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1、_ 精品资料排列、组合及二项式定理一、计数分类加法计数原理和分步乘法计数原理1.分类加法计数原理定义完成一件事，可以有n类办法，在第一类办法中有m1种方法，在第二类办法中有m2种方法，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么，完成这件事情共有Nm1+m2+mn种不同的方法2分步乘法计数原理定义完成一件事情需要经过n个步骤，缺一不可，做第一步有m1种方法,做第二步有m2种方法，做第n步有mn种方法,那么完成这件事共有Nm1 m2mn种不同的方法3分类加法计数原理与分步乘法计数原理区别与联系联系；都涉及完成一件事情的不同方法的种数区别：分类加法计数原理与分类有关，各种方法相互独立，用其中的任一种方法
2、都可以完成这件事；分步乘法计数原理与分步有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成4.分类分步标准分类就是一步到位，(1)类与类之间要互斥；（2）总数完整。分步是局部到位，（1）按事件发生的连贯过程进行分步；（2）步与步之间相互独立，互不干扰；（3）保证连续性。排列与组合1排列（1）排列定义：从n个不同元素中，任取m(mn)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列（2）排列数公式：AmnACmmmn=n(n1)(n2)(nm1)或写名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 8 页 -_ 精品资料成 Amnn！(nm)！.特
3、殊:An n=n!=n(n-1)!（3）特征：有序且不重复2.组合（1）组合定义：从n个不同元素中，任取m(mn)个元素组成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合（2）组合数公式：CmnmmmnAA=n(n1)(n2)(nm1)m！或写成Cmnn！m！(nm)！.(3)组合数的性质CmnCnmn；Cmn1CmnCm1n.（4）特征：有序且不重复3.排列与组合的区别与联系：区别：排列有序，组合无序联系：排列可视为先组合后全排4.基本原则：（1）先特殊后一般；（2）先选后排；（3）先分类后分步。排列组合的应用（常用方法：直接法，间接法）1.抽取问题：（1）关键：特殊优先；（2）题型：把
4、n 个相同的小球，一次性的放入到m 个不同的盒子中（n m），每个盒子至少1 个，有多少种不同的方法？Cmn 把 n 个相同的小球，依次性的放入到 m 个不同的盒子中（n m），每个盒子至少1 个，有多少种不同的方法？Amn 把 n 个相同的小球，放入到 m 个不同的盒子中（n m），名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 8 页 -_ 精品资料每个盒子放球数目不限，有多少种不同的方法？mn把 n 个不同的小球，放入到 m 个不同的盒子中（n m），每个盒子至少 1 个，有多少种不同的方法？Amn 把 n 个相同的小球，依次性的放入到 m 个不同的盒子中（n m），每个盒
5、子至多1 个，有多少种不同的方法？Cn-1m-1 隔板法2.排序问题：特殊优先（1）排队问题：对 n 个元素做不重复排序Ann;对 n 个元素进行（其中有m 个元素的位置固定）排列mmnnAA;如果对 n 个元素进行（其中有m 个元素的位置固定,k 个元素的位置固定）排列KKmmnnAAA;相邻问题 捆绑法(注意松绑);不相邻问题:(a)一方不相邻 先排没要求的元素,再把不相邻的元素插入空位;(b)互不相邻先排少的在插入多的;(2)数字问题;各位相加为奇数的-奇数的个数是奇数;各位相加为偶数的-奇数的个数是偶数;组成 n 为偶数(奇数)的数-特殊优先法;能被 n 整除的数-特殊优先法;名师资料
6、总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 8 页 -_ 精品资料比某数大的数,比某数小的数或某数的位置-从大于(小于)开始排,再排等于;(3)着色问题:区域优先-颜色就是分类点;颜色优先-区域就是分类点.(4)几何问题:点、线、面的关系一般均为组合问题；图中有多少个矩形C62 C42;从 A 到 B 的最短距离C83(5)分组、分配问题：非均分不编号;n 个不同元素分成m 组，每组元素 数 目 均不 相 等，且 不 考 虑各 组 间 的 顺 序，不考 虑 是 否分 尽-.321211CCCmmmnmmnmn非均分编号;n 个不同元素分成m 组，每组组元素数目均不相等，且考虑各组间的
7、顺序，不考虑是否分尽mmmmmnmmnmnACCC.321211均分不编号;n 个不同元素分成m 组，其中有 k 组元素数目均相等，且不考虑各组间的顺序，不考虑是否分尽kkmmmnmmnmnACCC.321211均分编号;n 个不同元素分成m 组，其中有 k 组元素数目均相等，且 考 虑 各 组 间 的 顺 序，不 考 虑 是 否 分 尽mmkkmmmnmmnmnAACCC).321211(二、二项式定理A B 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 8 页 -_ 精品资料1.定理：(ab)nC0nanb0C1nan 1bC2nan2b2CrnanrbrCnna0bn(r
8、0,1,2，n)2.二项展开式的通项Tr1Crnanrbr，r0,1,2，n，其中 Crn叫做二项式系数3.二项式系数的性质对称性：与首末两端“等距离”两项的二项式系数相等，即 C0nCnn，C1nCn1n，CknCnkn，.最大值：当n为偶数时，中间的一项的二项式系数取得最大值；当n为奇数时，中间的两项的二项式系数，相等，且同时取得最大值各二项式系数的和aC0nC1nC2nCknCnn2n；bC0nC2nC2rnC1nC3nC2r1n12 2n2n1.二项式定理的应用：1.求通项;rrnrnrbaCT12.含 xr的项：项的系数；二项式系数。3.常数项（含 xr的项中 r=0）整数项（含 x
9、r的项中 r N）有理项（含xr的项中 r Z）无理项（含 xr的项中 r Z）4.项的系数和：（1）已知多项式 f(x)=(a+bx)n(a,b0)=a0+a1x+a2x2+anxn:a0=f（0）a0+a1+a2+an=f(1)=(a+b)n;|a0|+|a1|+|a2|+|an|=f(1)=(a+b)n;a0+a2+a4+=;2)1()1(ff12Cnn12Cnn2Cnn名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 8 页 -_ 精品资料a1+a3+a5+=;2)1()1(ff(a0+a2+a4+)2-(a1+a3+a5+)2=f(1)f（-1）。（2）已知多项式 f(x
10、)=(a-bx)n(a,b0)=a0+a1x+a2x2+anxn:a0=f（0）a0+a1+a2+an=f(1)=(a-b)n;|a0|+|a1|+|a2|+|an|=f(-1)=(a+b)n;a0+a2+a4+=;2)1()1(ffa1+a3+a5+=;2)1()1(ff(a0+a2+a4+)2-(a1+a3+a5+)2=f(1)f（-1）。(3)已知多项式 f(x)=(ax-b)n(a,b0)=a0+a1x+a2x2+anxn:令 g(x)=（-1）n(b-ax)n a0=f（0）a0+a1+a2+an=f(1)=(a-b)n;|a0|+|a1|+|a2|+|an|=|(-1)n|g(-1
11、)a0+a2+a4+=;2)1()1(ffa1+a3+a5+=;2)1()1(ff(a0+a2+a4+)2-(a1+a3+a5+)2=f(1)f（-1）。(4)已知多项式 f(x)=(-ax-b)n(a,b0)=a0+a1x+a2x2+anxn:令 g(x)=（-1）n(ax+b)n a0=f（0）名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 8 页 -_ 精品资料a0+a1+a2+an=f(1)=(a-b)n;|a0|+|a1|+|a2|+|an|=|(-1)n|g(1)a0+a2+a4+=;2)1()1(ffa1+a3+a5+=;2)1()1(ff(a0+a2+a4+)2-(a1+a3+a5+)2=f(1)f（-1）。5.最值问题：二项式系数最大：（a）当 n 为偶数时，二项式系数中，Cnn2最大；（b）当 n 为奇数时，二项式系数中，C21n21nnnC和最大项的是系数最大：1rTC表示第 r+1 项的系数(a)个项都为正数时1121rrrrrTTTTTCCCCC最大;(b)一项为正一项为负时11131rrrrrTTTTTCCCCC最大名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 8 页 -_ 精品资料Welcome To Download!欢迎您的下载，资料仅供参考！名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页，共 8 页 -