，b 夹角求值解： 设向量 a 与 b 的夹角为 ，1ab 时，有两种情形：假设 a 和 b 同向，就 0，a b |a|b|20；假设 a 与 b 反向，就 180，a b |a|b| 20.2当 ab 时， 90，a b 0.3当 a 与 b 夹角为 135时， ab |a|b|cos 135102.1. 求平面对量数量积的步骤是： 求 a 与 b 的夹角 ， 0， ；分别求 |a|和|b|；求数量积，即 a b |a|b|cos .2. 非零向量 a 与 b 共线的条件是 ab|a|b

10、|. 再练一题 2已知正三角形 ABC 的边长为 1，求：欢迎下载精品学习资源1AB AC；2ABBC；图 242欢迎下载精品学习资源3BC AC.解： 1AB与AC的夹角为 60，ABAC|AB|AC|cos 6011 11 2 2.(2) AB与BC的夹角为 120，ABBC|AB|BC|cos 12011 11 2 2.(3) BC与AC的夹角为 60，BC AC|BC|AC|cos 601 1 11 22.与向量模有关的问题已知向量 a 与 b 的夹角为 120，且|a| 4，|b|2，求：1|ab|；2|ab a 2b|.利用 aaa2 或|a| a2求解解：由已知 ab|a|b|c

11、os 4 2cos 1204，a2 |a|216， b2|b|24.1 |ab|2ab2a22ab b2162 4 4 12，|ab|23.2 a b a2b a2ab 2b2 16 42 4 12，|ab a2b|12.欢迎下载精品学习资源1 此类求模问题一般转化为求模平方，与数量积联系 2利用 aa a2|a|2 或|a| a2，可以实现实数运算与向量运算的相互转化 再练一题 3题干条件不变，求 |ab|.解： 由于|a|4， |b| 2，且 a 与 b 的夹角 120.所以|a b| a b2 a2 2a b b2 422 4 2cos 12022 27，所以|ab| 27. 探究共研型

12、 平面对量数量积的性质探究 1设 a 与 b 都是非零向量，假设 ab，就 ab 等于多少？反之成立吗？【提示】ab. ab0.探究 2当 a 与 b 同向时， ab 等于什么？当 a 与 b 反向时， ab等于什么？特殊地， aa 等于什么？【提示】当 a 与 b 同向时， ab |a|b|；当 a 与 b 反向时， ab |a|b|； aa a2 |a|2 或|a| aa.探究 3|ab|与|a|b|的大小关系如何？为什么？对于向量a，b，如何求它们的夹角 ？【提示】 |ab| |a|b|，设 a 与 b 的夹角为 ，就 ab |a|b|cos .两边取肯定值得：欢迎下载精品学习资源|ab

13、| |a|b|cos |a|b|.当且仅当 |cos |1，即 cos 1， 0 或时，取“ ”，所以|ab| |a|b|.cosab .|a|b|已知|a|3，|b|2，向量 a，b 的夹角为 60，c3a5b， d ma 3b，求当 m 为何值时， c 与 d 垂直？由条件运算 a b，当 cd 时， cd0 列方程求解 m.解： 由已知得 ab3 2 cos 603.由 cd，知 c d0，即 c d 3a5bma 3b 3ma2 5m9a b15b2 27m35m 960 42m87 0，2929m 14，即 m 14时， c 与 d 垂直1. 已知非零向量 a， b，假设 ab，就

14、ab0，反之也成立2. 设 a 与 b 夹角为 ，利用公式 cos ab 可求夹角 ，求解|a|b|时留意向量夹角 的取值范畴 0， 再练一题 4假设非零向量 a， b 满意|a| 3|b| |a2b|，就 a 与 b 夹角的欢迎下载精品学习资源余弦值为解： 设 a 与 b 夹角为 ，由于 |a| 3|b|，所以|a|2 9|b|2，又|a| |a2b|，所以 |a|2|a|2 4|b|24a b.3 |a|24|b|2 4|a| |b|cos 13|b|212|b|2cos ，即 9|b|2 13|b|212|b|2cos ，故有 cos 13【答案】 1构建 体系 1在 ABC 中，BC

15、5，AC8， C60，就BCCA A 20B 20欢迎下载精品学习资源C 20 3D 2032解： BCCA|BC|CA|cos 1205 8 1 20.欢迎下载精品学习资源【答案】B2. 设 e1， e2 是两个平行的单位向量就下面的结果正确的选项是A e1 e21B e1 e2 1C |e1 e2| 1D |e1 e2|1欢迎下载精品学习资源解： e1e2 |e1|e2|cos1.【答案】C3. 在 ABC 中，ABa，BC b，且 ba 0，就 ABC 是 A 锐角三角形B钝角三角形C直角三角形D无法确定解： 在ABC 中，由于 ba 0，所以 ba，故ABC 为直角三角形【答案】C4.

16、 已知 |a| 4， e 为单位向量， a 在 e 方向上的投影为 2，就 a与 e 的夹角为.解： 由于 a 在 e 方向上的投影为 2，即|a|cos 2， 21所以 cos |a| 2， 120.【答案】1205. 已知 ab 20， |a| 5，求 b 在 a 方向上的投影的大小解： 设 a， b 的夹角为 ，就 b 在 a 方向上的投影就是 |b|cos ， 由于|a|b|cos ab 20，欢迎下载精品学习资源20所以|b|cos |a|205 4，欢迎下载精品学习资源即 b 在 a 方向上的投影是 4.学业分层测评欢迎下载精品学习资源学业达标 一、挑选题欢迎下载精品学习资源1.

17、已知|b| 3， a 在 b 方向上的投影是23，就 ab 为欢迎下载精品学习资源33A 1B 4C 3D 2解： 由数量积的几何意义知2ab 332，应选 D【答案】D2. 设 e1 和 e2 是相互垂直的单位向量，且 a3e12e2，b 3e1 4e2，就 ab 等于A 2B 1C 1D 2解：由于|e1|e2| 1，e1e20，所以 ab 3e1 2e23e14e2 9|e1|2 8|e2|2 6e1e2 9128 126B【答案】B3假设向量 a 与 b 的夹角为 60， |b|4，且a 2b a3b 72，就 a 的模为A 2B 4C 6D 12解： a 2b a3b a2ab 6b

18、2欢迎下载精品学习资源 |a|2|a| |b|cos 606|b|2 |a|22|a| 96 72，|a|2 2|a|240，|a|6.【答案】C42021 宁波期末 已知向量 a，b 满意|a| 2，|b|1，ab1， 就向量 a 与 a b 的夹角为 A 6B 3欢迎下载精品学习资源C 5 6D 2 3欢迎下载精品学习资源解： |ab| ab2 a2b22a b 3，设向量 a 与 a b 的夹角为 ，就aa b221 3欢迎下载精品学习资源cos |a|a b|2 32 ，又 0，欢迎下载精品学习资源所以 6 .应选 A【答案】A5已知点 A， B，C 满意|AB| 3，|BC|4， |

19、CA| 5，就AB BC BCCA CAAB的值是 A 25B 25C 24D 24解： 由于 |AB|2|BC|2 9 16 25 |CA|2，欢迎下载精品学习资源所以ABC90，所以原式 AB BC CABC AB 0 CA AC AC2 25.【答案】A二、填空题6已知 ab，|a|2，|b| 1，且 3a 2b 与 a b 垂直，就 等于解： 3a 2ba b，a b3a2b 0，3a2 23a b 2b2 0.又|a|2， |b| 1， ab，16122 0， .6【答案】17已知 |a| |b| |c|1，且满意 3a mb7c0，其中 a 与 b 的夹角为 60，就实数 m解：

20、3amb7c0，3a mb 7c，3a mb27c2，化简得 9 m2 6mab49.欢迎下载精品学习资源1又 ab |a|b|cos 60m23m 40 0，欢迎下载精品学习资源2，解得 m5 或 m 8.【答案】5 或 8三、解答题8. 已知向量 a、b 的长度 |a|4，|b|2.欢迎下载精品学习资源(1) 假设 a、b 的夹角为 120，求|3a 4b|；(2) 假设|a b|23，求 a 与 b 的夹角 .1解： 1ab |a|b|cos 1204 2 2 4.又|3a4b|23a 4b2 9a224ab16b2 942 24 4 16 22 304，|3a4b|419.2 |ab|

21、2ab2a22ab b2 42 2ab 22 232，欢迎下载精品学习资源abab 4，cos |a|b|41 .欢迎下载精品学习资源2 又 0， 3 .4 22欢迎下载精品学习资源9. 在 ABC 中， BCa，CAb，AB c，且 abbc ca，试判定 ABC 的外形解： 如图， ab c 0.就 ab c， 即ab2 c2，故 a22abb2c2.同理， a2 2ac c2b2,b22bcc2a2.欢迎下载精品学习资源由 ，得b2c2c2 b2，即 2b2 2c2， 故|b| |c|.同理，由 ，得|a| |c|.故|a|b| |c|，故ABC 为等边三角形才能提升 12021 玉溪高

22、一检测 已知|a| 2|b|0，且关于 x 的方程 x2 |a|xab0 有实根，就 a 与 b 的夹角的取值范畴是 63A 0， B ， 2C 3 ， 3D 6 ，欢迎下载精品学习资源解： 由于 a24|a|b|cos 为向量 a 与 b 夹角欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源假设方程有实根，就有 0 即 a24|a|又|a| 2|b|，4|b|2 8|b|2cos 0， 1cos 2，又 0 ，|b|cos 0，欢迎下载精品学习资源3 .【答案】B2已知单位向量 e1， e2 的夹角为 60，求向量 a e1 e2，b e2 2e1 的夹角解： e1， e2 为单位向量且夹角为 60，1e1e2 1 1cos 602.欢迎下载精品学习资源ab ee e2e 2e13e 1 2 1欢迎下载精品学习资源122112 2 2，欢迎下载精品学习资源|a| a2 e1 e22112 2 1 3，|b| b2 e2 2e12114 4 2 3，ab31 1欢迎下载精品学习资源2cos |a|b| 23 3 .欢迎下载精品学习资源又 0，180 ， 120，a 与 b 的夹角为 120.欢迎下载