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1、精品_精品资料_排列、组合及二项式定理一、计数分类加法计数原理和分步乘法计数原理1. 分类加法计数原理定义完成一件事,可以有 n 类方法,在第一类方法中有 m1 种方法, 在其次类方法中有 m2 种方法, ,在第 n 类方法中有 mn 种不同的方法, 那么,完成这件事情共有 Nm1+ m2+ +mn 种不同的方法2. 分步乘法计数原理定义完成一件事情需要经过 n 个步骤,缺一不行,做第一步有 m1 种方法,做其次步有 m2 种方法, ,做第 n 步有 mn 种方法,那么完成这件事共有 Nm1 m2mn 种不同的方法3. 分类加法计数原理与分步乘法计数原理区分与联系联系. 都涉及完成一件事情的不
2、同方法的种数区分： 分类加法计数原理与分类有关,各种方法相互独立,用其中的任一种方法都可以完成这件事.分步乘法计数原理与分步有关,各个步骤相互依存,只有各个步骤都完成了,这件事才算完成4. 分类分步标准分类就是一步到位, 1 类与类之间要互斥.（ 2）总数完整.分步是局部到位,（ 1）按大事发生的连贯过程进行分步. （ 2）步与步之间相互独立,互不干扰. （3）保证连续性. 排列与组合1. 排列（1） 排列定义： 从 n 个不同元素中,任取 mmn个元素,根据肯定的次序排成一列, 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列mmm（2） 排列数公式 ：Amn Cn A =nn 1n 2
3、nm1 或写可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n成 Amn；nm；.特别: An n=n.=nn-1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（3） 特点：有序且不重复2. 组合（1） ）组合定义： 从 n 个不同元素中,任取 mmn个元素组成一组,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_m（2） ）组合数公式 ：Cnm AnAmnn 1 n2 n m 1=m；或写成可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nCmmn；.m；n m；可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3 组合数的性质Cmn Cn
4、 m.n1nnCmCmCm 1.（4） ）特点：有序且不重复3. 排列与组合的区分与联系： 区分： 排列有序,组合无序联系： 排列可视为先组合后全排4. 基本原就：（ 1）先特别后一般.（2）先选后排.（ 3）先分类后分步.排列组合的应用（常用方法：直接法,间接法）1. 抽取问题：（1） ）关键： 特别优先.（2） ）题型： 把 n 个相同的小球,一次性的放入到m 个不同的盒子中（ nm）,每个盒子至少 1 个,有多少种不同的方法？ Cmn把 n 个相同的小球, 依次性的放入到 m 个不同的盒子中（ nm）,每个盒子至少 1 个,有多少种不同的方法？ Amn把 n 个相同的小球,放入到 m 个
5、不同的盒子中（nm）,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_每个盒子放球数目不限,有多少种不同的方法？mn把 n 个不同的小球,放入到 m 个不同的盒子中（nm）,每个盒子至少 1 个,有多少种不同的方法？ Amn把 n 个相同的小球, 依次性的放入到 m 个不同的盒子中（ nm）,每个盒子至多 1 个,有多少种不同的方法？ Cn-1m-1 隔板法2. 排序问题：特别优先（1） ）排队问题： 对 n 个元素做不重复排序 Ann;n;m 对 n 个元素进行（其中有m 个元素的位置固定）排列 AnAm假如对 n 个元素进行（其中有 m 个元素的位置固定 ,k 个元素的位置n可编辑资料 -
6、 - - 欢迎下载精品_精品资料_固定）排列An;A m A K可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_mK 相邻问题 捆绑法 留意松绑 ;不相邻问题:a 一方不相邻 先排没要求的元素,再把不相邻的元素插入空位 ;2 数字问题 ;b 互不相邻先排少的在插入多的 ;各位相加为奇数的 - 奇数的个数是奇数 ;各位相加为偶数的 - 奇数的个数是偶数 ;组成 n 为偶数奇数的数- 特别优先法 ;能被 n 整除的数 - 特别优先法 ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_比某数大的数 ,比某数小的数或某数的位置 - 从大于 小于开头排,再排等于 ;(3) 着色问题 :区域优先 - 颜色
7、就是分类点 ;颜色优先 - 区域就是分类点 .(4) 几何问题 :点、 线、 面的关系一般均为组合问题.图中有多少个矩形 C6 2 C 42 ;从 A 到 BA的最短距离 C83(5) 分组、安排问题：B非均分不编号 ;n 个不同元素分成 m 组,每组元素数 目均不相等, 且不考虑各组间的次序, 不考虑是否分尽可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1m- Cnmm23Cn m1 Cn m1m2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Am非均分编号 ;n 个不同元素分成 m 组,每组组元素数目均不相可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_等,且考虑各组间的次序,不考虑
8、是否分尽m1m2Cn Cnm3m1 Cn m1 m2.m可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Ak均分不编号 ;n 个不同元素分成 m 组,其中有 k 组元素数目均相等,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_且不考虑各组间的次序,不考虑是否分尽m1m2Cn Cnm3m1 Cn m1 m2.k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_均分编号 ;n 个不同元素分成 m 组,其中有 k 组元素数目均相等 , 且 考 虑 各 组 间 的 顺 序 , 不 考 虑 是 否 分 尽可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_m1m2m3.A.k .Am.可编辑资料 - - -
9、 欢迎下载精品_精品资料_Cn Cn m1 Cn m1m2km二、二项式定理可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. 定理： abn C0n anb0 C1n an 1b C2nan 2 b2 Crn an r br Cna0bnr 0,1,2 , , n2. 二项绽开式的通项Tr1 Crnanr br,r0,1,2 ,n,其中 Crn叫做二项式系数3. 二项式系数的性质对称性：与首末两端 “ 等距离” 两项的二项式系数相等, 即 C0n Cn,C1nCn1, ,CknCn k, .最大值：当 n 为偶数时,中间的一项的n二项式系数C2n取得n 最1大n 1值.当 n 为奇数时,中
10、间的两项的二项式系数CCn 22n,相等,且同时取得最大值各二项式系数的和a C0n C1nC2n CkCn 2n.nn1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_b C0n C2n C2nr C1n C3n C2nr1 2二项式定理的应用：2n 2n 1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. 求通项 ;Tr 1Cr anr br可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n2. 含 xr 的项： 项的系数.二项式系数.3. 常数项（含 xr 的项中 r=0 ）整数项（含 xr 的项中 rN）有理项（含 xr 的项中 r
11、Z）无理项（含 xr 的项中 rZ）4. 项的系数和：（1） ）已知多项式 fx=a+bx na,b0=a 0 +a 1x+a 2x2+ +an xn:a0 =f（0）a0 +a 1+a 2+an = f1= a+b n ;|a0 |+|a 1 |+|a 2 |+|an |= f1= a+b n;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a0 +a 2+a 4+=f 1f 1 ;2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a1 +a 3+a 5+=f 1f 21 ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a0 +a2 +a4+2- a 1 +a 3 +a 5+2 =f1f（
12、 -1）.（2） ）已知多项式 fx=a-bx n a,b0=a 0 +a1x+a2x2+anxn :a0 =f（0）a0 +a 1+a 2+an = f1= a-b n;|a0 |+|a 1 |+|a 2 |+|an |= f-1= a+b n;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a0 +a 2+a 4+=f 1f 1 ;2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a1 +a 3+a 5+=f 1f 21 ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a0 +a2+a4+2- a 1 +a 3+a 5+2 =f1f（ -1
13、）.3 已知多项式 fx=ax-b na,b0=a 0 +a 1x+a 2x2 +anxn:令 gx= （ -1） nb-ax na0 =f（0）a0 +a 1 +a 2+an = f1= a-b n;|a0 |+|a 1 |+|a 2 |+|an |=|-1 n|g-1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a0 +a 2+a 4+=f 1f 1 ;2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a1 +a 3+a 5+=f 1f 21 ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a0 +a2 +a4+2- a 1 +a 3 +
14、a 5+2 =f1f（ -1）.4 已知多项式 fx=-ax-b na,b0=a 0 +a 1x+a 2x2+anxn:令 gx= （ -1） nax+b na0 =f（0）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a0 +a 1+a 2+an = f1= a-b n;|a0 |+|a 1 |+|a 2 |+|an |=|-1 n|g1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a0 +a 2+a 4+=f 1f 1;2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a1 +a 3+a 5+=f 1f 21 ;可编辑资料 - - - 欢
15、迎下载精品_精品资料_a0 +a2+a4+2- a 1 +a 3+a 5+2 =f1f（ -1）.5. 最值问题：nn 二项式系数最大：（a）当 n 为偶数时,二项式系数中, C 2最可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_大.（b）当 n 为奇数时,二项式系数中,nCn 21n 1和Cn2最大可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_CT项的是系数最大：r 1表示第 r+1 项的系数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_rCT2CT(a) 个项都为正数时r 1CCCTr 1最大;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_r1Tr 1Tr可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(b) 一项为正一项为负时CTCTrrrr1131CTCTCT最大可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Welcome ToDownload .欢迎您的下载,资料仅供参考；可编辑资料 - - - 欢迎下载