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1、精品学习资源2007 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷三题号一二总 成 绩13141516得分评 卷 人复 核 人考生留意： 1. 本试卷共三大题（ 16 小题），全卷满分150 分.考试时间： 120 分钟 .2. 用钢笔、签字笔或圆珠笔作答.3. 解题书写不要超出装订线.4. 不能使用运算器 .一、挑选题（此题满分36 分，每道题6 分）得 分评卷人此题共有 6 小题，每题均给出A 、B 、C、D 四个结论，其中有且仅有一个是正确的.请将正确答案的代表字母填在题的括号内 .每道题选对得6 分；不选、选错或选出的字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0 分.欢迎下载精品学习资源1. 已
2、知函数 ysin2x ，就答： 欢迎下载精品学习资源（ A ）有最小正周期 2（ B）有最小正周期（ C）有最小正周期（ D）无最小周期2欢迎下载精品学习资源2. 关于 x 的不等式 x2ax20a 20 任意两个解的差不超过9 ，就 a 的最大值与最小值欢迎下载精品学习资源的和是答： （ A ） 2（B） 1（C） 0（ D）1欢迎下载精品学习资源3. 已知向量 a、b，设 ABa 2 b， BC5 a6 b， CD7 a2 b，就肯定共线的欢迎下载精品学习资源三点是答： （ A ） A 、 B 、 D（ B） A 、 B 、 C（ C） B 、 C 、 D（ D） A 、 C 、 D4.
3、设、 为平面， m 、 n 为直线，就 m的一个充分条件是答： （ A ），n ， mn（ B）m ，欢迎下载精品学习资源（ C）， m（ D） n， n， m欢迎下载精品学习资源5. 如 m 、 nx xa2102a110a0 ，其中 ai1，2，3，4，5，6，7 ， i0，1，2 ，并且欢迎下载精品学习资源mn636 ，就实数对 m, n 表示平面上不同点的个数为答： （ A ） 60 个（ B ） 70 个（ C） 90 个（D ） 120 个欢迎下载精品学习资源6. 已知（ xR） ，f xx1x2x200 x7x12 x欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源且 f a23a2f
4、a1,就 a 的值有答： 欢迎下载精品学习资源（ A ） 2 个（B ） 3 个（C） 4 个（ D）很多个二、 填空题（此题满分54 分，每道题 9 分）得 分 评卷人此题共有 6 小题，要求直接将答案写在横线上.欢迎下载精品学习资源7. 设 Sn 为等差数列an的前 n项和，如S510， S105 ，就公差为.欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源8. 设f xlog a xb a0 且 a1 的图象经过点 2，1 ，它的反函数的图象经过点欢迎下载精品学习资源2，8 ，就 ab 等于.2x2x1欢迎下载精品学习资源9. 已知函数 yf x 的图象如图，就满意f f lg x26 x200
5、 的欢迎下载精品学习资源x 的取值范畴为.x22 x1欢迎下载精品学习资源yO1x欢迎下载精品学习资源10. 圆锥曲线x2y26 x2 y10xy30 的离心率是.欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源11. 在 ABC 中，已知 tan B3 ， sin C2 2 ， AC33 6 ，就 ABC 的面积为欢迎下载精品学习资源.欢迎下载精品学习资源12. 设命题 P : a2a ，命题 Q :对任何 xR，都有x24 ax10 . 命题 P 与 Q 中欢迎下载精品学习资源有且仅有一个成立，就实数a 的取值范畴是.欢迎下载精品学习资源三、解答题（此题满分60 分，共 4 小题，每题各 15 分
6、） 得 分 评卷人13. 设不等式组xy0，xy0表示的平面区欢迎下载精品学习资源域为 D .区 域 D 内 的 动 点 P 到 直 线xy0欢迎下载精品学习资源和直线 xy0 的距离之积为2 .记点 P 的轨迹为曲线 C .过点F 22，0 的直线 l 与欢迎下载精品学习资源曲线 C 交于 A 、 B 两点 .如以线段 AB 为直径的圆与 y 轴相切，求直线l 的斜率 .欢迎下载精品学习资源14. 如图，斜三棱柱ABCA1B1C1 中，面AA1C1C 是菱形，ACC160，侧面欢迎下载精品学习资源ABB1 A1AA1C1C ， A1BABAC1 .BB1欢迎下载精品学习资源求证：（ 1）AA
7、1BC1 ；AA1欢迎下载精品学习资源（ 2）求点A1 到平面 ABC 的距离 .欢迎下载精品学习资源CC1欢迎下载精品学习资源an 中， a11， an3an3 ， an2an15. 已知数列2 .求a2007 .欢迎下载精品学习资源16. 已知平面上 10 个圆，任意两个都相交.是否存在直线 l ，与每个圆都有公共点？证明你的结论 .欢迎下载精品学习资源2007 年江苏省高中数学联赛初赛试卷参考答案及评分标准一、挑选题（此题满分36 分，每道题 6 分）欢迎下载精品学习资源1. 已知函数ysin2x ，就（ B ） .欢迎下载精品学习资源（ A ） 有最小正周期为 2（ B） 有最小正周期
8、为（ C） 有最小正周期为（ D） 无最小正周期2欢迎下载精品学习资源解： ysin 2 x1 12cos 2 x ，就最小正周期T. 应选（ B）欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源2. 关于 x 的不等式 x 2ax20a 20 任意两个解的差不超过9，就 a 的最大值与最小值欢迎下载精品学习资源的和是（ C ） .（ A ） 2（B ） 1（ C） 0（D ）1欢迎下载精品学习资源解：方程 x 2ax20a 20 的两根是 x14a， x25a，就由关于 x 的不等式欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源x2ax20a 20 任意两个解的差不超过9 ，得| x1x2 | 9a |9
9、 ，即欢迎下载精品学习资源1a1 .应选（ C）欢迎下载精品学习资源3. 已知向量 a、b，设 ABa 2 b， BC的三点是（ A ） .5 a6 b， CD7 a2 b，就肯定共线欢迎下载精品学习资源（ A ） A、B、D（B ） A、B、 C（C） B、C、D（ D ）A、 C、D解： BDBCCD2 a 4 b2 AB ，所以 A、B、D 三点共线 .应选（ A ）4. 设、 为平面， m 、 n 为直线，就 m的一个充分条件是（D ） .（ A ），n ， mn（ B）m ，（ C）， m（ D） n， n， m欢迎下载精品学习资源解：（ A ）选项缺少条件m；（ B ）选项当/，时
10、，m/；（ C）选欢迎下载精品学习资源项当、两两垂直（看着你现在所在房间的天花板上的墙角），m时，m；（ D）选项同时垂直于同一条直线的两个平面平行本选项为真命题. 应选（ D）欢迎下载精品学习资源5. 如 m 、 nx xa102a10a，其中 a1，2，3，4，5，6，7 ， i0，1，2 ，并且欢迎下载精品学习资源210imn636 ，就实数对 m, n 表示平面上不同点的个数为（C ）（ A ） 60 个（ B） 70 个（ C） 90 个（ D） 120 个解：由 6514233 及题设知，个位数字的挑选有5 种. 由于 3217610 ，故（ 1） 由 321 知，首位数字的可能挑
11、选有2510 种；（ 2） 由 37610 及 54123 知，首位数字的可能挑选有248 种.于是，符合题设的不同点的个数为510890 种.应选（ C）欢迎下载精品学习资源6已知（ xR） ，f xx1x2x200x7x12x欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源且 f a23a2f a1,就 a 的值有（ D ） .欢迎下载精品学习资源（ A ） 2 个（ B） 3 个（ C）4 个（D ）很多个欢迎下载精品学习资源解：由题设知f x 为偶函数，就考虑在1x1 时，恒有欢迎下载精品学习资源f x2123200720212007 欢迎下载精品学习资源所以当1a 23a21 ，且 1a11
12、时，恒有f a23a2f a1 欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源由于不等式21a3a21 的解集为 352a352，不等式欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源1a11 的解集为 0a2 因此当 352a2 时，恒有欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源f a23a2f a1 .应选（ D）欢迎下载精品学习资源二、填空题（此题满分54 分，每道题 9 分）欢迎下载精品学习资源7. 设Sn 为等差数列an 的前 n项和，如 S510 ，S105 ，就公差为d1 .欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源解：设等差数列an的首项为a1 ，公差为 d .欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学
13、习资源由题设得5a110d10，a12d即2，解之得 d1.欢迎下载精品学习资源10a145d5， 2a19d1，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源8. 设f xlog a xb a0 且 a1 的图象经过点 2，1 ，它的反函数的图象经过点欢迎下载精品学习资源2，8 ，就 ab 等于 4 .欢迎下载精品学习资源loga 2b1，2ba，欢迎下载精品学习资源解：由题设知化简得2欢迎下载精品学习资源loga 8b2，8ba .欢迎下载精品学习资源解之得a13， a2b11； b22，（舍去） .4.欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源故 ab 等于 4.9. 已知函数 yf x 的图象
14、如图，就满意2 x2x1f f lg x26 x200 的欢迎下载精品学习资源x22 x1x 的取值范畴为x2，1 yO1x（第9欢迎下载精品学习资源解： 由于lgx26 x20lg x3211lg111，所以欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源lgx26 x200 . 于是，由图象可知，2 xx11 ，即1x20 ，解得x 1欢迎下载精品学习资源2x1 .故 x 的取值范畴为x2，1 欢迎下载精品学习资源10. 圆锥曲线x 2y 26x2 y10| xy3 |0 的离心率是2 欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源解：原式变形为x32 y12| xy 3 | ，即x32 y12欢迎下载
15、精品学习资源欢迎下载精品学习资源2 | xy3 | 所以动点2x,y 到定点 3，1的距离与它到直线xy30 的距离欢迎下载精品学习资源之比为2 故此动点轨迹为双曲线，离心率为2 欢迎下载精品学习资源11. 在ABC 中，已知tan B3 ， sin C2 2 ， AC33 6 ，就ABC 的面积为欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源S ABC8362 欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源解：在ABC 中，由tan B3 得 B60 由正弦定理得 ABAC sin C8 欢迎下载精品学习资源由于 arcsin 22360 ，所以角 C 可取锐角或钝角，从而cosCsin B13欢迎下载
16、精品学习资源欢迎下载精品学习资源sin Asin BCsinB cosC23cos B sin C故36欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源S ABCACAB 2sin A8362 欢迎下载精品学习资源12. 设命题 P : a2a ，命题 Q :对任何 xR，都有x24 ax10 . 命题 P 与 Q 中有欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源且仅有一个成立，就实数a 的取值范畴是1a0 或 1a1 .22欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源解：由 a 22a 得 0a1 由 x2114ax10 对于任何 xR 成立，得欢迎下载精品学习资源16a40 ，即1a由于命题 P 、 Q
17、有且仅有一个成立，故实数221欢迎下载精品学习资源a 的取值范畴是a0 或22a1 欢迎下载精品学习资源三、解答题（此题满分60 分，每道题 15 分）欢迎下载精品学习资源13. 设不等式组xy0，xy0表示的平面区域为D .区域 D 内的动点 P 到直线 xy0欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源和直线 xy0 的距离之积为 2 .记点 P 的轨迹为曲线 C .过点F 2 2，0 的直线欢迎下载精品学习资源l 与曲线 C 交于 A 、 B 两点 .如以线段 AB 为直径的圆与 y 轴相切，求直线 l 的斜率 .解：由题意可知，平面区域D 如图阴影所示设动点为P x, y ，就xyxy2
18、，即y22x2y24 由 PD 知xy0 ，x y0，即 x2y2 0x所以 y2 x2 4y 0，即曲线 C 的方程为Oy2x2欢迎下载精品学习资源4 4 1y 0 5 分设 Ax1, y1 ， Bx2, y2 ，就以线段 AB 为直径的圆的圆心为Q x1xyy2 .欢迎下载精品学习资源12，22欢迎下载精品学习资源由于以线段 AB 为直径的圆 L 与 y 轴相切，所以半径r1 ABx1x2，即欢迎下载精品学习资源ABx122x2 10 分欢迎下载精品学习资源由于直线 AB 过点 F 22， 0， 当 ABx 轴时，不合题意所以设直线 AB 的方程为 y kx 22欢迎下载精品学习资源代入双
19、曲线方程y2x2 1y 0得， 44欢迎下载精品学习资源k2x 222 x2 4，即 k2 1x2 42k2x 8k2 4 0 由于直线与双曲线交于A，B 两点，所以 k 1欢迎下载精品学习资源42k28k24欢迎下载精品学习资源所以 x1 x2 k2 1 ， x1 x2 k21 所以 |AB| x1 x22 y1 y22 1 k2 x1 x22 4x1x2欢迎下载精品学习资源42k2 28k2 442k2欢迎下载精品学习资源1 k2k2 1 4 k2 1 | x1 x2| |k2 1 |，欢迎下载精品学习资源化简得： k4 2k2 1 0，解得 k2 2 1（ k2 21 不合题意，舍去）
20、由 4 2k22 4k2 1 8k2 4 3k2 1 0， 又由于 y 0，所以 1k 33所以 k21 15 分欢迎下载精品学习资源解：由题意可知，平面区域D 如图阴影所示设动点 Px，y ，就|x y| |x y|2，22y即|x2 y2 |4 由 P D 知：xy 0， x y0 ，即 x2 y20 所以 y2 x2 4y 0欢迎下载精品学习资源22即曲线 C 的方程为 yx1y0 5 分欢迎下载精品学习资源4 4 设 Ax1， y1，Bx2， y2，就以线段 AB 为直径的圆的圆心为Qx1 x22，Oxy1 y22欢迎下载精品学习资源由于以线段 AB 为直径的圆与y 轴相切，欢迎下载精
21、品学习资源半径 r12|AB | |x1 x22|欢迎下载精品学习资源即| AB| | x1 x2|10 分由于直线 AB 过点 F 22， 0，当 ABx 轴时，不合题意所以设直线 AB 的方程为 y kx 22y2x2欢迎下载精品学习资源代入双曲线方程4 4 1y 0得，欢迎下载精品学习资源k2x 222 x2 4，即 k2 1x2 42k2x 8k2 4 0 由于直线与双曲线交于A，B 两点，所以 k 1欢迎下载精品学习资源2所以 x1 x2 42 2k， x1 x28k242欢迎下载精品学习资源k 1k 1所以 |AB| x1 x22 y1 y22 1 k2 x1 x22 4x1x2欢
22、迎下载精品学习资源1 k242k2k2 128k2 4 4 k2 1 | x1 x2| |42k2k2 1 |，欢迎下载精品学习资源化简得： k4 2k2 1 0，解得 k2 2 1（ k2 21 不合题意，舍去）欢迎下载精品学习资源由 42k2又由于 y 0，2 4k2 1 8k2 4 3k2 1 0，欢迎下载精品学习资源所以 1k 33所以 k2115 分欢迎下载精品学习资源14. 如图，斜三棱柱ABCA1B1C1 中，面AA1C1C 是菱形，ACC160，侧面欢迎下载精品学习资源ABB1 A1AA1C1C ， A1BABAC1 .BB1欢迎下载精品学习资源求证：（ 1）AA1BC1 ；A
23、A1欢迎下载精品学习资源（ 2）求点A1 到平面 ABC 的距离 .欢迎下载精品学习资源11 / 13CC1欢迎下载精品学习资源证： （ 1） 设AA1中点为 D ，连 C 、 D .欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源由于 A1 BAB ，所以 BDAA1由于面（第 14 题）欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源ABB1A1AA1C1C ，所以 BD面AA1C1C 欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源又 ACC1为正三角形，AC1C1 A1 ，所以C1DAA1 .从而欢迎下载精品学习资源BC1AA1 6 分欢迎下载精品学习资源（ 2） 由（ 1），有BDC1D ，BC1CC1，
24、CC1面 C1DB 设A1 到面 ABC 的欢迎下载精品学习资源距离为 h ，就1欢迎下载精品学习资源11hS ABC3由于VB CACVB CDC .A欢迎下载精品学习资源V1 CCS，欢迎下载精品学习资源所以 hC C1DB311S C DBS ABCC1DBBEC欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源又 C1DBD ，且2 S C1 DBC1DBDBD 23 .4欢迎下载精品学习资源设 ABC 的高为 AE ，就欢迎下载精品学习资源BC 2BC 2CC 22 BD 21315 ，22欢迎下载精品学习资源11AE1153 ，42853152S ABC.284欢迎下载精品学习资源于是有 h
25、31515，即 A1 到平面 ABC 的距离为515 15 分5欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源15. 已知数列an 中，a11， an 3an3 ， an 2an2 .求a2007 .欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源解：由题设，an 2an2 ，就欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源a2007a20052a200322a12 10032007 . 5 分欢迎下载精品学习资源由 an 2an2 ，得 anan 22，就欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源an 3an3an 223an 21 n1 . 10 分欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源于是a2007a200
26、61a200512a2002312a1999321 2欢迎下载精品学习资源a13668122007 ，所以 a2007=2007欢迎下载精品学习资源易知数列a11， a22 ， ann 符合此题要求 15 分欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源留意：猜得答案 ann 或 a20072007 ，给 2 分欢迎下载精品学习资源16. 已知平面上 10 个圆，任意两个都相交是否存在直线l ，与每个圆都有公共点？证明你的结论解：存在直线 l ，与每个圆都有公共点 证明如下：欢迎下载精品学习资源如图，先作直线l0 ，设第 i 个圆在直线l 0 上的正欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源投影是线段
27、端点Ai Bi，其中Ai 、Bi 分别是线段的左右A 1A 2A kB mB 2B 1欢迎下载精品学习资源10 个圆有 10 个投影线段，有 10 个左端点，有10 个右端点 5 分欢迎下载精品学习资源由于任意两个圆都相交，所以任意两条投影线段都有重叠的部分，设Ak 是最右边的左欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源端点，就全部右端点都在Ak 的右边，否就必有两条投影线段无重叠部分，与对应的两个欢迎下载精品学习资源圆相交冲突10 分欢迎下载精品学习资源再设 Bm 是最左边的右端点，同理全部左端点都在Bm 的左边 .Ak 与 Bm 不重合，线段欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源Ak Bm 是任意一条投影线段的一部分，过线段Ak Bm 上某一点作直线l0 的垂线 l ，就 l 与 10欢迎下载精品学习资源个圆都相交 15 分欢迎下载