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1、精品学习资源2021 年中考数学卷精析版 衡阳卷（本试卷满分 120 分，考试时间 120 分钟）一、挑选题（本大题共12 小题，每道题3 分，满分 36 分，在每道题给出地四个选项中，只有哪一项符合题目要求地）3（ 2021 湖南衡阳 3 分）以下运算正确地是【】A 3a+2a=5a2B （ 2a） 3=6a3C（ x+1 ）2=x2+1D x2 4=（x+2 ）（ x 2）【答案】 D.【考点】合并同类项，幂地乘方与积地乘方，完全平方公式，平方差公式.【分析】依据合并同类项、幂地乘方及完全平方公式和平方差公式地学问，分别运算各选项，从而可得出答案：A、 3a+2a=5a，故本选项错误；B
2、、（ 2a） 3=8a3，故本选项错误；C、（ x+1） 2=x2+ 2x+1，故本选项错误；D 、x2 4=（ x+2 ）（ x2），故本选项正确 .应选 D.4（ 2021 湖南衡阳 3 分）函数中自变量 x 地取值范畴是【】A x 2Bx 2C x2D x 2欢迎下载精品学习资源【答案】 A.【考点】函数自变量地取值范畴，二次根式和分式有意义地条件.【分析】求函数自变量地取值范畴，就是求函数解读式有意义地条件，依据二次根式被开方数必需是非负数和分式分母不为0 地条件，要使在实数范畴内有意义，必需.故选 A.5（ 2021 湖南衡阳 3 分）一个圆锥地三视图如下列图，就此圆锥地底面积为【】
3、A 30cm2B 25cm2C 50cm2D 100cm2【答案】 B.【考点】由三视图判定几何体，圆锥地运算.【分析】依据主视图与左视图可以得到：圆锥地底面直径是10cm，利用圆地面积公式即可求解： 依据主视图与左视图可以得到：圆锥地底面直径是10cm，就底面半径是 5cm.就此圆锥地底面积为：52=25cm2.应选 B.6（ 2021 湖南衡阳 3 分）以下图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形地是【】A 等边三角形B 平行四边形C正方形D等腰梯形【答案】 C.【考点】轴对称图形和中心对称图形.【分析】依据轴对称图形与中心对称图形地概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是
4、图形沿对称中心旋转 180 度后与原图重合 .因此，A 、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误； B 、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误； C、是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确；D 、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误 .应选 C.7（ 2021 湖南衡阳 3 分）为备战 2021 年伦敦奥运 会，甲乙两位射击运动员在一次训练中地成果为（单位：环）欢迎下载精品学习资源甲： 9 10 9 8 10 98乙： 8 9 10 7 10 810以下说法正确地是【A 甲地中位数为8】B乙地平均数为9C甲地众数为9D乙地极差为2【答案】 C.【考点】中位数，平均数
5、，众数，极差.【分析】分别运算两组数据地众数、平均数、中位数及极差后，挑选正确地答案即可： A甲排序后为： 8， 8， 9， 9， 9， 10， 10，中位数为： 9，故此选项错误； B乙地平均数（8+9+10+7+10+8+10 ）7=6279，故此选项错误；C. 甲中 9 显现了 3 次，最多，众数为9，故此选项正确；D乙中极差是 10 7=3 ，故此选项错误 .应选 C.8（ 2021 湖南衡阳 3 分）如图，直线 a直线 c，直线 b直线 c，如 1=70，就 2=【 】A 70 B 90 C 110 D 80【答案】 A.【考点】平行线地判定与性质，对顶角地性质.【分析】直线 a直线
6、 c，直线 b直线 c， a b. 1= 3. 3= 2， 2=1=70 .应选 A.9（ 2021 湖南衡阳 3 分）掷两枚一般正六面体骰子，所得点数之和为11 地概率为【】A BCD【答案】 A.【考点】列表法或树状图法，概率.【分析】依据题意列表或画树状图，然后依据图表求得全部等可能地情形与所得点数之和为11 地情形， 然后利用概率公式求解即可求得答案：欢迎下载精品学习资源列表得：123456123456723456783456789456789105678910116789101112共有 36 种等可能地结果，所得点数之和为11 地有 2 种情形，所得点数之和为11 地概率为：.应选
7、 A.10（ 2021 湖南衡阳 3 分）已知 O 地直径等于 12cm，圆心 O 到直线 l 地距离为 5cm，就直线 l 与 O地交点个数为【】A 0B 121 世纪训练网C 2D无法 确定【答案】 C.【考点】直线与圆位置置关系.【分析】第一求得该圆地半径，再依据直线和圆位置置关系与数量之间地联系进行分析判定如d r， 就直线与圆相交，直线与圆相交有两个交点；如d=r，就直线于圆相切 ，直线与圆相交有一个交点；如d r，就直线与圆相离，直线与圆相交没有交点：依据题意，得该圆地半径是6cm，即大于圆心到直线地距离5cm，就直线和圆相交，故直线l 与 O 地交点个数为2.应选 C.11（ 2
8、021 湖南衡阳 3 分）为了丰富同学们地课余生活，体育委员小强到体育用品商店购羽毛球拍和乒乓球拍，如购 1 副羽毛球拍和1 副乒乓球拍共需 50 元，小强一共用 320 元购买了 6 副同样地羽毛球拍和10 副同样地乒乓球拍，如设每副羽毛球拍为x 元，每副乒乓球拍为y 元，列二元一次方程组得【】A BCD【答案】 B.【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组.【分析】依据等量关系：购1 副羽毛球拍和 1 副乒乓球拍共需 50 元，得；依据用 320 元购买了 6副同样地羽毛球拍和10 副同 样地乒乓球拍，得，联立可得出方程组.应选 B.12（ 2021 湖南衡阳 3 分）如图为二次函数y=ax
9、2+bx+c （ a0）地图象，就以下说法： a0 2a+b=0 a+b+c0 当 1 x 3 时， y 0欢迎下载精品学习资源其中正确地个数为【】A 1B 2C 3D4【答案】 C.【考点】二次函数图象与系数地关系.【分析】由抛物线地开口方向判定a 与 0 地关系，由x=1 时地函数值判定a+b+c 0，然后依据对称轴推出 2a+b 与 0 地关系，依据图象判定1 x3 时， y 地符号： 图象开口向下， a 0.说法错误 . 对称轴为 x=，即 2a+b=0.说法正确 . 当 x=1 时， y 0，就 a+b+c 0.说法正确 . 由图可知，当 1 x 3 时， y 0.说法正确 .说法正
10、确地有 3 个.应选 C.二、填空题（本大题共8 小题，每道题3 分，满分 24 分） 13（ 2021 湖南衡阳 3 分）运算= 【答案】.【考点】二次根式地混合运算.119281【分析】化简第一个二次根式，运算后边地两个二次根式地积，然后合并同类二次根式即可求解：欢迎下载精品学习资源.16（ 2021 湖南衡阳 3 分）某校为了丰富同学地课外体育活动，欲增购一批体育器材，为此该校对一部分同学进行了一次题为“你喜爱地体育活动”地问卷调查（每人限选一项）依据收集到地数据，绘制成如图地统计图（不完整）：欢迎下载精品学习资源依据图中供应地信息得出“跳绳 ”部分同学共有 人【答案】 50.【考点】条
11、形统计图，扇形统计图，频数、频率和总量地关系.【分析】先求得总人数，然后用总人数减去其他各个小组地频数即可：从条形统计图知喜爱球类地有80 人，占 40%，总人数为 8040%=200（人） .喜爱跳绳地有200 80 3040=50 （人） .17（ 2021 湖南衡阳 3 分）如图， O 地半径为 6cm，直线 AB 是 O 地切线，切点为点B，弦BC AO ，如 A=30 ， 就劣弧地长为 cm【答案】.【考点】切线地性质，直角三角形两锐角地关系，平行地性质，等边三角形地判定和性质，弧长地运算.【分析】依据切线地性质可得出OB AB ，从而求出 BOA 地度数，利用弦BC AO ，及 O
12、B=OC 可得出 BOC 地度数，代入弧长公式即可得出答案：直线 AB 是 O 地切线， OB AB （切线地性质） .又 A=30 ， BOA=60 （直角三角形两锐角互余）.弦 BC AO ， CBO= BOA=60 （两直线平行，内错角相等）.又 OB=OC ， OBC 是等边三角形（等边三角形地判定）. BOC=60 （等边三角形地每个内角等于60） .又 O 地半径为 6cm，劣弧地长 =（ cm） .欢迎下载精品学习资源18（ 2021 湖南衡阳 3 分）如图，一次函数y=kx+b 地图象与正比例函数y=2x 地图象平行且经过点A（ 1， 2），就 kb=【答案】 8.【考点】两条
13、直线平行问题，曲线上点地坐标与方程地关系.119281【分析】依据两条平行直线地解读式地k 值相等求出 k 地值，然后把点A 地坐标代入解读式求出b 值， 再代入代数式进行运算即可： y=kx+b 地图象与正比例函数y=2x 地图象平行， k=2. y=kx+b 地图象经过点A （1， 2）， 2+b= 2，解得 b= 4. kb=2 （ 4） = 8.19（ 2021 湖南衡阳 3 分）如图，菱形 ABCD 地周长为 20cm，且 tan ABD=，就菱形 ABCD 地面积为 cm2【答案】 24.【考点】菱形地性质，勾股定理，锐角三角函数定义.【分析】连接 AC 交 BD 于点 O，就可设
14、 BO=3x ， AO=4x ，从而在 Rt ABO 中利用勾股定理求出AB ， 结合菱形地周长为20cm 可得出 x 地值，再由菱形地面积等于对角线乘积地一半即可得出答案：连接 AC 交 BD 于点 O，就 AC BD ，AO=OC ， BO=DO. tanABD=，可设 BO=3x ， AO=4x ，就 AB=5x.又菱形 ABCD 地周长为 20， 45x=20 ，解得： x=1. AO=4 ， BO=3. AC=2AO=8 ， BD=2BO=6.菱形 ABCD 地面积为AC BD=24 （cm2） .欢迎下载精品学习资源20（ 2021 湖南衡阳 3 分）观看以下等式 sin30=co
15、s60= sin45=cos=45= sin60=cos30=21 世纪训练网依据上述规律，运算sin2a+sin2 （90 a） = 【答案】 1.【考点】分类归纳（数字地变化类），互余两角三角函数地关系.【分析】依据可得出规律，即sin2a+sin2（ 90a） =1，继而可得出答案由题意得， sin230+sin2 （9030） = sin230 +sin260 =；sin245+sin2 （ 90 45）= sin245 +sin245 =；sin260+sin2 （ 90 60）= sin260 +sin230 =； sin2a+sin2 （90a） =1.三、解答题（本大题共8 小
16、题，满分 60 分）21（ 2021 湖南衡阳 6 分）运算：【答案】解：原式=1+3 2+3=5.【考点】实数地运算，有理数地乘方，去括号，零指数幂，负整数指数幂，算术平方根.【分析】针对有理数地乘方，去括号，零指数幂，负整数指数幂，算术平方根4 个考点分别进行运算， 然后依据实数地运算法就求得运算结果.22（ 2021 湖南衡阳 6 分）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来【答案】解：由 得， x 1；由 得， x 4，此不等式组地解集为：1 x 4.在数轴上表示为：【考点】解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式地解集.欢迎下载精品学习资源【分析】解一元一次不等式组，先求出不等式组中每一个
17、不等式地解集，再利用口诀求出这些解集地公共部分：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了（无解）.不等式组地解集在数轴上表示地方法：把每个不等式地解集在数轴上表示出来（，向右画；， 向左画），数轴上地点把数轴分成如干段，假如数轴地某一段上面表示解集地线地条数与不等式地个数一样，那么这段就是不等式组地解集有几个就要几个.在表示解集时 “，”“要”用实心圆点表示； “ ”， “ ”要用空心圆点表示.23（ 2021 湖南衡阳 6 分）如图， AF=DC ， BC EF，请只补充一个条件，使得 ABC DEF ，并说明理由【答案】解：补充条件：EF=BC ，可使得 ABC DEF.理由如下
18、： AF=DC ， AF+FC=DC+FC ，即： AC=DF. BC EF， EFD= BCA.在EFD 和 BCA 中， BC = EF ， BCAD= EF， AC = DF ， ABC DEF （ SAS）【考点】开放型，平行地性质，全等三角形地判定.【分析】第一由 AF=DC 可得 AC=DF ，再由 BC EF 依据两直线平行，内错角相等可得 EFD= BCA ， 再加上条件 EF=BC 即可利用 SAS 证明 ABC DEF ；再加上条件 A= D 或 B= E 即可利用 AAS 证明 ABC DEF.仍可加上条件 AB ED 等.答案不唯独 .24（ 2021 湖南衡阳 6 分
19、）如图，一段河坝地横截面为梯形ABCD ，试依据图中数据，求出坝底宽AD （ i=CE ： ED ，单位： m）【答案】解：作 BF AD 于点 F就 BF=CE=4 ，在 RtABF中，在 RtCED中，依据 i=，得.就 AD=AF+EF+ED=3+4.5+=（ 7.5+） .欢迎下载精品学习资源答：坝底宽 AD 为（ 7.5+） m.【考点】解直角三角形地应用（坡度坡角问题），勾股定理，坡比地定义.119281【分析】作 BF AD 于点于 F，在直角 ABF 中利用勾股定理即可求得AF 地长，在 Rt CED 中，利用坡比地定义即可求得ED 地长度，从而即可求得AD 地长 .25（ 2
20、021 湖南衡阳 8 分）在一个不透亮地口袋里装有分别标有数字1， 2， 3，4 四个小球，除数字不同外，小球没有任何区分，每次试验先搅拌匀称（ 1）如从中任取一球，球上地数字为偶数地概率为多少？（ 2）如从中任取一球（不放回），再从中任取一球，请用画树状图或列表格地方法求出两个球上地数字之和为偶数地概率（ 3）如设计一种嬉戏方案：从中任取两球，两个球上地数字之差地肯定值为1 为甲胜，否就为乙胜，请问这种嬉戏方案设计对甲、乙双方公正吗？说明理由【答案】解：（ 1）不透亮地口袋里装有分别标有数字1， 2， 3，4 四个小球，球上地数字为偶数地是2与 4，从中任取一球，球上地数字为偶数地概率为：.
21、（ 2）画树状图得：共有 12 种等可能地结果，两个球上地数字之和为偶数地有（1， 3）， （ 2， 4），（ 3， 1），（ 4， 2）共 4 种情形，两个球上地数字之和为偶数地概率为：.欢迎下载精品学习资源26（ 2021 湖南衡阳 8 分）如图， AB 是 O 地直径，动弦CD 垂直 AB 于点 E，过点 B 作直线 BF CD 交AD 地延长线于点 F，如 AB=10cm （ 1）求证： BF 是 O 地切线（ 2）如 AD=8cm ，求 BE 地长（ 3）如四边形 CBFD 为平行四边形，就四边形ACBD 为何种四边形？并说明理由【答案】解：（ 1）证明： CD AB ， BF CD
22、 ， BF AB.又 AB 是 O 地直径， BF 是 O 地切线 .（ 2）如图 1，连接 BD. AB 是 O 地直径， ADB=90 （直径所对地圆周角是直角）.又 DE AB ， ADE ABD. AD2=AE .AB. AD=8cm ， AB=10cm ， AE=6.4cm. BE=AB AE=3.6cm.（ 3）如四边形 CBFD 为平行四边形，就四边形ACBD 是正方形.理由如下：连接 BC.欢迎下载精品学习资源四边形 CBFD 为平行四边形， BC FD ，即 BC AD. BCD= ADC （两直线平行，内错角相等）. BCD= BAD ， CAB= CDB ，（同弧所对地圆
23、周角相等）， CAB+ BAD= CDB+ ADC ，即 CAD= BDA ，又 BDA=90 （直径所对地圆周角是直角），CAD= BDA=90 . CD 是 O 地直径，即点 E 与点 O 重合（或线段 CD 过圆心 O） .在 OBC 和 ODA 中， OC=OD ， COB= DOA=90 ，OB=OA ， OBC ODA （ SAS） . BC=DA （全等三角形地对应边相等）.四边形 ACBD 是平行四边形（对边平行且相等地四边形是平行四边形）， ACB=90 （直径所对地圆周角是直角），AC=AD ，四边形 ACBD 是正方形 .【考点】平行地判定，切线地判定，圆周角定理，相像和
24、全等三角形地判定和性质，平行四边形地性质，正方形地判定 .【分析】（ 1）欲证明 BF 是 O 地切线，只需证明AB BF 即可.（2）连接 BD ，在直角三角形 ABD 中，利用 ADE ABD 【学过投影定理地直接应用】可以求得 AE 地长度，最终结合图形知BE=AB AE.（ 3）连接 BC ，四边形 CBFD 为平行四边形，就四边形ACBD 是正方形 .依据平行四边形地对边平行、平行线地性质、圆周角定理以及同弧所对地圆周角相等可以推知CAD= BDA=90 ，即 CD 是 O地直径，然后由全等三角形地判定与性质推知AC=BD ，依据正方形地判定定理证得四边形ACBD 是正方形.27（
25、2021 湖南衡阳 10 分）如图， A 、B 两点地坐标分别是（ 8，0）、（ 0， 6），点 P 由点 B 动身沿BA 方向向点 A 作匀速直线运动，速度为每秒 3 个单位长度，点 Q 由 A 动身沿 AO （O 为坐标原点）方向向点 O 作匀速直线运动，速度为每秒 2 个单位长度，连接 PQ，如设运动时间为 t（ 0 t ）秒解答如下问题：（ 1）当 t 为何值时， PQ BO？（ 2）设 AQP 地面积为 S， 求 S 与 t 之间地函数关系式，并求出S 地最大值； 如我们规定：点 P、Q 地坐标分别为（ x1 ， y1），（ x2， y2），就新坐标（ x2 x1， y2 y1）称为
26、 “向量 PQ”地坐标当 S 取最大值时，求 “向量 PQ”地坐标欢迎下载精品学习资源【答案】解：（ 1） A 、B 两点地坐标分别是（ 8， 0）、（ 0，6），就 OB=6 ， OA=8.如图 ，当 PQ BO 时， AQ=2t ， BP=3t，就 AP=10 3t. PQ BO ，即，解得 t=.当 t=秒时， PQ BO.（ 2）由（ 1）知： OA=8 ，OB=6 ， AB=10 如图 所示，过点 P 作 PD x 轴于点 D，就 PD BO. APD ABO.，即，解得 PD=6 t. S 与 t 之间地函数关系式为：S=（ 0 t） .当 t=秒时， S 取得最大值，最大值为5（
27、平方单位） . 如图 所示，当 S 取最大值时， t=， PD=6 t=3 ， PD=BO.又 PD BO，此时 PD 为 OAB 地中位线，就 OD=OA=4. P（ 4， 3） .又 AQ=2t=， OQ=OA AQ=， Q（， 0） .欢迎下载精品学习资源28（ 2021 湖南衡阳 10 分）如下列图，已知抛物线地顶点为坐标原点 O，矩形 ABCD 地顶点 A ， D 在抛物线上，且 AD 平行 x 轴，交 y 轴于点 F， AB 地中点 E 在 x 轴上， B 点地坐标为（ 2， 1），点 P（a， b）在抛物线上运动（点 P 异于点 O）（ 1）求此抛物线地解读式（ 2）过点 P 作
28、 CB 所在直线地垂线，垂足为点R， 求证： PF=PR； 是否存在点 P，使得 PFR 为等边三角形？如存在，求出点P 地坐标；如不存在，请说明理由； 延长 PF 交抛物线于另一点Q，过 Q 作 BC 所在直线地垂线，垂足为S，试判定 RSF 地势状【答案】解：（ 1）抛物线地顶点为坐标原点，A 、D 关 于抛物线地对称轴对称 . E 是 AB 地中点， O 是矩形 ABCD 对角线地交点 .又 B （2， 1）， A （ 2， 1）、 D（ 2， 1） .抛物线地顶点为（ 0， 0），可设其解读式为：y=ax2 ，就有： 4a= 1， a=.抛物线地解读式为：y=x2.欢迎下载精品学习资源
29、（ 2） 证明：由抛物线地解读式知：P（ a，a2），而 R（ a， 1）、 F（ 0， 1），就： PF=PR=， PF=PR. RF=，如 PFR 为等边三角形，就由 得 RF=PF=PR，得：=，即： a4 8a248=0，得： a2= 4（舍去）， a2=12. a=2，a2= 3.存在符合条件地P 点，坐标为（ 2， 3）、（ 2， 3） . 同 可证得： QF=QS.在等腰 SQF 中， 1=（ 180 SQF） .同理，在等腰 RPF 中， 2=（ 180 RPF） . QS BC 、PR BC ， QS PR， SQP+ RPF=180. 1+2=（ 360 SQF RPF）
30、=90 SFR=180 1 2=90，即 SFR 是直角三角形 .【考点】二次函数综合题，二次函数地性质，待定系数法，曲线上点地坐标与方程地关系，勾股定理， 等腰（边）三角形地判定和性质，直角三角形地判定.119281【分析】（ 1）依据题意能判定出点O 是矩形 ABCD 地对角线交点，因此D、B 关于原点对称， A、B 关于 x 轴对称，得到 A 、D 地坐标后，利用待定系数法可确定抛物线地解读式.（ 2） 第一依据抛物线地解读式，用一个未知数表示出点P 地坐标，然后表示出PF、RF 地长，两者进行比较即可得证. 第一表示 RF 地长，如 PFR 为等边三角形，就满意PF=PR=FR ，列式求解即可 .依据地思路，不难看出QF=QS ，如连接 SF、RF，那么 QSF、PRF 都是等腰三角形， 先用 SQF、 RPF 表示出 DFS、 RFP 地和，用 180减去这个和值即可判定出 RSF 地势状 .欢迎下载