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1、,如图,等边三角形ABC中,求： （1）AB与AC的夹角； （2）AB与BC的夹角_,A,B,C,复习练习,D,问题情境:,情境1:前面我们学习了平面向量的加法、减法和数乘三种运算,那么向量与向量能否“相乘”呢？,一个物体在力 的作用下产生位移 , 那么力 所做的功,W=,表示力 的方向与位移 的方向的夹角。,我们将功的运算类比到两个向量的一种运算，得到向量“数量积”的概念。,2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义,平面向量数量积的定义:,已知两个非零向量 和 ，它们的夹角为 , 我们把数量 叫做 与 的数量积 (或内积),记作 .,规定：零向量与任意向量的数量积为0,注意：,(1) 两个
2、向量的数量积是一个实数，不是向量,(2)两个向量的数量积称为内积，写成 ,注意：,(3) 向量的数量积和实数与向量的积(数乘)不是一回事,数量积 的结果是一个数量(实数)；,实数与向量的积(数乘)还是一个向量,练习：课本 106页 1,练习：课本 106页 2,向量数量积的性质,当且仅当两向量共线时等号成立,(B1),如图，作出 cos，并说出它的几何意义； cos的几何意义有是什么？,平面向量数量积几何意义, cos叫做向量 在向量 方向上的投影， cos叫做向量 在向量 方向上的投影.,叫做向量 在 方向上(向量 在 方向上)的投影.,向量 在方向 上的投影是数量,不是向量,什么时候为正，
3、什么时候为负？,探究：,平面向量数量积的几何意义:,1向量a的模为10，它与x轴正方向的夹角为150，则它在x轴上的投影为(),全优92页限时规范训练,A,【例3】 已知|a|3，|b|5，ab12，则向量a在向量b的方向上的投影为_,解析：,(为a与b的夹角)，,全优57页典例剖析,平面向量数量积的运算率:,(1)交换律：,(2)数乘结合律：,(3)分配律：,数量积不满足结合律和消去率,注意:,性质,1下列命题中正确的是() A|ab|a|b| Babba C(a)ba(b) D非零向量a与b的夹角余弦值为,D,全优58页基础夯实,3在ABC中，三个式子,中可以成立的(),A至少1个 B至多
4、1个 C一个也没有 D三式可以同时成立,B,3(2015年广州综合测试)在ABC中，若,则边AB的长等于_,2,全优92页限时规范训练,例2.证明：,例2.证明：,例3 .已知 求,解：由题意可知,练习： 课本 108页 7,练习： 课本 108页 3,5已知|a|4，|b|2且a与b的夹角为120.求：,(1)|2ab|；,【解析】,(1)因为|2ab|2,4a24abb2,(2)(a2b)(ab)；,(2)(a2b)(ab),a2ab2b2,全优92页限时规范训练,5已知|a|4，|b|2且a与b的夹角为120.求：,【解析】,全优92页限时规范训练,(3)a与ab的夹角；,(3)因为|a
5、b|2,a22abb2,设a与ab的夹角为，,可得a与ab的夹角为,5已知|a|4，|b|2且a与b的夹角为120.求：,【解析】,全优92页限时规范训练,(4)若(ab)(ab)，求的值,(4)因为(ab)(ab)，,所以(ab)(ab)0，,即a2(1)abb20，,也就是164(1)40，,8m，n为单位向量，夹角为60. (1)求(3m5n)与(2mn)的夹角的余弦值,【解析】,(1)由已知，得,|3m5n|,7，,即所求夹角的余弦值为,全优58页能力提高,8m，n为单位向量，夹角为60. (2)若(2mn)与(kmn)夹角为120，求k.,【解析】,全优58页能力提高,(2)已求得,