《2022年三角函数(知识点-同步 .pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年三角函数(知识点-同步 .pdf（21页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、名师整理精华知识点第四章：三角函数第一部分：角的概念的推广教学目标：理解任意角的概念、弧度的意义，能正确进行弧度与角度的换算。一、知识点回顾：1、 角：一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。始边：起始位置的射线；终边：终止位置的射线；顶点：始边和终边的共同端点。2、 角的分类：（1）正角：逆时针方向旋转；（2）零角：不旋转；（3）负角：顺时针方向旋转。3、 直角坐标系中讨论角：（1）顶点是原点； （2）始边是横轴正半轴及原点。4、象限角：若角的顶点是原点，始边是横轴的非负半轴，则角的终边在哪一象限，就是哪一象限角。5、轴线角：若角的顶点是原点，始边是横轴的非负半轴，并且角的终边
2、在坐标轴上，则此角叫做轴线角。6、终边与角重合的所有角连同角一起，可以表示成集合：S=|360 ,okkZ。例 1、已知角是第三象限角，则3是（D ） 。A、第一象限角；B、第三象限角；C、第四象限角；D、第一、第三或第四象限角；解：角是第三象限角，180o+k360o 270o+k360o，k Z。60o+3k360o390o+3k360o，kZ。（1）当 k=3m，mZ 时， 60o+m360o390o+m360o， mZ。3是第一象限角。（2）当k=3m+1 ， mZ 时， 60o+313m360o3 90o+313m360o， kZ。即180o+m360o3210o+m360o，mZ。
3、3是第三象限角。（3） ）当k=3m+2 ，mZ 时， 60o+323m360o390o+323m360o，kZ。即300o+m360o3330o+m360o，mZ。3是第四象限角。7、 弧度制：（1）1 弧度的角：弧长等于半径的圆弧所对圆心角。（2）弧度数：正角的弧度数是正数；负角的弧度数是负数；零角的弧度数是0。 | |=rl。（3）弧长公式，扇形面积计算公式：l=| |r，S扇=21lr=21| |r2。例 2、若锐角的终边与它的10 倍角的终边相同，求 。解：根据题意知：10=k360o+ ，kZ。且 0o 90o。于是 9=k360o，=k 40o。0ok40o90o。解得 k=1，
4、或 2。 =40o，或 80o。例 3、如图，已知一点A(1,0) ，按逆时针方向做匀速圆周运动，1 秒钟时间转过角0，经过 2秒钟点 A 在第三象限，经过14 秒钟，与最初位置重合，求 的弧度数。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 21 页 - - - - - - - - - - 名师整理精华知识点解： 0， 02 2。经过2 秒钟点 A 在第三象限， 223。经过14 秒钟，与最初位置重合， 14=2n ，nZ。7 2n212，于是 n=4,或 5。当 n=4 时，=47；当
5、n=5 时， =57。二、综合练习：1、 若 是第四象限角，则 -是第三象限角。解：方法一：是第四象限角，2k+232k+2 ,kZ 2k -2 - 2k-23,kZ, 2k - 2k-2 -是第三象限角。方法二：利用图形。2、若一圆弧长等于所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数的绝对值为（C ） 。A、3B、32C、3D、2 解：设内接正三角形的边长为a,a=3R,=Rl=3。选 C。3、 和 的终边关于y 轴对称，则必有（D ） 。A、 +=2B、 +=(2k+21) C、 +=2k D、 + =(2k+1) 4、 若角 的终边和函数y=-|x|的图象重合，则的集合是Zkkxkxx
6、,432,42|或。5、 已知扇形的周长为30cm，当它的半径r 和圆心角各取什么值时，扇形的面积最大？最大面积是多少？解：方法一： 30=2r+l 2rl2,解得 2rl 225. S扇=21lr 41 2rl=4225。取等号的条件：2r=l,解得 r=7.5, =2。方法二： 30=2r+l ， l=30-2r ，S扇=21lr=21(30-2r)r=15r-r2。当 r=7.5 时, S扇最大 =4225，此时 =2 。6、 在 1 时 15 分时，时针和分针所成的最小正角是多少弧度？解：在 1 时时，时针和分针所成的角：6；到 1 时 15 分时，分针转过的角：2；时针转过的角：24
7、。所求角：2-6-24=247。7、 集合 M=Zkkxx,42|，N=Zkkxx,24|,则（ A ） 。A、MN B、NM C、M=N D、M N=解：方法一：M: 4) 12(42kkx，N：4)2(24kkxMN，选 A。方法二：1 o x y - 的终边- 的终边的终边1 3 4 x 2 y 4 8 7 6 5 3 2 y x 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 21 页 - - - - - - - - - - 名师整理精华知识点y o x P M N 8、如图，半径为1
8、 的圆 O 上有两个动点M、N，同时从点 P（1，0）出发，沿圆周运动。 M 点按逆时针方向转动，速度为6rad/s，N 点按顺时针方向转动，速度为3rad/s。试求他们出发后第三次相遇时的位置及各自走过的弧长。解：36t=6 ，解得 t=12 秒。 l1=6121=2，L2=3 12 1=4。答：他们出发后第三次相遇时的位置在点P，M 走过的弧长为2 , M走过的弧长为 4 。9、如图，半径为1 的圆 O 上有两个动点M、N，同时从点P（1， 0）出发，沿圆周同向运动。M 点速度为6rad/s，N 点速度为3rad/s。试求他们出发后第三次相遇时的位置及各自走过的弧长。解：36t=6 ，解得
9、t=36 秒。l1=6361=6，L2=3 36 1=12。答：他们出发后第三次相遇时的位置在点P，M 走过的弧长为6, M走过的弧长为12 。10、若角 的终边与54的终边关于x 轴对称，且 -4 -2 ，那么 等于（C ） 。A、-2 -34B、-34C、-2 -54D、-2 -114解： =2k+34，kZ。-4 -2 ， k=-2。=-4+34=-2+34-2=-2 -54。选 C。11、已知集合A=|,3kkkZ，B=| 3，则AB= 。12、若扇形的圆心角是60，则此扇形的内切圆与扇形的面积之比为（） 。A、1：2 B、1：3 C、2：3 D、3：4第二部分：任意角的三角函数教学目
10、标：1、掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义，并会利用单位圆中的三角函数线表示正弦、余弦和正切；2、了解任意角的余切、正割、余割的定义。一、知识点回顾：1、 任意角的三角函数定义：设是任意角， P(x,y)是其终边上任意一点，|OP|=r,则(1)sin=ry, R, -1sin 1;(2) cos =rx, R, -1cos 1;(3)tan=xy, k+2, tan R, (3)cot=yx, k , cot R;(5) sec=xr, (6) csc=yr。2、 常用三角函数值：函数值角sin cos tan cot 0 0 1 0 不存在62123333精品资料 - - - 欢迎下载 -
11、 - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 21 页 - - - - - - - - - - 名师整理精华知识点422221 1 3232133321 0 不存在0 例 1、下列各式中，结果为正值的是（D ） 。A、cos2-sin2 B、cos2sin2 C、sin2tan2 D、tan2cos2 解： 2 弧度 =2 57o18=114o36，为第二象限角，所以选D。例 2、一个半径为R 扇形，它的周长是4R，则这个扇形所含弓形的面积是（D ） 。A、12(2-sin1cos1)R2B、12sin1cos1R2 C、1
12、2R2 D、(1-sin1cos1)R2解： 4R=l+2R ， l=2R。| |=2 弧度。 S弓= S扇- S=12LR-12R2sin2 =R2- sin1cos1R2=(1-sin1cos1)R2。二、综合练习：1、 若角 的终边落在直线y=2x 上，则 sin 的值等于（C ） 。A、51B、55C、552D、212、若三角形的两个内 、角满足 sin cos 0，则此三角形的形状是（B ） 。A、锐角三角形B、钝角三角形C、直角三角形D、不能确定3、已知 是第三象限角，且cos20，则2是（B ） 。A、第一象限角或第二象限角；B、第二象限角；C、第二象限角或第四象限角；D、第一象
13、限角或第三象限角。解： 是第三象限角，2k+2k+23,kZ k+22 k+43。当 k 是偶数时，2是第二象限角；当 k 是奇数时，2是第四象限角。cos20，选 B。4、已知 (21)sin2 1，则 是（C ） 。A、第一象限角或第二象限角B、第二象限角或第四象限角C、第一象限角或第三象限角D、第二象限角或第三象限角解：方法一：(21)sin2 0,2k 22k+ , k k+2。当 k 是偶数时， 是第一象限角；当k 是奇数时， 是第三象限角。选C。方法二： (21)sin2 0，2sin cos 0。是第一象限角或第三象限角。5、若函数f(x) 的定义域是 0,1，则 f(sinx)
14、 的定义域是Zkkxkx,22|。解： sinx0,1， 2kx2k+，kZ。6、函数 y=xcos的定义域是Zkkxkx,2222|。7、若实数x 满足 log2x=2+sin ，则 y=|x+1|-|x-10| 的值域是 -5,7。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 21 页 - - - - - - - - - - 名师整理精华知识点解:log2x=2+sin ， x=22+sin 。 -1 sin 1， 222+sin 8 。x2,8。y=|x+1|-|x-10|=x+1-1
15、0+x=2x-9，x2,8。 y-5,7。8、 若 2,0，求证： (1)sin tan 。(2) sin+cos1。证明：（1）画单位圆如图，则弧NQ 长等于 |MN|，而 sin =|MN| 。 sin 。 SPOQS扇，得， tan 。 sin tan 。（ 2）证法一： sin +cos =|MN|+|OM|ON|1， sin +cos 1。证法二： 2,0， sin 0，cos 0。(sin + cos )2= sin2+2 sincos + cos2=1+2 sincos 1。 sin +cos 1。9、已知 2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是（C ） 。A、
16、2 B、sin2 C、2sin1D、2sin1 10、如果角满足条件3sin542cos5kkkk，则 是（B ） 。A、第二象限角B、第二或第四象限角C、第四象限角D、第一或第三象限角11、若 0,2，则 sin +cos的一个可能值是（C ） 。A、23B、27C、422D、1 第三部分：同角三角函数基本关系式教学目标：掌握同角三角函数基本关系式。一、知识点回顾：、倒数关系：sin csc=1, cossec=1, tan cot =1。2、商数关系：tan =cossin, cot =sincos。3、平方关系：sin2+cos2=1,1+tan2=sec2,1+cot2=csc2 。例
17、 1、3sin +4cos=5，则 tan =34。解： 3sin +4cos =5， 9sin2+24sin cos +16cos2=25 。16sin2 -24sin cos +9cos2=0 ，16tan2 -24tan +9 =0。解得 tan =34。例 2、化简：422421(sinsincoscos)sinxxxxx+3sin2 。解：原式 =2222221(sincos)3sincossinxxxxx+3sin2 =3sin2 +3cos2 =3 。二、综合练习：1、已知 1+sin 2cos1+cos 2sin1=0，则 的取值范围是（C ） 。A、第三象限角B、第四象限角p
18、 x O M Q y N 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 21 页 - - - - - - - - - - 名师整理精华知识点C、2k+2k+23,kZ D、2k+23 2k+2解： 1+sin 2cos1+cos 2sin1=1+sin |sin|+cos |cos |=0sin |sin |+cos |cos |=-1。 sin2+cos2=1, sin 0, cos02k+ 2k+23,kZ，选 C。2、已知 是三角形的一个内角，且sin +cos =32，则这个三角形的
19、形状是（B ） 。A、锐角三角形B、钝角三角形C、不等腰的直角三角形D、直角三角形解：方法一：sin +cos=32，sin2+cos2=1,解得 sin = 32- cos 。代入 sin2+cos2=1 ，得(32- cos )2+ cos2 =1解得 cos=6142。614232,cos =61420, cos0,此三角形是钝角三角形，选B。3、已知 02，且 lg(1+cos )=m ，lgcos11=n,则 lgsin等于（D ） 。A、m+n1B、m-n C、21( m+n1) D、21( m-n) 解： lgcos11=lg(1- cos )-1= - lg(1- cos )=
20、n,lg(1-cos )= -n lg(1+cos )+ lg(1 -cos)= lg(1 -cos2)=lgsin2=2lgsin=m-n lgsin=21( m-n),所以选 D。4、化简 (sin1+tan1)(1-cos )的结果是（ A ） 。A、sin B、cos C、1+sin D、1+cos 解： (sin1+tan1)(1-cos )= (sin1+sincos)(1-cos )=sincos1(1-cos )= sincos12=sinsin2=sin 。所以选A。5、若 tan 和 tan 是关于 x 的方程 x2-px+q=0 的两根， cot 和 cot 是关于 x
21、的方程 x2-rx+s=0 的两根，则rs 等于（ C ） 。A、pq B、pq1C、2qpD、2pq解： tan和 tan 是关于 x 的方程 x2-px+q=0 的两根， tan tan =q,tan +tan =p。cot 和 cot 是关于 x 的方程 x2-rx+s=0 的两根，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 21 页 - - - - - - - - - - 名师整理精华知识点r=cot +cot =tan1+tan1=tantantantan=qp。 s= cot
22、cot =tan1tan1=tantan1=q1。rs=qpq1=2qp,所以选C。6、已知 在第一象限，且tan1tan1=3+22，则 cos 的值是（B ） 。A、26B、36C、23D、33解：由已知得tan =22,sec2=23, sec=23,cos =32=36。第四部分：诱导公式教学目标：掌握正弦、余弦的诱导公式。一、知识点回顾：公式一：终边相同的角同名三角函数值相等。sin(2k+)=sin cos(2k +)=cos tan(2k+)=tan cot(2k+)=cot 公式二 :终边关于原点对称的两角的同名三角函数值的关系。sin( +)=-sin cos( +)=-co
23、s tan( +)=tan cot( +)=cot 公式三：终边关于x 轴对称的两角的同名三角函数值的关系。sin(-)=-sin cos(-)= costan(-)= -tan cot(- )= -cot 公式四：终边关于y 轴对称的两角的同名三角函数值的关系。sin( - )= sin cos( -)= -cos tan( - )= -tan cot( - )= -cot 公式五：sin(2- )= -sin cos(2 -)= costan(2 -)= -tan cot(2 -)= -cot 公式六：余角公式：sin(2-)= cos cos(2-)=sintan(2-)= cot co
24、t(2- )= tan公式七：sin(2+)= cos cos(2+)= -sin tan(2+)= - cot cot(2+)= -tan 公式八：sin(23- )= -cos cos(23- )= -sin tan(23- )= cot cot(23- )= tan精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 21 页 - - - - - - - - - - 名师整理精华知识点公式九：sin(23+)= -cos cos(23+)=sintan(23+)= -cot cot(23+)=
25、 -tan 例 1、若 f(cosx)=cos3x ，则满足f(sinx)=1 的 x=2,32kkZ。解： f(cosx)=cos3x ，f(sinx)= cos()2fx=3cos(3 )2x=cos(3 )2x=-cos(3 )2x=-sin3x=1 。 3x=2k +23，kZ，x=2,32kkZ。练习：函数 f(x)满足 f(cosx)= 2x(0 x)，则4(cos)3f=3。例 2、已知cos()6=m，(|m| 1),求5cos()62sin()3的值。解：5cos()62sin()3=cos()6sin()3=-cos()6sin()3=-cos()6cos()23=-cos
26、()6cos()6=-m2。二、综合练习：1、 计算：(1)cos(180)sin(360)sin(180 )cos( 180)oooo，答案： 1。(2) )sin()cos()3sin()2sin()cos(，答案： -csc 。(3)sin(+180o)cos(-)sin( - -180o) ，答案： -sin2cos 。(4)sin(-1071o)sin99o+sin(-171o)sin(-261o) ，答案： 0。2、函数 y=cos(tanx)（ B ） 。A、是奇函数，但不是偶函数；B、是偶函数，但不是偶函数；C、不是奇函数，也不是偶函数；D、奇偶性无法确定3、已知函数f(x)=
27、asinx+btanx+1 满足 f(5)=7 ，则 f(-5)的值等于（B ） 。A、5 B、-5 C、6 D、-6 解： f(x)=asinx+btanx+1 ， f(x)-1=asinx+btanx f(5)-1=asin5+btan5 ，f(-5)-1=asin(-5)+btan(-5)=-(asin5+btan5) f(5)=7 ， asin5+btan5=6,f(-5)=-6+1=-5 。4、已知函数f(x) 满足 f(cosx)= 2x,（0 x）则 f(-21)的值等于（B ） 。A、cos21B、3C、4D、2解： f(cosx)= 2x,（0 x） ， f(-21)=f(c
28、os32)=2132=3。5、 已知函数f(x)=asin(x+)+bcos(x+)，其中 a,b, , 都是非零实数， 且满足 f(1997)=-1 ， 则 f(1998) 等于（） 。A、-1 B、0 C、1 D、2 解： f(x)=asin(x+)+bcos( x+)，f(1997)=asin(1997+)+bcos(1997 +)精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 21 页 - - - - - - - - - - 名师整理精华知识点=asin(+)+bcos(+)=-( a
29、sin+bcos )=-1，f(1998)=asin(1998+)+bcos(1998+)= asin +bcos =1。6、化简与证明：（1）求证： sin21o+sin22o+sin23o+sin289o=289。证明： sin21o+sin22o+sin23o+sin289o =( sin21o+ sin289o)+( sin22o+ sin288o)+ +( sin244o+ sin246o)+ sin245o =289(2)化简： tan1otan2otan 3otan 88otan 89o=1. (3)化简： tan5+ tan52+ tan53+ tan54=0。第五部分：两角和
30、与差的三角函数教学目标：掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式。一、知识点回顾：cos( +)=cos cos -sin sin ；cos( -)=cos cos +sin sin sin( +)=sincos +cos sin ；sin( -)=sincos -cos sin .tan( +)=tantan1tantan；tan( -)=tantan1tantan。二、例题讲解：例1、求以下三角函数值：sin15o,cos15o,tan15o,cot15o。解： sin15o= sin(45o-30o)=sin45ocos30o-cos45osin30o=2223-2221=426。cos
31、15o= cos(45o-30o)=cos45ocos30o-sin45osin30o=2223+2221=426。tan15o=oo15cos15sin=426426=2626=2-3。cot15o=o15tan1=321=2+3。例 2、已知 cos( +)=54，cos( -)= 54， +（47，2 ） ， - （43， ） ，求 cos2 。解： cos( +)=54，+（47，2 ） ， sin( +)= 53。cos( -)=54， - （43， ） ， sin( -)= 53。cos2 =cos(+)+ (- )= cos(+) cos(-) - sin( +) sin(- )
32、=54 （54） -（5353）=257。例 3、求值：ooo20cos20sin10cos2。解：ooo20cos20sin10cos2=oooo20cos20sin)2030cos(2=oooooo20cos20sin)20sin30sin20cos30(cos2=2cos30o=3。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 21 页 - - - - - - - - - - 名师整理精华知识点例 4、求 tan65o+tan70o+1-tan65otan70o的值。解： tan65o
33、+tan70o+1-tan65otan70o=tan（65o +70o）（1-tan65otan70o）+1-tan65otan70o=-（1-tan65otan70o）+1-tan65otan70o=0。例 4、合一变形：asinx+bcosx=22ba(22baasinx+22babcosx) =22basin(x+)。其中 sin =22bab,cos =22baa。求函数 f(x)=sinx-3cosx 的值域。解： f(x)=sinx-3cosx=2 （21sinx-23cosx）=2 sin（x-3） 。f(x) -2，2。练习：已知 为锐角，则下列选项提供的各值中可能为sin +
34、cos的是（A ） 。A、43B、35C、32D、12三、综合练习：1、已知 cosx+cosy=21，sinx-siny=31,则 cos(x+y)= 7259。解： cosx+cosy=21， cos2x+ 2cosxcosy +cos2y=41。sinx-siny=31,sin2x- 2 sin xsin y + sin 2y=91。2+2(cosxcosy- sin xsin y)= 41+91,cos(x+y)= 7259。2、已知 sin sin =1, 则 cos( +)=( A )。A、-1 B、0 C、1 D、 1 解： sin sin =1, sin = sin =1,或
35、sin = sin =-1 cos( +)=cos cos -sin sin =-1。3、已知 8cos(2 + )+5cos =0，求 tan( +) tan 的值。解： 8cos(2+)+5cos=8cos( +)+ +5cos( +)- = 8cos(+)cos -8sin(+)sin +5 cos(+)cos +5sin( + )sin =13 cos(+) cos-3 sin(+)sin ,8cos(2 +)+cos =0，13 cos( +) cos =3 sin( +)sin ， tan( +) tan =313。4、若 sin + sin =22，则 cos+cos 的取值范围
36、是（） 。A、0，22 B、-22，22 C、-2 ，2 D、 、-214，214 解： (cos +cos)2= cos2 + 2coscos +cos2(sin +sin )2= sin2 + 2sinsin +sin2=21设(cos +cos)2= cos2 + 2coscos +cos2=x,2+2 cos(- )=x+21,x=23+2 cos(- ) 27, -214cos +cos 214。5、求函数y=sinx+cosx+sinxcosx 的值域。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - -
37、 -第 10 页，共 21 页 - - - - - - - - - - 名师整理精华知识点解：设 t= sinx+cosx, 则 t2=1+2sinxcosx,sinxcosx=21( t2-1)。y=21t2+t-21,t-2，2。解得 y-1，2+21。6、计算： (1+tan1o) (1+tan2o) (1+tan3o) (1+tan43o) (1+tan44o)。解： (1+tan1o) (1+tan2o) (1+tan3o) (1+tan43o) (1+tan44o) =(1+tan1o) (1+tan44o) (1+tan2o) (1+tan43o) (1+tan42o) (1+t
38、an43o)=222。注意：若 +=k+4，kZ,则： (1+tan ) (1+tan )=2。证明： +=k+4， tan( +)= tantan1tantan=1,tan + tan =1- tan tan .(1+tan ) (1+tan)=1+ tantan + tan + tan =2。7、若 tan( +)= 52， tan( -4)=41,则 tan( +4)等于（ C ） 。A、1813B、2213C、223D、61解： tan( +4)=tan(+)- ( -4)=)4tan()tan(1)4tan()tan(=415214152=223。8、设 a=sin14o+cos14
39、o，b=sin16o+cos16o，c=62，则 a，b，c 的大小关系是（B ） 。A、abc B、acb C、bca D、ba c 解： a=sin14o+cos14o=2sin(45o +14o)= 2sin59o2sin60o=62，b=sin16o+cos16o=2sin(45o +16o)= 2sin61o2sin60o=62， acb，选 B。9、已知 sinxcosy=21，则 cosxsiny 的取值范围是（A ） 。A、-21，21 B、-23，21 C、-21，23 D、-1，1 解： sinxcosy+cosxsiny=sin(x+y), -1sinxcosy+cosx
40、siny1,sinxcosy=21， -121+cosxsiny1,cosxsiny-23，21. sinxcosy-cosxsiny=sin(x-y), -1sinxcosy -cosxsiny1,sinxcosy=21， -121-cosxsiny1,cosxsiny-21，23cosxsiny 的取值范围是 -21，21。10、已知 、为锐角，且sin B、 C、 = D、无法确定解：sin 21sin( +)，2sin sin(+)=sincos +cos sin 。 cos 1， cos 1， 2sin sin + sin。 sin sin 。 、为锐角， ，选 B。精品资料 - -
41、 - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 21 页 - - - - - - - - - - 名师整理精华知识点第六部分：倍、半角公式教学目标：1、掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式；2、通过公式的推导，了解它们内在的联系，从而培养逻辑推理能力。一、知识点回顾：1、二倍角公式： （1）sin2 =2sin cos ； （ 2）cos2 = cos2 -sin2 =2 cos2 -1=1-2 sin2; （3）tan2 =2tan1tan2。2、三倍角公式： （1）sin3 =3 sin-4 sin3; （
42、2）cos3 = 4cos3 -3cos 。证明： sin3 =sin(2 +)= sin2 cos+ cos2 sin = 2sin cos cos +(1 -2 sin2) sin =2 sincos2+ sin- 2sin3=2 sin(1-sin2)+ sin- 2sin3=2 sin- 2sin3+ sin- 2sin3=3 sin-4 sin3 。cos3= cos(2+)= cos2cos - sin2 sin =（2 cos2 -1）cos -2sin cos sin =2cos3 -cos -2 sin2cos =2cos3 -cos -2（1-cos2 ）cos =2cos
43、3 -cos -2 cos +2 cos3=4cos3 -3cos 。3、半角公式：sin2=2cos1；cos2=2cos1注意：符号因角的具体取值而定。tan2=cos1cos1=cos1sin=sincos1。例、已知sin()4x=513，0 x4,求cos2cos()4xx的值。解：cos2cos()4xx=sin(2 )2cos()4xx=2sin()cos()44cos()4xxx=2sin()4x=2cos()4x。sin()4x=513，0 x0,cos 0。这个三角形是钝角三角形。3、cos5cos52的值等于（B ） 。A、4、B、41C、2 D、21解： cos5cos
44、52=5sin252cos5cos5sin2=5sin252cos52sin=5sin252cos52sin22=5sin254sin2=41。4、化简222cos12tan()sin()44等于（） 。A、1 B、-1 C、cos D、-sin 解：222cos12 tan()sin ()44=2cos2sin()42cos ()4cos()4=cos22sin()cos()44=cos2sin(2 )2=cos2cos2=1，选 A。5、求值： sin18osin54o。解： sin18osin54o=oooo18cos254sin18cos18sin2=ooo18cos254sin36s
45、in=ooo18cos236cos36sin22=oo18cos272sin2=41。6、计算： cos17cos172cos174cos178。解： cos17cos172cos174cos178=17sin2178cos174cos172cos17cos17sin2=17sin2178cos174cos172cos172sin=17sin2178cos174cos172cos172sin22=17sin2178cos174cos174sin2=17sin2178cos174cos174sin23=17sin2178cos178sin3=17sin2178cos178sin24=17sin2
46、1716sin4=161。7、函数 y=2sinxcosx-(cos2x-sin2x)的最大值与最小值的积是（B ） 。A、2 B、-2 C、1 D、-1 解： y=2sinxcosx-(cos2x-sin2x)=sin2x-cos2x=2sin(2x-4) ymaxymin=-22=2。8、已知 cos =35，且 1，无解。D、sincC=Bbsin， sinC=sincBb=31029=5 39。325 391,有两个解。2、 余弦定理： a2=b2+c2-2bccosA，b2=a2+c2-2accosB，c2=b2+a2-2bacosC。二、综合练习：1、在 ABC 中，若 A=60o
47、，AC=16 ，且此三角形的面积为2203，则边 BC 的长是（ D ） 。A、2400B、25 C、51 D、 49 解： 2203=21 16 ABsin60o=21 16 AB23， AB=55 。BC2=162+552-2 16 5521=2401=492。 BC 的长是 49。2、若三角形的三条边的长分别为4、5、6，则这个三角形的形状是（A ） 。A、锐角三角形B、直角三角形C、钝角三角形D、不能确定3、 、在 ABC 中， a(sinB-sinC)+b(sinC-sinA)+ c(sinA-sinB)的值是（B ） 。A、21B、0 C、1 D、解：Aasin=Bbsin=Ccs
48、in=2R,a=2R sinA, b=2R sinB, c=2R sinC. a(sinB-sinC)+ b (sinC-sinA)+ c(sinA-sinB) = 2R sinA (sinB-sinC)+ 2R sinB (sinC-sinA)+ 2R sinC (sinA-sinB) =2R sinA sinB-2R sinA sinC+ 2R sinBsinC-2R sinB sinA+ 2R sinCsinA -2R sinBsinC=0。4、在 ABC 中，已知C=90o，则 a3cosA+b3cos B 等于（B ） 。ABCDOABCD精品资料 - - - 欢迎下载 - - -
49、- - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 15 页，共 21 页 - - - - - - - - - - 名师整理精华知识点A、c3 B、abc C、(a+b)c2 D、(a+b)c3解： a3cosA+b3cos B=a3sinB+b3sinA=a3Rb2+b3Ra2=Rbaab2)(22=cabc2=abc。a3cosA+b3cos B= abc。5、在中，已知A=60o，b=1，SABC=3，则sinsinsinabcABC等于（B ） 。A、8 33B、2 393C、26 33D、2 7解： A=60o，b=1，SABC=3，21 1
50、 c32=3， c=4。a2=12+42-2 1 421=13,a=13。si ns i ns i nabcABC=Aasin=1332=2 393，选 B。6、设 a，a+1，a+2 是钝角三角形的三边，则a 的取值范围是（B ） 。A、0a3 B、1a3 C、3a4 D、4 a6 解：设所对的内角为 ，则 (a+2)2=a2+(a+1)2-2a(a+1)cos,cos =2232 (1)aaa a0，解得 -1a3。 a+a+1a+2，a1。1a3 ，选 B。7、若sin Aa=sco Bb=sco Cc，则 ABC 是（ C ） 。A、等边三角形B、有一个内角是30o的直角三角形C、等腰