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1、精品学习资源2007 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷三题号一二总 成 绩13141516得分评 卷 人复 核 人考生留意： 1. 本试卷共三大题（ 16 小题），全卷满分150 分.考试时间： 120 分钟 .2. 用钢笔、签字笔或圆珠笔作答.3. 解题书写不要超出装订线.4. 不能使用运算器 .一、挑选题（此题满分36 分，每道题 6 分）得 分 评卷人 此题共有 6小题，每题均给出 A 、B 、C、D四个结论，其中有且仅有一个是正确的 . 请将正确答案的代表字母填在题的括号内 . 每道题选对得 6 分；不选、选错或选出的字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得 0分.1. 已知函数，
2、就答： （ A ）有最小正周期（ B）有最小正周期（ C）有最小正周期（ D）无最小周期2. 关于的不等式任意两个解的差不超过，就的最大值与最小值的和是答： （ A ）（B）（C）（ D）3. 已知向量 a、b，设ab，ab，ab，就肯定共线的三点是答： （ A ）、（ B）、（ C）、（ D）、4. 设、 为平面，、 为直线，就的一个充分条件是答： （ A ） ，（ B）， ，欢迎下载精品学习资源（ C），（ D），5.如、，其中，并且，就实数对表示平面上不同点的个数为答： （ A ）6.个（ B ）个（ C）个（D ）个已知（R） ，且就 a的值有答： （ A ）个（B ） 个（C） 个（
3、 D）很多个二、 填空题（此题满分54 分，每道题 9 分）得 分 评卷人此题共有 6小题，要求直接将答案写在横线上.7. 设为等差数列的前项和，如，就公差为.8. 设且的图象经过点，它的反函数的图象经过点，就等于.9. 已知函数的图象如图，就满意的的取值范畴为.yO1x10.圆锥曲线的离心率是.11.在中，已知，就的面积为.欢迎下载精品学习资源12. 设命题:，命题:对任何R，都有. 命题与中有且仅有一个成立，就实数的取值范畴是.三、解答题（此题满分60 分，共 4 小题，每题各 15 分） 得 分 评卷人13. 设不等式组表示的平面区域为.区 域内 的 动 点到 直 线和直线的距离之积为.
4、记点的轨迹为曲线.过点的直线 与曲线交于、两点 .如以线段为直径的圆与轴相切，求直线的斜率 .14. 如图，斜三棱柱中，面是菱形，侧面，.BB1A求证：（ 1）；A1（ 2）求点到平面的距离 .CC1欢迎下载精品学习资源中，.求15. 已知数列.欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源个圆，任意两个都相交.是否存在直线16. 已知平面上你的结论 .，与每个圆都有公共点？证明欢迎下载精品学习资源2007 年江苏省高中数学联赛初赛试卷参考答案及评分标准一、挑选题（此题满分36 分，每道题 6 分） 1已知函数，就（ B ） .（ A ） 有最小正周期为（B ） 有最小正周期为（ C） 有最小正周期
5、为（ D） 无最小正周期解：，就最小正周期. 应选（ B）2. 关于的不等式任意两个解的差不超过9，就的最大值与最小值的和是（ C ） .（ A ） 2（B ） 1（ C） 0（D ）欢迎下载精品学习资源解：方程的两根是，就由关于的不等式任意两个解的差不超过，得，即.应选（ C）3. 已知向量 a、b，设ab，ab，ab，就肯定共线的三点是（ A ） .（ A ） A、B、D（B ） A、B、 C（C） B、C、D（ D ）A、 C、D解：ab，所以 A、B、D三点共线 .应选（ A ） 4设、 为平面，、 为直线，就的一个充分条件是（D ） .（ A ），（ B），（ C），（ D），解 ：
6、（ A）选项缺少条件；（ B）选项当，时，；（ C）选项当、两两垂直（看着你现在所在房间的天花板上的墙角），时，；（ D）选项同时垂直于同一条直线的两个平面平行本选项为真命题. 应选（ D）5.如、，其中，并且，就实数对表示平面上不同点的个数为（C ）（ A ）个（ B）个（ C）个（ D）个解：由及题设知，个位数字的挑选有5种. 由于，故（ 1） 由知，首位数字的可能挑选有种；（ 2） 由及知，首位数字的可能挑选有种.于是，符合题设的不同点的个数为种.应选（ C）6已知（R），且就a的值有（ D ） .（ A ） 2个（ B） 3个（ C） 4个（ D）很多个欢迎下载精品学习资源解：由题设知
7、为偶函数，就考虑在时，恒有所以当，且时，恒有由于不等式的解集为，不等式的解集为因此当时，恒有.应选（ D）二、填空题（此题满分54 分，每道题 9 分）7. 设为等差数列的前项和，如，就公差为.解：设等差数列的首项为，公差为.由题设得即解之得.8. 设且的图象经过点，它的反函数的图象经过点，就等于.解：由题设知化简得解之得（舍去） .故等于 4.9. 已知函数的图象如图，就满意的的取值范畴为yO1x（第 9题）欢迎下载精品学习资源解： 由于，所以. 于是，由图象可知，即，解得.故 x的取值范畴为10. 圆锥曲线的离心率是解：原式变形为，即所以动点到定点的距离与它到直线的距离之比为故此动点轨迹为
8、双曲线，离心率为11. 在中，已知，就的面积为解：在中，由得由正弦定理得由于，所以角可取锐角或钝角，从而故12. 设命题:，命题:对任何R，都有. 命题与中有且仅有一个成立，就实数的取值范畴是或.解：由得由对于任何R成立，得，即由于命题、有且仅有一个成立，故实数的取值范畴是或三、解答题（此题满分60 分，每道题 15 分）欢迎下载精品学习资源13. 设不等式组表示的平面区域为.区域内的动点到直线和直线的距离之积为.记点的轨迹为曲线.过点的直线与曲线交于、两点 .如以线段为直径的圆与轴相切，求直线的斜率 .解：由题意可知，平面区域如图阴影所示设动点为，就，即y由知，x y0，即 x2y20x所以
9、 y2 x2 4y 0，即曲线的方程为O y2 x2 1y 0 5分44设，就以线段为直径的圆的圆心为.由于以线段为直径的圆与轴相切，所以半径，即 10分由于直线 AB过点 F22， 0， 当ABx轴时，不合题意所以设直线 AB 的方程为 y k x22代入双曲线方程 y2 x2 1y 0得，44k2x 222 x2 4，即 k2 1x2 42k2x 8k2 4 0 由于直线与双曲线交于A， B两点，所以 k1欢迎下载精品学习资源所以 x1 x242k2k2 1 ， x1 x28k2 4k2 1 欢迎下载精品学习资源所以 |AB| x1 x22 y1 y22 1 k2x1 x22 4x1x2欢
10、迎下载精品学习资源21 k242 2k2 4 8k2 4242k x2欢迎下载精品学习资源k 1k2 1 | x12| | k 1 |，欢迎下载精品学习资源化简得： k4 2k2 1 0，解得 k22 1（ k2 21不合题意，舍去） 由 42k22 4k2 1 8k2 4 3k2 1 0， 又由于 y 0，所以 1k33所以 k2 1 15 分欢迎下载精品学习资源解：由题意可知，平面区域D如图阴影所示设动点 Px， y ，就|x y| |x y| 2，22y即|x2 y2 |4 由P D知：xy 0， x y0 ，即 x2 y20 所以 y2 x2 4y 0即曲线 C的方程为 y2 x2 1
11、y 0 5分44Ox设Ax1， y1 ， Bx2，y2，就以线段 AB为直径的圆的圆心为 Qx1 x2，y1 y222由于以线段 AB为直径的圆与 y轴相切，半径 r 1|AB | | x1x2|22即| AB| | x1 x2| 10分由于直线 AB过点 F22， 0， 当ABx轴时，不合题意所以设直线 AB 的方程为 y k x22代入双曲线方程 y2 x2 1y 0得，44k2x 222 x2 4，即 k2 1x2 42k2x 8k2 4 0 由于直线与双曲线交于A， B两点，所以 k1欢迎下载精品学习资源所以 x1 x2 42k2 1k212k ， x1 x2 8k2 4欢迎下载精品学
12、习资源所以 |AB| x1 x22 y1 y22 1 k2x1 x22 4x1x2欢迎下载精品学习资源1 k242k2k2 128k2 4 x 4 k2 1 | x12| |42k2k2 1 |，欢迎下载精品学习资源化简得： k4 2k2 1 0，解得 k22 1（ k2 21不合题意，舍去）由 42k2 2 4k2 1 8k2 4 3k2 1 0，又由于 y 0，所以 1k 33所以 k2 1 15 分14. 如图，斜三棱柱中，面是菱形，侧面，.BB1求证：（ 1）；AA1（ 2）求点到平面的距离 .11 / 13CC1欢迎下载精品学习资源证： （ 1） 设中点为，连、.欢迎下载精品学习资源
13、由于，所以由于面，所以面（第 14题）欢迎下载精品学习资源又为正三角形，所以.从而 6 分（ 2） 由（ 1），有，面设到面的距离为，就.A由于，欢迎下载精品学习资源所以又，且BEC欢迎下载精品学习资源.设的高为，就，.于是有，即到平面的距离为 15 分15. 已知数列中，.求.解：由题设，就. 5 分欢迎下载精品学习资源由，得，就. 10 分于是，所以a2007=2007易知数列，符合此题要求 15 分留意：猜得答案或，给 2分16已知平面上个圆，任意两个都相交是否存在直线，与每个圆都有公共点？证明你的结论解：存在直线，与每个圆都有公共点证明如下：如图，先作直线，设第个圆在直线上的正投影是线段，其中、分别是线段的左右端点A 1A 2A kB mB 2B 1个圆有个投影线段，有个左端点，有个右端点 5 分由于 任意两个圆都相交，所以任意两条投影 线段 都有重叠的部分，设是最右边的左端点，就全部右端点都在的右边，否就必有两条投影线段无重叠部分，与对应的两个圆相交冲突 10 分再设是最左边的右端点，同理全部左端点都在的左边 .与不重合，线段是任意一条投影线段的一部分，过线段上某一点作直线的垂线 ，就与个圆都相交 15 分欢迎下载