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1、名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载第四章：三角函数第一部分：角的概念的推广教学目标：懂得任意角的概念、弧度的意义,能正确进行弧度与角度的换算；一、学问点回忆：1、 角：一条射线围着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；始边：起始位置的射线；终边：终止位置的射线；顶点：始边和终边的共同端点；2、 角的分类：（1）正角：逆时针方向旋转；（ 3）负角：顺时针方向旋转；（2）零角：不旋转；3、 直角坐标系中争论角：（1）顶点是原点； （2）始边是横轴正半轴及原点；4、象限角：如角的顶点是原点,始边是横轴的非负半轴,就角的终边在哪
2、一象限,就是哪一象限角；5、轴线角：如角的顶点是原点,始边是横轴的非负半轴,并且角的终边在坐标轴上,就此角叫做轴线角；6、终边与角 重合的全部角连同角 一起,可以表示成集合：180o+m360o3S=|ko 360 ,kZ；例 1、已知角 是第三象限角,就3是（D ）；A、第一象限角；B、第三象限角；C、第四象限角；180D、第一、第三或第四象限角；o+k360 o270 o+k360 o,k Z；解：角 是第三象限角,60o+k360o390o+k360 o,kZ；33（1）当 k=3m ,mZ 时, 60o+m360o390o+m360o, mZ；3是第一象限角；（ 2）当k=3m+1 ,
3、 mZ 时, 60o+3m1360 o3 90o+3 m31360o, kZ ；即3210o+m360o,mZ；3是第三象限角；300 o+m360o3（3）当k=3m+2 ,mZ 时, 60o+3m2360o390o+3 m32360o,kZ；即3330o+m360o,mZ；3是第四象限角；7、 弧度制：（1）1 弧度的角：弧长等于半径的圆弧所对圆心角；（2）弧度数：正角的弧度数是正数；负角的弧度数是负数；零角的弧度数是0； | |= l ；ro；解得 k=1 ,经过 2 第 1 页,共 20 页 - - - - - - - - - （3）弧长公式,扇形面积运算公式：l=| |r, S扇=
4、12例 2、如锐角 的终边与它的 10 倍角的终边相同,求lr=1| |r 2；2；解：依据题意知： 10 =k360 o+,kZ；且 0或 2； =40 o,或 80 o；o90o；于是 9 =k360 o, =k 40o；0ok40o90例 3、如图,已知一点A1,0 ,按逆时针方向做匀速圆周运动,1 秒钟时间转过 角 0秒钟点 A 在第三象限,经过14 秒钟,与最初位置重合,求 的弧度数；细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -解： 0 , 02 2；经过学
5、习必备欢迎下载3 2 2；经过14 秒钟,与最初位2 秒钟点 A 在第三象限,置重合, 14 =2n,nZ；7 2n 21 2,于是 n=4,或 5；当 n=4 时, =4 7；当 n=5 时, =5 7；y - 的终边x 二、综合练习：1、 如 是第四象限角,就- 是第三象限角；解：方法一： 是第四象限角,2k + 32 2k +2 ,k3 2k-2 - 2k -,kZ, 2k - - 2k -2- 是第三象限角；2 - 的终 的终边边方法二：利用图形；2、如一圆弧长等于所在圆的内接正三角形的边长,就其圆心角的弧度数的肯定值为（C ）；A 、3B、2C、3D、2 3解：设内接正三角形的边长为
6、a,a= 3 R, = lR=3 ；选 C；3、 和 的终边关于y 轴对称,就必有（D ）；A、 + = 21 B、 + =2k+2 C、 + =2k D、 + =2k+1 4、 如角 的终边和函数y=-|x|的图象重合,就 的集合是x|x2 k4,或x2 k3,kZ45、 已知扇形的周长为30cm,当它的半径r 和圆心角 各取什么值时,扇形的面积最大？最大面积是多少？解：方法一： 30=2r+l 22 rl,解得 2rl 225. S 扇=11 lr 42rl=225 ；42取等号的条件：2r=l, 解得 r=7.5, =2；方法二： 30=2r+l , l=30-2r ,S扇=1lr=13
7、0-2rr=15r-r2；22当 r=7.5 时, S 扇最大 =225 ,此时 =2；46、 在 1 时 15 分时,时针和分针所成的最小正角是多少弧度？解：在 1 时时,时针和分针所成的角：6；到 1 时 15 分时,分针转过的角：2；时针转过的角：24；所求角：2-6-24=7；24x|xk2,kZ,就（ A ）；7、 集合 M=x|xk4,kZ,N=24A、MN B、NM C、M=N D、M N=解：方法一： M: xk42k41,N：xk2k2244 第 2 页,共 20 页 MN,选 A；3 y y 方法二：2 1 4 2 o x 5 1 x 3 4 6 7 8 细心整理归纳 精选
8、学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -M 学习必备欢迎下载N 8、如图,半径为 1 的圆 O 上有两个动点 M 、N,同时从点 P（1,0）动身,y 沿圆周运动； M 点按逆时针方向转动,速度为 rad/s,N 点按顺时针方向转动,6速度为 rad/s；试求他们动身后第三次相遇时的位置及各自走过的弧长；3 o P x 解：t=6 ,解得 t=12 秒； l1= 12 1=2,L 2= 12 1=43 6 6 3答：他们动身后第三次相遇时的位置
9、在点 P,M 走过的弧长为 2 , M走过的弧长为 4；9、如图,半径为 1 的圆 O 上有两个动点 M、N,同时从点 P（1, 0）动身,沿圆周同向运动；M 点速度为 rad/s,N 点速度为 rad/s；试求他们动身后第三次相遇时的位置及各自走过的弧长；6 3解：3 6 t=6 ,解得 t=36 秒； l1= 6 36 1=6,L 2= 3 36 1=12；答：他们动身后第三次相遇时的位置在点 P,M 走过的弧长为 6 , M走过的弧长为 12；10、如角 的终边与5 的终边关于 x 轴对称,且 -4 -2,那么 等于（C ）；4A、-2-3 B、-3 C、-2-5 D、-2-114 4
10、4 4解： =2k +3,kZ； -4 -2, k=-2 ； =-4 +3 =-2 +3-2 =-2-5；选 C；4 4 4 411、已知集合 A= | k k , k Z,B= | | 3 ,就 A B = ；312、如扇形的圆心角是 60,就此扇形的内切圆与扇形的面积之比为（）；A、1： 2 B、1：3 C、 2：3 D、3：4其次部分：任意角的三角函数教学目标：1、把握任意角的正弦、余弦、正切的定义,并会利用单位圆中的三角函数线表示正弦、余弦和正切；2、明白任意角的余切、正割、余割的定义；一、学问点回忆：1、 任意角的三角函数定义：设 是任意角, Px,y 是其终边上任意一点,|OP|=
11、r,就x = y, k , 1siny = rx , R, -1 sin 1;2 cos = ry , R, -1 cos 1;3tan x, k + , tan R, 3cot2cot R;5 secr = , x6 csc = r ；y2、 常用三角函数值：函数值sin cos tan cot 角0 0 1 0 不存在 第 3 页,共 20 页 31336223细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -422学习必备欢迎下载
12、1 1 223 1 3 33 2 2 31 0 不存在 0 2例 1、以下各式中,结果为正值的是（D ）；A、cos2-sin2 B、cos2sin2 C、sin2tan2 D、tan2cos2 解： 2 弧度 =2 57 o18 =114 o36 ,为其次象限角,所以选 D；例 2、一个半径为 R 扇形,它的周长是 4R,就这个扇形所含弓形的面积是（D ）；A、1 2-sin1cos1R 2 B、1 sin1cos1R 2 C、1 R 2 D、1-sin1cos1R 22 2 2解： 4R=l+2R , l=2R；| |=2弧度； S弓= S扇- S =1 LR-1 R 2sin2 2 2=
13、R 2- sin1cos1R 2=1-sin1cos1R 2；二、综合练习：1、 如角 的终边落在直线 y=2x 上,就 sin 的值等于（C ）；1 5 2 5 1A 、B、C、D、5 5 5 22、如三角形的两个内 、 角满意 sin cos 0,就此三角形的外形是（B ）；A 、锐角三角形 B、钝角三角形 C、直角三角形 D、不能确定3、已知 是第三象限角,且 cos 0,就 是（ B ）；2 2A 、第一象限角或其次象限角；B、其次象限角；C、其次象限角或第四象限角；D、第一象限角或第三象限角；解： 是第三象限角,2k + 2k + 32,kZ Z；k +223 k +4；当 k 是偶
14、数时,2是其次象限角；当 k 是奇数时,2是第四象限角；cos20,选 B；4、已知 1 sin2 1,就 是（C ）；2A 、第一象限角或其次象限角B、其次象限角或第四象限角C、第一象限角或第三象限角D、其次象限角或第三象限角解：方法一：1 sin2 0,2k 2 2k + , k k +2 2当 k 是偶数时, 是第一象限角；当k 是奇数时, 是第三象限角；选C；方法二： 1sin2 0,2sin cos 0； 是第一象限角或第三象限角；25、如函数 fx 的定义域是 0,1 ,就 fsinx 的定义域是x|2 kx2k,k解： sinx0,1 , 2k x2k +,kZ；6、函数 y=c
15、osx的定义域是x|2 k2x2 k2,kZ；7、如实数 x 满意 log 2x=2+sin ,就 y=|x+1|-|x-10| 的值域是 -5,7 ；细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页,共 20 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载解:log 2x=2+sin , x=2 2+sin ； -1 sin 1, 22 2+sin 8；x2,8 ；y=|x+1|-|x-10|=x+1-10+x=2x-9,x2,8 ； y-5,7
16、 ；8、 如 0,2,求证： 1sin tan ；2 sin +cos1；y p x 证明：（1）画单位圆如图,就弧NQ 长等于 |MN| ,而 sin =|MN|；N sin ； S POQS扇,得, tan ； sin tan ；（ 2）证法一： sin +cos =|MN|+|OM|ON|1, sin +cos 1；O M Q 证法二： 0 , sin 0, cos0；2sin + cos 2= sin 2 +2 sin cos + 2 =1+2 sin cos 1； sin +cos 1；9、已知 2 弧度的圆心角所对的弦长为2,那么这个圆心角所对的弧长是（C ）；D、第一或第三象限角
17、A 、2 B、 sin2 C、2D、2sin1 sin110、假如角 满意条件sink3,就 是（B ）；k5cos42kk5A、其次象限角B、其次或第四象限角C、第四象限角11、如 0,2,就 sin +cos的一个可能值是（C ）；A、2 3B、2 7C、422D、1 第三部分：同角三角函数基本关系式教学目标：把握同角三角函数基本关系式；一、学问点回忆：、倒数关系：sin csc =1, cos sec =1, tan cot =1sin cos2、商数关系： tan = , cot =；cos sin3、平方关系： sin 2 +cos 2 =1,1+tan 2 =sec 2 ,1+co
18、t 2 =csc 2；例 1、3sin +4cos =5,就 tan =3；4解： 3sin +4cos =5, 9sin2 +24sin cos +16cos 2 =25；16sin2-24sin cos +9cos 2 =0,16tan2-24tan +9 =0；解得 tan =34； 第 5 页,共 20 页 - - - - - - - - - 例 2、化简：1sin4xsin2xcos2xcos4x+3sin2；sin2x解：原式 =1sin2xcos2x23sin2x2 cosx +3sin2 =3sin 2 +3cos 2 =3；sin2x二、综合练习：1、已知 1+sin 12
19、cos+cos 1sin2=0,就 的取值范畴是（C ）；A 、第三象限角B、第四象限角细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -3 C、2k + 2k + ,kZ 23 D、2k +2学习必备欢迎下载 2k +2解： 1+sin 1 cos 2+cos 1 sin 2=1+sin |sin |+cos |cos |=0sin |sin |+cos |cos |=-1； sin 2 +cos 2 =1,sin 0, cos 02k + 2k + 3,k Z,选 C；
20、22、已知 是三角形的一个内角,且 sin +cos = 2 ,就这个三角形的外形是（B ）；3A 、锐角三角形 B、钝角三角形C、不等腰的直角三角形 D、直角三角形解：方法一：sin +cos = 2 ,sin 2 +cos 2 =1,3解得 sin = 2- cos ；代入 sin 2 +cos 2 =1,得 2- cos 2+ cos 2 =13 3解得 cos = 2 14；2 14 2, cos = 2 140,cos 0,9 9此三角形是钝角三角形,选 B；3、已知 0 ,且 lg1+cos =m,lg 1=n,就 lgsin 等于（D ）；2 1 cos1 1 1 1A 、m+
21、B、m-n C、 m+ D、 m-n n 2 n 2解： lg 1=lg1- cos -1= - lg1- cos =n,lg1-cos =-n 1 coslg1+cos + lg1-cos = lg1-cos 2 =lgsin 2 =2lgsin =m1lgsin = m-n, 所以选 D；21 14、化简 + 1-cos 的结果是（ A ）；sin tanA 、sin B、cos C、1+sin D、1+cos 解： 1+ 11- cos = 1+ cos1- cos sin tan sin sin2 21 cos 1 cos sin= 1-cos = = =sin ；所以选 A；sin
22、sin sin5、如 tan 和 tan 是关于 x 的方程 x 2-px+q=0 的两根, cot 和 cot 是关于 x 的方程 x 2-rx+s=0 的两根,就 rs 等于（ C ）；1 p qA 、pq B、C、2 D、2pq q p解： tan 和 tan 是关于 x 的方程 x 2-px+q=0 的两根, tan tan =q,tan +tan =p； cot 和 cot 是关于 x 的方程 x 2-rx+s=0 的两根,细心整理归纳 精选学习资料 第 6 页,共 20 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结
23、 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -r=cot +cot = 1tan+1=tantan学习必备欢迎下载1=tan1=1 ；q=p ； s= cot cot = 1q tantantantantantanrs=p1=p,所以选 C；2 ,就 cos 的值是（B ）；qqq26、已知 在第一象限,且1tan=3+21tanA 、6B、6C、3D、32323解：由已知得tan =2,sec 2 = 3 , sec2 = 3 ,cos =22=6 ；332第四部分：诱导公式教学目标：把握正弦、余弦的诱导公式；一、学问点回忆：公式一：终边相同的角同名三角函数值相等
24、；sin2k + =sin cos2k + =cos 第 7 页,共 20 页 - - - - - - - - - tan2k + =tan cot2k + =cot 公式二 :终边关于原点对称的两角的同名三角函数值的关系；sin + =-sin cos + =-cos tan + =tan cot + =cot 公式三：终边关于x 轴对称的两角的同名三角函数值的关系；sin- =- sin cos- = costan- =-tan cot- =-cot 公式四：终边关于y 轴对称的两角的同名三角函数值的关系；sin - = sin cos - =-cos tan - =-tan cot -
25、=-cot 公式五：sin2- = -sin cos2 - = costan2- =-tan cot2 - =-cot 公式六：余角公式：sin2- = cos cos2- =sintan- = cot2公式七： cot2- = tansin2+ = cos cos2+ =-sin tan2+ =- cot cot2+ = -tan 公式八：sin3- = -cos cos3- =-sin 22tan3- = cot cot3- = tan22细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - -
26、 - - - - -学习必备 欢迎下载公式九：sin3+ = -cos cos3+ =sin2,kZ ；22tan3+ = -cot cot3+ = -tan 22例 1、如 fcosx=cos3x ,就满意 fsinx=1 的 x=2 k32,kZ ；解： fcosx=cos3x , fsinx= fcos2x =cos33 2= cos23 =- cos23 3 x =-sin3x=1 ； 3x=2k +2,kZ ,x=2k3练习：函数 fx 满意 fcosx= x0 x ,就fcos4=3；23=-m2；例 2、已知 cos6=m,|m| 1,cos5sin2的值；63解：cos5sin
27、2= cos6sin363=- cos6sin3=- cos6cos23=- cos6cos6二、综合练习：1、 运算：1o cos180sin360oo,答案： 1；B ）；sino 180 cos 1802 sin3cossin2sin,答案： -csc；cos3sin +180 ocos- sin-180 o ,答案： -sin 2 cos 4sin-1071 osin99 o+sin-171 osin-261 o ,答案： 0；2、函数 y=costanx（ B ）；A 、是奇函数,但不是偶函数；B、是偶函数,但不是偶函数；C、不是奇函数,也不是偶函数；D、奇偶性无法确定3、已知函数f
28、x=asinx+btanx+1 满意 f5=7 ,就 f-5 的值等于（A 、5 B、-5 C、6 D、-6 解： fx=asinx+btanx+1 , fx-1=asinx+btanx f5-1=asin5+btan5 ,f-5-1=asin-5+btan-5=-asin5+btan5 f5=7 , asin5+btan5=6,f-5=-6+1=-5 ；4、已知函数fx 满意 fcosx= x,（0 x）就 f-1的值等于（B ）；22A 、cos1B、3C、4D、22解： fcosx= x,（0 x）, f-1=fcos2=12=3；223235、已知函数fx=asin x+ +bcos,
29、其中 a,b, , 都是非零实数, 且满意 f1997=-1 ,就 f1998 等于（）；A 、-1 B、0 C、1 D、2 第 8 页,共 20 页 - - - - - - - - - 解： fx=asin x+ +bcos x+ f1997=asin1997 + +bcos1997 + 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -=asin + +bcos + =学习必备欢迎下载 +bcos =f1998=asin1998 + +bcos1998 + = asin
30、； +bcos =16、化简与证明：（1）求证： sin 21 o+sin 22 o+sin 23 o+ +sin 289 o= 89 ；2证明： sin 21 o+sin 22 o+sin 23 o+ +sin 289 o = sin 21 o+ sin 289 o+ sin 22 o+ sin 288 o+ + sin 244 o+ sin246o+ sin245o 89 =22 化简： tan1 o tan2o tan 3 o tan 88o tan 89o=1. 3 化简： tan5+ tan2+ tan3+ tan4=0；555第五部分：两角和与差的三角函数教学目标：把握两角和与两角
31、差的正弦、余弦、正切公式；一、学问点回忆：cos + =cos cos -sin sin cos - =cos cos +sin sin o：sin + =sin cos +cos sin sin - =sin cos -cos sin .tan tan + =1 tantan；tan - = 1tantan；tantantan二、例题讲解：例1、求以下三角函数值：sin15o,cos15 o,tan15 o,cot15o；解： sin15o= sin45o-30o=sin45ocos30 o-cos45 osin30o=23-21=642；2222cos15 o= cos45o-30o=co
32、s45ocos30 o-sin45osin30o=23+21=642；2222tan15 o=sin15o=642=62=2-3 ；cot15o=1o=213=2+3 ；cos 15o6262tan154例 2、已知 cos + = 4 ,cos - = 54 , +（57,2）,-（3,）,求 cos2；44解： cos + = 4 , +（57,2）, sin + = 3；45cos - =4, -（3,）, sin - = 3 ；554cos2 =cos + + - = coso4 + cos- - sin + sin- = 5（4） -（33 ）= 57；5525例 3、求值：2cos
33、10osin20；cos20o解2cos 10osin20o=2cos 30o20osin20o=2cos30ocos20osin30osin20osin20=2cos30o=cos20ocos20ocos20o3 ；细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页,共 20 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备欢迎下载o）+1-tan65o tan70o例 4、求 tan65 o+tan70 o+1-tan65 o tan70 o 的值；解： tan65 o+tan70 o+1-tan65 o tan70 o=tan（65 o +70=-（1-tan