2022年排列组合复习总结.docx

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1、排列组合、二项式定理复习总结一、分类计数与分步计数原理的区分和联系分类计数（或加法）原理分步计数（或乘法）原理 联系分类计数原理和分步计数原理, 回答的都是关于完成一件事情的不同方法的种数的问题；区分一完成一件事情共有 n 类方法,关键词是 “分类”完成一件事情 ,共分 n 个步骤,关键词是 “分步”每类方法都能独立完成 这件事情, 任意两类方法每一步得到的只是中间结 果,任何一步都不能能独立区分二具有相互独立性和排斥性；完成这件事情,缺少任何一步也不能完成这件事情,只有每个步骤完成了,才能完成这件事情；区分三Nm1m2mnNNm1 m2mn二、排列数与组合数公式n1、Amn n1n2nm共m

2、个1（多用于运算）=n.nm（多用于证明）.Cm2、 nnn共m个1n2nm1（多用于运算）1 2 3m共m个=n.m. nm（多用于证明）.3、 A mC m A m；4、 Cm = Cnm；nnmnn5、 Cm = C n1 +C n；nn -1n -16、 C kC kC kC kC k1 ;kk1k2mm17、 C 0C 1C 2C n2nnnnn三、解排列组合应用题的常用方法解决排列组合综合性问题的一般过程如下:1） 、仔细审题弄清要做什么事；2） 、怎样做才能完成所要做的事, 即实行分步仍是分类, 或是分步与分类同时进行, 确定分多少步及多少类；3） 、确定每一步或每一类是排列问题

3、 有序 仍是组合 无序 问题, 元素总数是多少及取出多少个元素；4） 、解决排列组合综合性问题,往往类与步交叉,因此必需把握一些常用的解题策略；1、相异元素答应重复的排列； 答应重复的排列问题的特点是以元素为讨论对象,元素不受位置的约束,可以逐一支配各个元素的位置, 一般地, 从 n 个相异元素中答应重复地取出 m 个元素（ 1mn ）,没m有限制地支配在 m 个位置上 的排列数 Nn ；例 1、3 名同学报名参与 4 个不同学科的竞赛,每名同学只能参赛一项,有多少种不同的报名方案？（N43 ）例 2、把 5 封信投入 6 个邮箱,不同的投法共有（ 65种）2、不尽相异元素的全排列；有 n 个

4、元素,其中有m1 个元素相同,又有 m2 个元素相同又有mk 个元素相同,（ m1 + m2 + mkAnNnn）,就这 n 个元素的全排列数Am1 Am2Amkm1m2mkA10N10A A A例 3、三个 1,四个 2,三个 4 能排成多少个 10 位数（有个）3433433、环排问题； 一般地, 假如从 n 个不同元素中不许重复地取出 m个元Am素作圆形排列共有 Nn种mA5例 4、 5 人围桌而坐 , 共有多少种坐法 .（ N55 种）4、特别元素和特别位置优先策略；位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法, 如以元素分析为主, 需先支配特别元素, 再处理其它元素

5、. 如以位置分析为主, 需先满意特别位置的要求, 再处理其它位置；如有多个约束条件, 往往是考虑一个约束条件的同时仍要兼顾其它条件例 5、由 0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数？解:由于末位和首位有特别要求 ,应当优先支配 ,以免不合要求的元素占了这两个位置, 先排末位共有C 1 ,然后排首位共有C1 ,最终排其它344位置共有A3 ,由分步计数原理得11 A3 =288 种CC4345、相邻元素捆绑策略；要求某几个元素必需排在一起的问题, 可以用捆绑法来解决问题. 即先将需要相邻的元素合并为一个元素, 再与其它元素一起作排列, 最终要留意合并元素内部也必需排列；例 6、

6、某人射击 8 枪,命中 4 枪, 4 枪命中恰好有 3 枪连在一起的情形的不同种数为（ 20）6、不相邻问题插空策略；元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两端；例 7 、 一 个 晚 会 的 节 目 有 4个 舞 蹈 , 2个 相 声 , 3个独唱, 舞蹈节目不能连续出场, 就节目的出场次序有多少种？5解: 分两步进行第一步排 2 个相声和 3 个独唱共有 A5 种,其次步将 46舞蹈插入第一步排好的 6 个元素中间包含首尾两个空位共有A4 种不54同的方法由分步计数原理 ,节目的不同次序共有 A5 A 种67、定序问题倍缩空位插入策略；定序问题可以用倍缩法,仍

7、可转化为占位插空模型处理；例 8、7 人排队, 其中甲乙丙 3 人次序肯定共有多少不同的排法？解、 倍缩法 对于某几个元素次序肯定的排列问题, 可先把这几个元素与其他元素一起进行排列 , 然后用总排列数除以这几个元素之间的A7A；3全排列数 , 就共有不同排法种数是：73A7（空位法）设想有 7 把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有4种方4法,其余的三个位置甲、乙、丙坐共有1 种坐法,就共有 A7 种方法；（插入法 先排甲乙丙三个人 , 共有 1 种排法, 再把其余 4 四人依次插入共有 4x5x6x7 种方法；8、多排问题直排策略；一般地 ,元素分成多排的排列问题 ,可归结为一排考虑,再分段讨

8、论；例 9、8 人排成前后两排 , 每排 4 人, 其中甲乙在前排 , 丁在后排 , 共有多少排法？解:8 人排前后两排 ,相当于 8 人坐 8 把椅子,可以把椅子排成一排 .先45在前 4 个位置排甲乙两个特别元素有 A 2 种,再排后 4 个位置上的特别4元素有 A1 种,其余的 5 人在 5 个位置上任意排列有A5 种,就共有215A4 A4 A5种；9、正难就反总体剔除策略；有些排列组合问题, 正面直接考虑比较复杂, 而它的反面往往比较简捷, 可以先求出它的反面, 再从整体中剔除；例 10、从 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数, 使其和为不小于 10 的偶数

9、,不同的取法有多少种？解：这问题中假如直接求不小于 10 的偶数很困难 ,可用总体剔除法；这十个数字中有 5 个偶数 5 个奇数, 所取的三个数含有 3 个偶数的取5CC55法有 C 3 种,只含有1 个偶数的取法有12 和为偶数的取法共有555C 3 +C 1C 2 种,再剔除和小于 10 的偶数共 9 种,故符合条件的取法共555有C 3 +C1 C 2 -9 种；10、合理分类与分步策略；解含有约束条件的排列组合问题,可按元素的性质进行分类,按大事发生的连续过程分步,做到标准明确；分步层次清晰,不重不漏,分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的始终；例 11、在一次演唱会上共 10 名演员,

10、其中 8 人能唱歌 ,5 人会跳舞 ,现要演出一个 2 人唱歌 2 人伴舞的节目 , 有多少选派方法 .解：10 演员中有 5 人只会唱歌, 2 人只会跳舞 3 人为全能演员,以只会唱歌的 5 人是否选上唱歌人员为标准进行讨论；33只会唱的 5 人中没有人选上唱歌人员共有 C 2C 2 种；只会唱的 5 人中只534有 1 人选上唱歌人员有 C1C1C 2 种；只会唱的 5 人中只有 2 人选上唱歌人员有22C5C5种,由分类计数原理共有22C3 C3112+C5C3C422+种C5 C5此题仍有如下分类标准：* 以 3 个全能演员是否选上唱歌人员为标准；* 以 3 个全能演员是否选上跳舞人员

11、为标准；* 以只会跳舞的 2 人是否选上跳舞人员为标准, 都可经得到正确结果；11、实际操作穷举策略； 对于条件比较复杂的排列组合问题, 不易用公式进行运算,往往利用穷举法或画出树状图,会收到意想不到的结果；例 12、设有编号 1,2,3,4,5的五个球和编号 1,2 ,3,4,5 的五个盒子 , 现将 5 个球投入这五个盒子内 , 要求每个盒子放一个球,并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同 , 有多少投法5解：从 5 个球中取出 2 个与盒子对号有 C 2 种,仍剩下 3 球 3 盒序号不5能对应,利用实际操作法, 假如剩下 3,4,5 号球, 3,4,5 号盒, 3 号球装4 号盒时,就

12、 4,5 号球有只有 1 种装法,同理 3 号球装 5 号盒时,4,5 号球有也只有 1 种装法,由分步计数原理有 2 C2 种 ；12、分解与合成策略；分解与合成策略是排列组合问题的一种最基本的解题策略 , 把一个复杂问题分解成几个小问题逐一解决, 然后依据问题分解后的结构 , 用分类计数原理和分步计数原理将问题合成, 从而得到问题的答案 , 每个比较复杂的问题都要用到这种解题策略；例 13、 30030 能被多少个不同的偶数整除？ 解：先把 30030 分解成质因数的乘积形式30030=23 5 71113依题意可知偶因数必先取 2, 再从其余 5 个因数中任取如干个组成乘0123455积

13、,全部的偶因数为：C5C5C5C5C5C5232 个13、化归策略；处理复杂的排列组合问题时可以把一个问题退化成一 个简要的问题, 通过解决这个简要的问题的解决找到解题方法,从而进下一步解决原先的问题；例 14、 25 人排成 55 方队, 现从中选 3 人, 要求 3 人不在同一行也不在同一列 , 不同的选法有多少种？解：将这个问题退化成9 人排成 33 方队, 现从中选 3 人, 要求 3 人不在同一行也不在同一列 , 有多少种选法；这样每行必有1 人从其中的一行中选取 1 人后, 把这人所在的行列都划掉,如此连续下去 . 从 3C3C C2 1 3 方队中选 3 人的方法有 111 种；

14、再从 55 方队选出 33 方队55便可解决问题；从 55 方队中选取 3 行 3 列有C 3C 3 种选法,所以从553215 5 方队中选不在同一行也不在同一列的3 人有C 3C 3 C1C 1C 1 =600 种选法；例 15、正方体的 8 个顶点可连成多少对异面直线？解：我们先从 8 个顶点中任取 4 个顶点构成四周体,共有C8412 =58个四周体,每个四周体有 3 对异面直线 ,所以正方体中的 8 个顶点可8连成 3（ C 412 ） =174 对异面直线；14、平均分组问题除法策略； 平均分成的组 ,不管它们的次序如何 ,都是一种情形 ,所以分组后要肯定要除以nAn n 为均分的

15、组数 防止重复计数；例 16、 6 本不同的书平均分成 3 堆,每堆 2 本共有多少种分法？解: 分三步取书得222C C C642种方法 ,但这里显现重复计数的现象 ,不妨记 6 本书为 ABCDEF 如第一步取 AB,其次步取 CD, 第三步取 EF ,该642分法记为 AB,CD,EF, 就C2C 2C 2中仍有 AB,EF,CD,CD,AB,EF,3CD,EF,AB , EF,CD,AB,EF,AB,CD 共有C C C222642A3 种取法 ,而这些分法仅是AB,CD,EF 一种分法 ,故共有四、二项式定理1、绽开式a bn 所表示的定理叫做二项式定理；3种分法；A3注： 1） .

16、 项数规律：绽开式共有 n+1 个项；2）. 指数规律：（ 1）各项的指数和均为 n；（ 2）二项和的第一项 a 的指数由 n 逐次降到 0,其次项 b 的指数由 0 逐次升到 n；3）. 留意区分二项式系数与项的系数的概念, 二项式系数为C k ；n项的系数为：二项式系数与数字系数的积；n4）.a bn 的绽开式与 ban 的绽开式的项完全相同,但对应的项不相同而且两个绽开式的通项不同2、通项： Tk 1C k an k bk 为二项绽开式的第 K+1 项,称其为二项展C开式的通项；二项绽开式的通项公式Tk 1=kan kbk kn0,1,2, , n集中表达了二项绽开式中的指数、项数、系数

17、的变化,它在求绽开式的某些特定项 如含指定幂的项、常数项、中间项、有理项、系数最大的项等 及其系数以及数、式的整除等方面有着广泛的应用使用时要留意：1、通项公式表示的是第 “k 1”项,而不是第 “k”项； 2、通项公式中 a 和 b 的位置不能颠倒；3、绽开式中第 k1 项的二项式系数与第 k1 项的系数,在一般情形下是不相同的, 在详细求各项的系数时, 一般先处理符号, 对根式和指数的运算要细心,以防出差错8x1例 1、试判定在23 x的绽开式中有无常数项？假如有,求出此常数项；假如没有,说明理由.解：设绽开式中的第r+1 项为常数项,就：8 rrTCrx18 rrr124 4 rx32r

18、 183 x1C82由题意可知,244r0r638 6故存在常数项且为第7 项,常数项为T1 6C61x07782例 2、由3 x3 2100绽开式所得的 x 的多项式中,系数为有理数的共有多少项？解：3x3 2 100绽开式的通项公式为：100rr100rrTCr3x3 23 223Crx100 rr1100100100r , r均为整数时,T为有理数.23r为6的倍数,且0r100.即r 为0,6,12,96, 绽开式中共有 17项有理项 .3、二项绽开式中的“系数”的问题；1） 、求二项式系数最大项：nnn(1) 假如 n 是偶数,就中间一项第1 的二项式系数2C 2 最大；(2) 假如

19、 n 是奇数,就中间两项第n1 项的二项式系数2n 1Cn2 与第n1 +12项的二项式系数n 1Cn 2相等并最大2） 、二项式系数的“和”的性质：（ 1） C 0C1C 2.C n2nnnnn（ 2） S=C0C2C4.S =C1C3C5.2n 1奇nnn偶nnn3） 、求绽开式系数最大项：如求 abxna,bR的绽开式系数最大的项,一般是采纳待定系数法,设绽开式各项系数分别为Tk 1Tk 1Tk（ k=0,1,23, n ） 且Tk 1系 数 最 大 , 应 用TT从而解出 k 来,即得k 1k 2例 3、已知 x2 2x2n N* 的绽开式中第五项的系数与第三项的系n数的比是 10 1

20、, 求绽开式中系数最大的项和二项式系数最大的项n解：由题意知,第五项系数为C4 24,第三项的系数C 4 22 为就有化简得 n25n 24 0, 解得 n8 或 n 3舍去设绽开式中的第 k 项,第 k1 项,第 k 2 项的系数肯定值分别为Tk 、Tk 1 、 Tk2 ,依次为设第 k 1 项的系数肯定值最大,就,解得 5k6,又 T6 的系数为负,系数最大的项为 T7 1 792x11, 由 n 8 知第 5 项二项式系数最大,此时 T5 1 120x6；4） 、用“赋值法”求“系数”的和；（1） ）、对形如 ax bn、ax2 bx cm、a、b、cR的式子求其展 开式的各项系数之和,

21、 常用赋值法,只需令 x 1 即可；对ax byna, b R的式子求其绽开式各项系数之和,只需令xy 1 即可（2） ）、一般地,如 fx a0 a1x a2x2 anxn,就 fx绽开式中各项系数之和为 f1,即 f1= T奇 +T偶 ,另外有奇数项系数之和为 T奇 =a0 a2 a4 偶数项系数之和为 T偶 =a1 a3 a5 f 1f 1f 12f 12例 4、如3x 17a7x7 a6x6 a1x a0,求：1a7a6 a1； 2a7 a5 a3a1；3a6 a4a2a0.解： 1令 x 0,就 a0 1；令 x1,就 a7 a6 a1 a0 27 128, （ 1） a7 a6 a

22、1 129.2令 x 1,就 a7a6a5a4 a3 a2 a1 a0 47（ 2）由（1）+（ 2）得：22a7a5 a3 a1 1 128 478 256.（1）+（ 2）(3) 由2得：2a6a4 a2 a0 1 128 47 8 128.例 5、如1 2x2022 a0 a1x a2022x2022xR,就的值为 A 2；B0；C 1；D 2解：令 x 0,就 a0 1,令答案C4、二项式定理的应用；1） 、利用二项式定理可以求余数和证明整除性问题,通常需将底数化成两数的和与差的形式,且这种转化形式与除数有亲密关系；例如、 9192 除以 100 的余数是多少？2） 、利用二项式定理证明不等式问题时,通常是把二项绽开式中的某些正项适当删去（缩小） ,或把某些负项删去（放大） ,使等式转化为不等式,然后再依据不等式的传递性进行证明；未完待续