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1、精品学习资源2021 年全国高中数学联合竞赛四川初赛5 月 22 日下午 14： 30 16：30欢迎下载精品学习资源题 目一二得 分评卷人复核人三13141516总成果欢迎下载精品学习资源考生留意： 1、本试卷共三大题 16 个小题，全卷总分值 140 分.2、用黑蓝色圆珠笔或钢笔作答.3、运算器、通讯工具不准带入考场.4、解题书写不要超过密封线.欢迎下载精品学习资源得 分评卷人一、单项选择题本大题共6 个小题，每题 5 分，共 30 分欢迎下载精品学习资源1、在ABC 中，设内角 A 、B、C 的对边长分别为 a， b， c命题 p：B+C=2A, 且 b+c=2a；，命题 q： ABC
2、是正三角形， 就命题 p 是命题 q 的【】A 、充要条件B 、充分不必要条件C、必要不充分条件6D、既不是充分条件也不是必要条件312021欢迎下载精品学习资源2、假设 i 为虚数单位，复数zi ，就 z的值是【】22欢迎下载精品学习资源A 、-1B、-iC、 iD、1欢迎下载精品学习资源3、已知函数f xx22txt, 当 x1,1 时，记f x的最小值为 m，就 m 的最大值是欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源1A 、-2B、0C、4【】D、1欢迎下载精品学习资源4、对任意正整数 n 与 kkn ，f n, k n表示不超过 k，且与 n 互质的正整数的个数，就f 100,3【】欢
3、迎下载精品学习资源A 、11B、13C、 14D 、19532*欢迎下载精品学习资源5、设数列an 中意： a16,an 1anan 442, nN其中 x表示不超过实数 x 的最大整数，欢迎下载精品学习资源Sn 为an 前 n 项和，就S2021 的个位数字是【】欢迎下载精品学习资源A 、1B、2C、 5D 、5欢迎下载精品学习资源6、已知F1, F2 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点， 且F1PF260,就该椭圆和双曲线的欢迎下载精品学习资源离心率之积的最小值是【】欢迎下载精品学习资源33A 、B、32C、 1D、 3欢迎下载精品学习资源得 分评卷人二、填空题本大题共6 个
4、小题，每题 5 分，共 30 分欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源7、在 x445 的开放式中xx3 的系数是用具体数字作答欢迎下载精品学习资源8、假设实数,构成以 2 为公比的等比数列，sin,sin,sin构成等比数列，就cos的值为9、已知正四棱锥 S-ABCD 侧棱长为 4，ASB= 30 ，过点 A 作截面与侧棱 SB、SC、SD 分别交于 E、F、G，就截面 AEFG 周长的最小值是欢迎下载精品学习资源10、已知ABC 的外心为 O，且 2OA3OB4OC0, 就 cosBAC 的值是欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源11、实数x, y, z, w 中意xyzw1 ，就
5、Mxw2 yw3 xy3zw4 xz5 yz 的最大值是欢迎下载精品学习资源12、对于任何集合S，用 S 表示集合 S 中的元素个数，用nS表示集合 S 的子集个数 .假设 A 、B 、C 是三个有限集，且中意条件：欢迎下载精品学习资源 AB2021 ; n AnBnC n ABC 就 ABC 的最大值是欢迎下载精品学习资源得 分评卷人三、解答题本大题共4 个小题，每题 20 分，共 80 分欢迎下载精品学习资源13、设等比数列 an的前 n 项和为Sn ，且 Sn2nr r 为常数，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源记 bn21log2annN* 欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资
6、源1求数列 anbn的前 n 项和Tn ；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源2假设对于任意的正整数n ，都有1b1 b11b2 b21bn bnkn1 成立，欢迎下载精品学习资源14、已知 a 、 b 、 c 为正实数，欢迎下载精品学习资源求证：abcabcabcbca cab欢迎下载精品学习资源111a 2b 2c215、已知抛物线 y2 2px 过定点 C1, 2，在抛物线上任取不同于点C 的一点 A，直线 AC 与直线 y x 3交于点 P，过点 P 作 x 轴的平行线交抛物线于点B1求证：直线 AB 过定点；2求 ABC 面积的最小值欢迎下载精品学习资源16、已知 a 为实数，函
7、数f x | x2 ax|lnx，请争辩函数 fx的单调性欢迎下载精品学习资源2021 年全国高中数学联赛四川初赛试题参考答案及评分标准说明：1、评阅试卷时，请依据评分标准. 选择题和填空题只设5 分和 0 分两档；其它各题的评阅，请严格依据评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其它中间档次.2、假如考生的解答题方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评阅时可参考本评分标准适当划分档次评分， 5 分一个档次，不要再增加其它中间档次.一、选择题本大题共6 个小题，每题 5 分，共 30 分1、A2、D3 、C4、C5、 A6、B二、填空题本大题共6 个小题，每题 5 分，共 30 分欢迎下载
8、精品学习资源17、1808、29、 4310、 14311、212、2021欢迎下载精品学习资源三、解答题本大题共4 个小题，每题 20 分，共 80 分欢迎下载精品学习资源*13、设等比数列 an的前 n 项和为Sn ，且 Sn2nr r 为常数，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源记 bn21log2annN 欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源1求数列 anbn的前 n 项和Tn ；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源2假设对于任意的正整数n ，都有求实数 k 的最大值1b1 b11b2 b21bn bnkn1 成立，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源解： 1由条件易知
9、a12r , a2S2S12, a3S3S24 ,欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源21n21 3nn又由 aa a 得 r1 5 分欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源于是 Sn2n1 故 a2， bn21log 2an 2 n ， anbnn 2 欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源nn1因此 Tn121222n12n 1n2 n欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源2312Tn1222n12n2欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源n*1由 - 得：Tn21222n 12 nn2 n，故 Tn n1 2 n 12 欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源所以，数列 an
10、bn的前 n 项和为 Tnn1 22 nN 10 分欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源2由于 k11b1 1b21bn112 1412 n ，欢迎下载精品学习资源n1b1b2bnn1242n欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源构造 fn112 1412n ，欢迎下载精品学习资源n1242n欢迎下载精品学习资源就 f n1n112 n14n2212n91 ， 15 分欢迎下载精品学习资源f nn22 n14 n12n8欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源于是 f n严格单增，就f n的最小值为f 132 ，4欢迎下载精品学习资源即实数 k 的最大值是 32 20 分414、已知 a
11、 、 b 、 c 为正实数，欢迎下载精品学习资源求证：abcabc 111abc bca cab 欢迎下载精品学习资源2a证明： 1先证：2babc2cabc欢迎下载精品学习资源111a 2b 2c2欢迎下载精品学习资源等价于证明：ab2bc2ca2abc abc ，欢迎下载精品学习资源令 xab, ybc, zca ，欢迎下载精品学习资源由不等式 x2y2z2xyyzzx 知结论成立 5 分欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源 2再证：abcabcbca cab111* 欢迎下载精品学习资源a 2b2c2欢迎下载精品学习资源由于不等式是轮换对称的，不妨设amax a,b, c，就 abc
12、0, cab0欢迎下载精品学习资源当 bca0 时，结论明显成立；欢迎下载精品学习资源当 bca0 时，令ayz,bzx,cxy ，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源就 x1 bca ， y 21 cab ， z 21 abc ， 10 分2欢迎下载精品学习资源故 x, y, z 均大于 0.欢迎下载精品学习资源不等式 * 变为：2 xyz8111xyz22 yzzx x111444y 2欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源只需证：yzzxxy yz 2 zx2xy 2， 15 分欢迎下载精品学习资源241欢迎下载精品学习资源留意到： yz4 yz，就2, yzyz欢迎下载精品学习资
13、源欢迎下载精品学习资源同理：41 ，41 所以，原不等式成立 20 分欢迎下载精品学习资源zx 2zxxy2xy欢迎下载精品学习资源15、已知抛物线 y2 2px 过定点 C1, 2，在抛物线上任取不同于点C 的一点 A，直线 AC 与直线 y x 3交于点 P，过点 P 作 x 轴的平行线交抛物线于点B1求证：直线 AB 过定点；2求 ABC 面积的最小值解：1由抛物线 y2 2px 过定点 C1, 2，可得抛物线方程为y2 4xyA2yC欢迎下载精品学习资源设点 A 坐标为 0 , y0 y0 2，Q4Ox欢迎下载精品学习资源就直线 AC 的方程为 y 2y02 x 1，PBy2014欢迎
14、下载精品学习资源即 y 24y02x 1，欢迎下载精品学习资源与 y x3 联立解得 P 点坐标为 y0y06 , 2 y02y012 5 分2欢迎下载精品学习资源2所以 B 点坐标为 y06,2y012 欢迎下载精品学习资源 y022y02欢迎下载精品学习资源y2当 012 时， A 坐标为 3, y0， B 点坐标为 3,2 y0 y012，直线 AB 过定点 Q3, 22欢迎下载精品学习资源20当 y 12 时，2y0 y026，直线 AB 的方程为 yy02 y0y0y012222xy0 ，欢迎下载精品学习资源4 y22y y64欢迎下载精品学习资源200024 y020202欢迎下载
15、精品学习资源化简得， yy0 y0y202 4x12y 2 ，或： yy y0 y0 42 x 3y0 ， 4欢迎下载精品学习资源易得，直线 AB 也过定点 Q3, 2 10 分法 2：由抛物线 y2 2px 过定点 C1, 2，可得抛物线方程为y2 4x 设直线 AB 的方程为 x my a，与抛物线方程联立得，y2 4my 4a 0 设 Ax1, y1， Bx2, y2，就 y1 y2 4m， y1y24a，P 点坐标为 B y2 3, y2 ，由于 AP 过定点 C，欢迎下载精品学习资源所以y22y231y12 ，又 x1my1 a， x11欢迎下载精品学习资源所以 m 1y1y2 2m
16、 4y1 a 1y2 2a 6 0 5 分将 y1y24a， y2 4m y1 代入上式，得 2m 3 ay1 2a 4m 6 0即 2m 3 ay1 2 0因此式对任意 y1 2 都成立，所以2m 3 a 0，即 3 2m a，因此直线 x my a 过定点 Q3, 2 10 分 2由 1可设直线 AB 的方程为 x 3 my 2，21 2与抛物线方程联立得y2 4my 42m 3 0就 y1 y2 4m， y1y2 42m 3，欢迎下载精品学习资源S ABC1 | CQ| | y1 y2| y1 y2|2 y1y 24y y4 m122 欢迎下载精品学习资源所以当 m 1 时， ABC 面
17、积的最小值为 42 20 分欢迎下载精品学习资源16、已知 a 为实数，函数f x | x2 ax|lnx，请争辩函数 fx的单调性欢迎下载精品学习资源解：由条件知函数f x的定义域为 0, 欢迎下载精品学习资源假设 a 0，就 f xx2 ax lnx，欢迎下载精品学习资源f x2 xa12 x2ax1，令f x0 ，得欢迎下载精品学习资源xxaa 28aa28欢迎下载精品学习资源x10 ， x24aa280 4aa 28欢迎下载精品学习资源所以，f x在0,上单调递减，在 4,上单调递增5 分4欢迎下载精品学习资源2假设 a0，就 fx2xax2ln x,当x a 时欢迎下载精品学习资源x
18、axln x ,当0 x a 时 先争辩 gx x2 ax lnx x a的单调性22欢迎下载精品学习资源g x 2x a1x2 xax x1 令 gx 0，得 xaa48 0，欢迎下载精品学习资源2当 aa 48 a，即 a 1 时，22欢迎下载精品学习资源gx在a, aa 428 上单调递减，在 aa48 ,上单调递增；欢迎下载精品学习资源当 aa 48 a，即 a 1 时， gx 在a,上单调递增 10 分欢迎下载精品学习资源 再争辩当 a 0 时， hxx2 ax lnx 0 x a的单调性2欢迎下载精品学习资源h x2xa1x2xax1 x欢迎下载精品学习资源2当a2 0，即 0 a
19、 22 时， hx 0，h x在0, a上单调递减；当a2 0，即 a 22 时，欢迎下载精品学习资源令 hx0，得 0x1aa824 a， 0x2aa8a ， 4欢迎下载精品学习资源所以 hx在0,aa 284， aa 284, a 上单调递减，欢迎下载精品学习资源综上可得：aa 28在,4aa284上单调递增 15 分欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源2 当 a 1 时， fx在0, aa48aa2上单调递减，在 48 ,上单调递增；欢迎下载精品学习资源 当 1 a 22 时， fx在 0, a上单调递减，在 a,上单调递增；欢迎下载精品学习资源 当 a 22 时， f x在0,aa 284， aa 284, a上单调递减，欢迎下载精品学习资源aa28在,4aa284， a,上单调递增 20 分欢迎下载