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1、2006年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷一、选择题(本题满分36分，每小题6分) 本题共有6小题，每题均给出A、B、C、D四个结论，其中有且仅有一个是正确的请将正确答案的代表字母填在题的括号内，每小题选对得6分；不选、选错或选出的字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分1已知数列an的通项公式an，则an的最大项是 （ ） Aa1 Ba2 Ca3 Da42函数y3的图象是 （ ）xOyxOyxOyxOyA B C D3已知抛物线y22px，O是坐标原点，F是焦点，P是抛物线上的点，使得POF是直角三角形，则这样的P点共有 （ ） A0个 B2个 C4个 D6个4设f(x)是定义在R上单
2、调递减的奇函数，若x1x20，x2x30，x3x10，则（ ）Af(x1)f(x2)f(x3)0 Bf(x1)f(x2)f(x3)0Cf(x1)f(x2)f(x3)0 Df(x1)f(x2)f(x3)5过空间一定点P的直线中，与长方体ABCDA1B1C1D1的12条棱所在直线所成等角的直线共有 （ ） A0条 B1条 C4条 D无数多条6在ABC中，tanA，cosB若的最长边为1，则最短边的长为 （ ） A B C D二、填空题（本题满分54分，每小题9分） 本小题共有6小题，要求直接将答案写在横线上7集合Ax|x3n，nN，0n10，By|y5m，mN，0n6则集合AB的所有元素之和为_8
3、设cos2，则cos4sin4的值是_9(x3x2)3的展开式中，x5的系数为_10已知则x2y2的最大值是_11等比数列an的首项为a1=2020，公比q，设f(n)表示这个数列的前n项的积，则当n_时，f(n)有最大值12长方体ABCDA1B1C1D1中，已知AB14，AD13，则对角线AC1的取值范围是_三、解答题（本题满分60分，第13题，第14题各12分，第15题16分，第16题20分）13设集合Ax|log(3x)2，Bx|1，若AB，求实数a的取值范围14椭圆1的有焦点为F，P1，P2，P24为24个依逆时针顺序排列在椭圆上的点，其中P1是椭圆的右顶点，并且P1FP2P2FP3P
4、3FP4P24FP1，若这24个点到右准线的距离的倒数和为S，求S的值ABCDE15ABC中，ABAC，AD、AE分别是BC边上的高和中线，且BADEAC证明是直角16设p是质数，且p271的不同正因数的个数不超过10个，求p2006年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷一、选择题(本题满分36分，每小题6分) 本题共有6小题，每题均给出A、B、C、D四个结论，其中有且仅有一个是正确的请将正确答案的代表字母填在题的括号内，每小题选对得6分；不选、选错或选出的字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分1已知数列an的通项公式an，则an的最大项是 （ ） Aa1 Ba2 Ca3 Da4解：an，
5、当n2时，an取最大值，故选B2函数y3的图象是 （ ）xOyxOyxOyxOyA B C D解：由于|log3x|0，故y1，只有A满足此条件，故选A3已知抛物线y22px，O是坐标原点，F是焦点，P是抛物线上的点，使得POF是直角三角形，则这样的P点共有 （ ） A0个 B2个 C4个 D6个解：作垂直于x轴的焦点弦交抛物线于点P1、P2，则P1OF、P2OF是直角三角形对于抛物线上异于O、P1、P2的点Q，显然QFO90，QOF90，从而若QOF为直角三角形，则只能是FQO90设点Q坐标为(，y)(y0，p)，则有()y20， 由y0得，0，此方程无实解，从而这样的点P只能2个，选B4设
6、f(x)是定义在R上单调递减的奇函数，若x1x20，x2x30，x3x10，则（ ）Af(x1)f(x2)f(x3)0 Bf(x1)f(x2)f(x3)0Cf(x1)f(x2)f(x3)0 Df(x1)f(x2)f(x3)解：则x1x2，知f(x1)f(x2)f(x2)f(x1)f(x2)0；同理，f(x2)f(x3)0，f(x3)f(x1)0；所以，f(x1)f(x2)f(x3)0选B5过空间一定点P的直线中，与长方体ABCDA1B1C1D1的12条棱所在直线所成等角的直线共有 （ ） A0条 B1条 C4条 D无数多条解：首先，过角的顶点与角的两边成等角的直线在角所在平面的射影是角(或其外
7、角)的平分线故若以长方体的过一个顶点的三个平面为坐标平面建立空间坐标系，则方程|x|y|z|共有8解，此8解共组成4条直线，故选C6在ABC中，tanA，cosB若的最长边为1，则最短边的长为 （ ） A B C D解：作辅助图如右：取高CDa，则AD2a，BD3a，最短边ACa；由5a1，得a，故选D二、填空题（本题满分54分，每小题9分） 本小题共有6小题，要求直接将答案写在横线上7集合Ax|x3n，nN，0n10，By|y5m，mN，0n6则集合AB的所有元素之和为_解：AB15；故所求和(3627)(0530)152258设cos2，则cos4sin4的值是_解：已知即cos2sin2
8、cos4sin42cos2sin2； 又，cos2sin21 cos4sin42cos2sin21 ()2： cos4sin49(x3x2)3的展开式中，x5的系数为_解：(x3x2)3x33x23x23x9x427x6x5的系数2710已知则x2y2的最大值是_解：满足条件的点集组成的图形为图中阴影部分及其边界其中点(3，0)与原点距离最大，故(x2y2)max911等比数列an的首项为a1=2020，公比q，设f(n)表示这个数列的前n项的积，则当n_时，f(n)有最大值解：由于f(4k)0，f(4k1)0，(kN*)f(4k)aq2k(4k1)；f(4k1)aq2k(4k1)故a1q4k
9、于是f(12)f(13)，且当k3时，f(4k1)f(4k)；又aq30，有f(9)f(12)；aq2(8k3)， 故f(8)f(12)，且k3时，f(4k4)f(4k)，从而f(12)最大12长方体ABCDA1B1C1D1中，已知AB14，AD13，则对角线AC1的取值范围是_解：设长方体的三度分别为x，y，z，对角线ACd则可得x2z216，y2z29d2x2y2z225z2，但0z3，从而16d2254d5所求取值范围为(4，5)三、解答题（本题满分60分，第13题，第14题各12分，第15题16分，第16题20分）13设集合Ax|log(3x)2，Bx|1，若AB，求实数a的取值范围解
10、：由log(3x)203x41x3由1(xa)(x3a)0 当a0时，解为ax3a； 当a0时，解为； 当a0时，解为3axa若AB，则当a0时，有a11a0；当a0时，有3a30a1所以，a的取值范围为(1，0)(0，1)14椭圆1的有焦点为F，P1，P2，P24为24个依逆时针顺序排列在椭圆上的点，其中P1是椭圆的右顶点，并且P1FP2P2FP3P3FP4P24FP1，若这24个点到右准线的距离的倒数和为S，求S的值解法一：已知椭圆的a3，b2，c，e，p对于椭圆上任一点P，|FP|r，P到准线的距离|PH|d，FP与Ox正向夹角为，则有 rcosdp，e于是， d(1ecos)p，(1e
11、cos)所以， S(1ecos)cos 故 S2180 解法二：设过焦点且斜率为k的直线交椭圆于A、B两点则有 代入： 4x29k2(x)2360即， (49 k2)x218xk245k2360 所以， x1x2，x1x2 而点P到准线距离dx， 故直线与椭圆的两个交点到准线距离的倒数和为 而过焦点且倾斜角90时，两交点到准线的距离c，故90及270的两个点到准线距离倒数和也所以，S126；S2180解法三：令代入椭圆方程得，t2(4cos29sin2)8tcos160同上15ABC中，ABAC，AD、AE分别是BC边上的高和中线，且BADEAC证明是直角证明一：延长AE到F，使EFAE，延长
12、AD到K，使DKAD连FK，FB因FBACAFBEAC又BD垂直平分AK，故AKBBAD，因BADEAC，所以AKBAFB所以A、F、K、B四点共圆FKBCFKA90故AF为该圆直径E为此圆圆心故EAEBEC，即点C在此圆上此圆为ABC的外接圆，BC为圆的直径所以BAC为直角证明二：取ABC的外接圆，延长AE交圆于点F，连FB，则CBFCAFBAD，但BADABD90，从而FBCABC90，即ABF90从而AF为圆的直径若E不是圆心，则AFBC，ABAC与已知矛盾故E为外心从而BAC90证明三：作ABC的外接圆，作EFBC，交外接圆于点F，连AF则EF是BC的垂直平分线，故F为的中点，于是AF
13、是BAC的平分线由BADEAC，得DAFEAF又，EFAD，故DAFEFAEAFEFAEAEF故AF的垂直平分线经过点E由于ABC的外接圆圆心应是弦AF、BC的垂直平分线的交点，故E为ABC的外心从而ABC为直角三角形，得，BAC为直角证明四：取AC中点F，连DF、EF，由EFABAEFEABBADDAEEACDAEDAC，由AD为高，故DACADF，所以，ADFAEFA、D、E、F四点共圆于是有EFA90，从而BAC90，故证证明五：以D为原点，BC所在直线为x轴建立坐标系设点A、B、C的坐标分别为A(0，a)，B(b，0)，C(0，c)设AB到AD的角为，则tankAC，kAE，tanEA
14、C 由tanEACtan化简得a2bc即|AD|2|DB|DC|故ABC为直角三角形证明六：设BCa，BDp，ADh，则tanB，tanAEBBAEDACtanBAEtanDAC在ABE中，有即h2(a2p)2ph2p(ap)(a2p)2h2(a2p)h2p(ap)从而|AD|2|DB|DC|故ABC为直角三角形得证证明七：设BADEAC，则ADABcosACsinC， BAEDAC90C而SBAESCAEABAEsin(90C)ACAEsinABcosCACsin：sin2sin2CC90或C若C90，则D、E重合，与ACAB矛盾，C则有BAC90，得证16设p是质数，且p271的不同正因数的个数不超过10个，求p解 p2时，p27175352，d(75)23610，故p2是本题的解； p3时，p27180245，d(80)521010，故p3是本题的解； 若质数p3，则p21(mod 8)p2710(mod 8)，故23|p271； p21(mod 3) p2710(mod 3)，故3|p271 所以，p27123t其中、N*，且3 当3，1，t若有大于3的质因子，则d(p271)422，故t1此时无质数p满足题意； 当4，1，必有t1，此时有d(p271)5210此时无质数p满足题意； 当4，1，且等号不同时成立时，d(p271)10 综上可知，解为p2，3