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1、学习必备 欢迎下载 第四章：三角函数 第一部分：角的概念的推广 教学目标：理解任意角的概念、弧度的意义，能正确进行弧度与角度的换算。一、知识点回顾：1、角：一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。始边：起始位置的射线；终边：终止位置的射线；顶点：始边和终边的共同端点。2、角的分类：（1）正角：逆时针方向旋转；（2）零角：不旋转；（3）负角：顺时针方向旋转。3、直角坐标系中讨论角：（1）顶点是原点；（2）始边是横轴正半轴及原点。4、象限角：若角的顶点是原点，始边是横轴的非负半轴，则角的终边在哪一象限，就是哪一象限角。5、轴线角：若角的顶点是原点，始边是横轴的非负半轴，并且角的终边在
2、坐标轴上，则此角叫做轴线角。6、终边与角 重合的所有角连同角 一起，可以表示成集合：S=|360,okkZ 。例 1、已知角 是第三象限角，则3是（D ）。A、第一象限角；B、第三象限角；C、第四象限角；D、第一、第三或第四象限角；解：角 是第三象限角，180o+k360o 270o+k360o，kZ。60o+3k360o390o+3k360o，kZ。（1）当 k=3m，mZ 时，60o+m360o390o+m360o，mZ。3是第一象限角。（2）当 k=3m+1，mZ 时，60o+313m360o390o+313m360o，kZ。即 180o+m360o3210o+m360o，mZ。3是第三
3、象限角。（3）当 k=3m+2，mZ 时，60o+323m360o390o+323m360o，kZ。即 300o+m360o3330o+m360o，mZ。3是第四象限角。7、弧度制：（1）1 弧度的角：弧长等于半径的圆弧所对圆心角。（2）弧度数：正角的弧度数是正数；负角的弧度数是负数；零角的弧度数是 0。|=rl。（3）弧长公式，扇形面积计算公式：l=|r，S扇=21lr=21|r2。例 2、若锐角 的终边与它的 10 倍角的终边相同，求 。解：根据题意知：10=k360o+，kZ。且 0o 90o。于是 9=k360o，=k40o。0ok40o90o。解得 k=1，或 2。=40o，或 80
4、o。例 3、如图，已知一点 A(1,0)，按逆时针方向做匀速圆周运动，1 秒钟时间转过 角0 ，经过 2秒钟点 A 在第三象限，经过 14 秒钟，与最初位置重合，求 的弧度数。学习必备 欢迎下载 解：0，022。经过 2 秒钟点 A 在第三象限，223。经过 14 秒钟，与最初位置重合，14=2n，nZ。7 2n212，于是 n=4,或 5。当 n=4 时，=47；当 n=5 时，=57。二、综合练习：1、若 是第四象限角，则 -是第三象限角。解：方法一：是第四象限角，2k+232k+2,kZ 2k-2-2k-23,kZ,2k-2k-2 -是第三象限角。方法二：利用图形。2、若一圆弧长等于所在
5、圆的内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数的绝对值为（C ）。A、3 B、32 C、3 D、2 解：设内接正三角形的边长为 a,a=3R,=Rl=3。选 C。3、和 的终边关于 y 轴对称，则必有（D ）。A、+=2 B、+=(2k+21)C、+=2k D、+=(2k+1)4、若角 的终边和函数 y=-|x|的图象重合，则 的集合是Zkkxkxx,432,42|或。5、已知扇形的周长为 30cm，当它的半径 r 和圆心角 各取什么值时，扇形的面积最大？最大面积是多少？解：方法一：30=2r+l2rl2,解得 2rl225.S扇=21lr41 2rl=4225。取等号的条件：2r=l,解得 r=
6、7.5,=2。方法二：30=2r+l，l=30-2r，S扇=21lr=21(30-2r)r=15r-r2。当 r=7.5 时,S扇最大=4225，此时=2。6、在 1 时 15 分时，时针和分针所成的最小正角是多少弧度？解：在 1 时时，时针和分针所成的角：6；到 1 时 15 分时，分针转过的角：2；时针转过的角：24。所求角：2-6-24=247。7、集合 M=Zkkxx,42|，N=Zkkxx,24|,则（A）。A、MN B、NM C、M=N D、MN=解：方法一：M:4)12(42kkx，N：4)2(24kkx MN，选 A。方法二：1 o x y-的终边-的终边 的终边 1 3 4
7、x 2 y 4 8 7 6 5 3 2 y x 度与角度的换算一知识点回顾角一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形始边起始位置的射线终边终止位置的射线顶点始边和终边的共同端点角的分类正角逆时针方向旋转零角不旋转负角顺时针方向旋转直角坐标一象限就是哪一象限角轴线角若角的顶点是原点始边是横轴的非负半轴并且角的终边在坐标轴上则此角叫做轴线角终边与角重合的所有角连同角一起可以表示成集合例已知角是第三象限角则是第一象限角第三象限角第四象限角第一弧长等于半径的圆弧所对圆心角弧度数正角的弧度数是正数负角的弧度数是负数零角的弧度数是弧长公式扇形面积计算公式扇例若锐角的终边与它的倍角的终边相同求解
8、根据题意知且于是解得或或例如图已知一点按逆时针方向做匀学习必备 欢迎下载 y o x P M N 8、如图，半径为 1 的圆 O 上有两个动点 M、N，同时从点 P（1，0）出发，沿圆周运动。M 点按逆时针方向转动，速度为6rad/s，N 点按顺时针方向转动，速度为3rad/s。试求他们出发后第三次相遇时的位置及各自走过的弧长。解：36 t=6，解得 t=12 秒。l1=6121=2，L2=3121=4。答：他们出发后第三次相遇时的位置在点 P，M 走过的弧长为 2,M走过的弧长为 4。9、如图，半径为 1 的圆 O 上有两个动点 M、N，同时从点 P（1，0）出发，沿圆周同向运动。M 点速度
9、为6rad/s，N 点速度为3rad/s。试求他们出发后第三次相遇时的位置及各自走过的弧长。解：36 t=6，解得 t=36 秒。l1=6361=6，L2=3361=12。答：他们出发后第三次相遇时的位置在点 P，M 走过的弧长为 6,M走过的弧长为 12。10、若角 的终边与54的终边关于 x 轴对称，且-4-2，那么 等于（C ）。A、-2-34 B、-34 C、-2-54 D、-2-114 解：=2k+34，kZ。-4-2，k=-2。=-4+34=-2+34-2=-2-54。选 C。11、已知集合 A=|,3kkkZ ，B=|3，则AB=。12、若扇形的圆心角是 60，则此扇形的内切圆与
10、扇形的面积之比为（）。A、1：2 B、1：3 C、2：3 D、3：4 第二部分：任意角的三角函数 教学目标：1、掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义，并会利用单位圆中的三角函数线表示正弦、余弦和正切；2、了解任意角的余切、正割、余割的定义。一、知识点回顾：1、任意角的三角函数定义：设 是任意角，P(x,y)是其终边上任意一点，|OP|=r,则(1)sin=ry,R,-1sin1;(2)cos=rx,R,-1cos1;(3)tan=xy,k+2,tan R,(3)cot=yx,k,cot R;(5)sec=xr,(6)csc=yr。2、常用三角函数值：函数值 角 sin cos tan cot 0
11、 0 1 0 不存在 6 21 23 33 3 度与角度的换算一知识点回顾角一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形始边起始位置的射线终边终止位置的射线顶点始边和终边的共同端点角的分类正角逆时针方向旋转零角不旋转负角顺时针方向旋转直角坐标一象限就是哪一象限角轴线角若角的顶点是原点始边是横轴的非负半轴并且角的终边在坐标轴上则此角叫做轴线角终边与角重合的所有角连同角一起可以表示成集合例已知角是第三象限角则是第一象限角第三象限角第四象限角第一弧长等于半径的圆弧所对圆心角弧度数正角的弧度数是正数负角的弧度数是负数零角的弧度数是弧长公式扇形面积计算公式扇例若锐角的终边与它的倍角的终边相同求解
12、根据题意知且于是解得或或例如图已知一点按逆时针方向做匀学习必备 欢迎下载 4 22 22 1 1 3 23 21 3 33 2 1 0 不存在 0 例 1、下列各式中，结果为正值的是（D ）。A、cos2-sin2 B、cos2sin2 C、sin2tan2 D、tan2cos2 解：2 弧度=2 57o18=114o36，为第二象限角，所以选 D。例 2、一个半径为 R 扇形，它的周长是 4R，则这个扇形所含弓形的面积是（D ）。A、12(2-sin1cos1)R2 B、12sin1cos1R2 C、12R2 D、(1-sin1cos1)R2 解：4R=l+2R，l=2R。|=2 弧度。S弓
13、=S扇-S=12LR-12R2sin2=R2-sin1cos1R2=(1-sin1cos1)R2。二、综合练习：1、若角 的终边落在直线 y=2x 上，则 sin 的值等于（C ）。A、51 B、55 C、552 D、21 2、若三角形的两个内 、角满足 sincos0，则此三角形的形状是（B ）。A、锐角三角形 B、钝角三角形 C、直角三角形 D、不能确定 3、已知 是第三象限角，且 cos20，则2是（B ）。A、第一象限角或第二象限角；B、第二象限角；C、第二象限角或第四象限角；D、第一象限角或第三象限角。解：是第三象限角，2k+2k+23,kZ k+22 k+43。当 k 是偶数时，2
14、是第二象限角；当 k 是奇数时，2是第四象限角。cos20，选 B。4、已知(21)sin21，则 是（C）。A、第一象限角或第二象限角 B、第二象限角或第四象限角 C、第一象限角或第三象限角 D、第二象限角或第三象限角 解：方法一：(21)sin20,2k22k+,kk+2。当 k 是偶数时，是第一象限角；当 k 是奇数时，是第三象限角。选 C。方法二：(21)sin20，2sincos0。是第一象限角或第三象限角。5、若函数 f(x)的定义域是0,1，则 f(sinx)的定义域是Zkkxkx,22|。解：sinx0,1，2kx2k+，kZ。6、函数 y=xcos的定义域是Zkkxkx,22
15、22|。7、若实数 x 满足 log2x=2+sin，则 y=|x+1|-|x-10|的值域是-5,7。度与角度的换算一知识点回顾角一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形始边起始位置的射线终边终止位置的射线顶点始边和终边的共同端点角的分类正角逆时针方向旋转零角不旋转负角顺时针方向旋转直角坐标一象限就是哪一象限角轴线角若角的顶点是原点始边是横轴的非负半轴并且角的终边在坐标轴上则此角叫做轴线角终边与角重合的所有角连同角一起可以表示成集合例已知角是第三象限角则是第一象限角第三象限角第四象限角第一弧长等于半径的圆弧所对圆心角弧度数正角的弧度数是正数负角的弧度数是负数零角的弧度数是弧长公式
16、扇形面积计算公式扇例若锐角的终边与它的倍角的终边相同求解根据题意知且于是解得或或例如图已知一点按逆时针方向做匀学习必备 欢迎下载 解:log2x=2+sin，x=22+sin。-1 sin1，222+sin8。x2,8。y=|x+1|-|x-10|=x+1-10+x=2x-9，x2,8。y-5,7。8、若 2,0，求证：(1)sin tan。(2)sin+cos1。证明：（1）画单位圆如图，则弧 NQ 长等于|MN|，而 sin=|MN|。sin 。SPOQS扇，得，tan。sin tan。（2）证法一：sin+cos=|MN|+|OM|ON|1，sin+cos1。证法二：2,0，sin 0，
17、cos 0。(sin+cos)2=sin2+2 sincos+cos2=1+2 sincos1。sin+cos1。9、已知 2 弧度的圆心角所对的弦长为 2，那么这个圆心角所对的弧长是（C ）。A、2 B、sin2 C、2sin1 D、2sin1 10、如果角 满足条件3sin542cos5kkkk，则 是（B ）。A、第二象限角 B、第二或第四象限角 C、第四象限角 D、第一或第三象限角 11、若 0,2，则 sin+cos 的一个可能值是（C ）。A、23 B、27 C、422 D、1 第三部分：同角三角函数基本关系式 教学目标：掌握同角三角函数基本关系式。一、知识点回顾：、倒数关系：si
18、ncsc=1,cossec=1,tancot=1。2、商数关系：tan=cossin,cot=sincos。3、平方关系：sin2+cos2=1,1+tan2=sec2,1+cot2=csc2。例 1、3sin+4cos=5，则 tan=34。解：3sin+4cos=5，9sin2+24sincos+16cos2=25。16sin2-24s incos+9cos2=0，16tan2-24tan+9=0。解得 tan=34。例 2、化简：422421(sinsincoscos)sinxxxxx+3sin2。解：原式=2222221(sincos)3sincossinxxxxx+3sin2=3si
19、n2+3cos2=3。二、综合练习：1、已知 1+sin2cos1+cos2sin1=0，则 的取值范围是（C ）。A、第三象限角 B、第四象限角 p x O M Q y N 度与角度的换算一知识点回顾角一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形始边起始位置的射线终边终止位置的射线顶点始边和终边的共同端点角的分类正角逆时针方向旋转零角不旋转负角顺时针方向旋转直角坐标一象限就是哪一象限角轴线角若角的顶点是原点始边是横轴的非负半轴并且角的终边在坐标轴上则此角叫做轴线角终边与角重合的所有角连同角一起可以表示成集合例已知角是第三象限角则是第一象限角第三象限角第四象限角第一弧长等于半径的圆弧所
20、对圆心角弧度数正角的弧度数是正数负角的弧度数是负数零角的弧度数是弧长公式扇形面积计算公式扇例若锐角的终边与它的倍角的终边相同求解根据题意知且于是解得或或例如图已知一点按逆时针方向做匀学习必备 欢迎下载 C、2k+2k+23,kZ D、2k+232k+2 解：1+sin2cos1+cos2sin1=1+sin|sin|+cos|cos|=0 sin|sin|+cos|cos|=-1。sin2+cos2=1,sin0,cos0 2k+2k+23,kZ，选 C。2、已知 是三角形的一个内角，且 sin+cos=32，则这个三角形的形状是（B ）。A、锐角三角形 B、钝角三角形 C、不等腰的直角三角形
21、 D、直角三角形 解：方法一：sin+cos=32，sin2+cos2=1,解得 sin=32-cos。代入 sin2+cos2=1，得(32-cos)2+cos2=1 解得 cos=6142。614232,cos=61420,cos0,此三角形是钝角三角形，选 B。3、已知 02，且 lg(1+cos)=m，lgcos11=n,则 lgsin等于（D）。A、m+n1 B、m-n C、21(m+n1)D、21(m-n)解：lgcos11=lg(1-cos)-1=-lg(1-cos)=n,lg(1-cos)=-n lg(1+cos)+lg(1-cos)=lg(1-cos2)=lgsin2=2lg
22、sin=m-n lgsin=21(m-n),所以选 D。4、化简(sin1+tan1)(1-cos)的结果是（A）。A、sin B、cos C、1+sin D、1+cos 解：(sin1+tan1)(1-cos)=(sin1+sincos)(1-cos)=sincos1(1-cos)=sincos12=sinsin2=sin。所以选 A。5、若 tan 和 tan 是关于 x 的方程 x2-px+q=0的两根，cot和 cot是关于 x 的方程 x2-rx+s=0的两根，则 rs 等于（C ）。A、pq B、pq1 C、2qp D、2pq 解：tan 和 tan 是关于 x 的方程 x2-px
23、+q=0的两根，tantan=q,tan+tan=p。cot和 cot是关于 x 的方程 x2-rx+s=0的两根，度与角度的换算一知识点回顾角一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形始边起始位置的射线终边终止位置的射线顶点始边和终边的共同端点角的分类正角逆时针方向旋转零角不旋转负角顺时针方向旋转直角坐标一象限就是哪一象限角轴线角若角的顶点是原点始边是横轴的非负半轴并且角的终边在坐标轴上则此角叫做轴线角终边与角重合的所有角连同角一起可以表示成集合例已知角是第三象限角则是第一象限角第三象限角第四象限角第一弧长等于半径的圆弧所对圆心角弧度数正角的弧度数是正数负角的弧度数是负数零角的弧度
24、数是弧长公式扇形面积计算公式扇例若锐角的终边与它的倍角的终边相同求解根据题意知且于是解得或或例如图已知一点按逆时针方向做匀学习必备 欢迎下载 r=cot+cot=tan1+tan1=tantantantan=qp。s=cotcot=tan1tan1=tantan1=q1。rs=qpq1=2qp,所以选 C。6、已知 在第一象限，且tan1tan1=3+22，则 cos的值是（B ）。A、26 B、36 C、23 D、33 解：由已知得 tan=22,sec2=23,sec=23,cos=32=36。第四部分：诱导公式 教学目标：掌握正弦、余弦的诱导公式。一、知识点回顾：公式一：终边相同的角同名
25、三角函数值相等。sin(2k+)=sin cos(2k+)=cos tan(2k+)=tan cot(2k+)=cot 公式二:终边关于原点对称的两角的同名三角函数值的关系。sin(+)=-sin cos(+)=-cos tan(+)=tan cot(+)=cot 公式三：终边关于 x 轴对称的两角的同名三角函数值的关系。sin(-)=-sin cos(-)=cos tan(-)=-tan cot(-)=-cot 公式四：终边关于 y 轴对称的两角的同名三角函数值的关系。sin(-)=sin cos(-)=-cos tan(-)=-tan cot(-)=-cot 公式五：sin(2-)=-si
26、n cos(2-)=cos tan(2-)=-tan cot(2-)=-cot 公式六：余角公式：sin(2-)=cos cos(2-)=sin tan(2-)=cot cot(2-)=tan 公式七：sin(2+)=cos cos(2+)=-sin tan(2+)=-cot cot(2+)=-tan 公式八：sin(23-)=-cos cos(23-)=-sin tan(23-)=cot cot(23-)=tan 度与角度的换算一知识点回顾角一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形始边起始位置的射线终边终止位置的射线顶点始边和终边的共同端点角的分类正角逆时针方向旋转零角不旋转负角
27、顺时针方向旋转直角坐标一象限就是哪一象限角轴线角若角的顶点是原点始边是横轴的非负半轴并且角的终边在坐标轴上则此角叫做轴线角终边与角重合的所有角连同角一起可以表示成集合例已知角是第三象限角则是第一象限角第三象限角第四象限角第一弧长等于半径的圆弧所对圆心角弧度数正角的弧度数是正数负角的弧度数是负数零角的弧度数是弧长公式扇形面积计算公式扇例若锐角的终边与它的倍角的终边相同求解根据题意知且于是解得或或例如图已知一点按逆时针方向做匀学习必备 欢迎下载 公式九：sin(23+)=-cos cos(23+)=sin tan(23+)=-cot cot(23+)=-tan 例 1、若 f(cosx)=cos3
28、x，则满足 f(sinx)=1 的 x=2,32kkZ。解：f(cosx)=cos3x，f(sinx)=cos()2fx=3cos(3)2x=cos(3)2x=-cos(3)2x=-sin3x=1。3x=2k+23，kZ，x=2,32kkZ。练习：函数 f(x)满足 f(cosx)=2x(0 x)，则4(cos)3f=3。例 2、已知cos()6=m，(|m|1),求5cos()62sin()3的值。解：5cos()62sin()3=cos()6sin()3=-cos()6sin()3=-cos()6cos()23=-cos()6cos()6=-m2。二、综合练习：1、计算：(1)cos(18
29、0)sin(360)sin(180)cos(180)oooo，答案：1。(2)sin()cos()3sin()2sin()cos(，答案：-csc。(3)sin(+180o)cos(-)sin(-180o)，答案：-sin2cos。(4)sin(-1071o)sin99o+sin(-171o)sin(-261o)，答案：0。2、函数 y=cos(tanx)（B ）。A、是奇函数，但不是偶函数；B、是偶函数，但不是偶函数；C、不是奇函数，也不是偶函数；D、奇偶性无法确定 3、已知函数 f(x)=asinx+btanx+1 满足 f(5)=7，则 f(-5)的值等于（B）。A、5 B、-5 C、6
30、 D、-6 解：f(x)=asinx+btanx+1，f(x)-1=asinx+btanx f(5)-1=asin5+btan5，f(-5)-1=asin(-5)+btan(-5)=-(asin5+btan5)f(5)=7，asin5+btan5=6,f(-5)=-6+1=-5。4、已知函数 f(x)满足 f(cosx)=2x,（0 x）则 f(-21)的值等于（B）。A、cos21 B、3 C、4 D、2 解：f(cosx)=2x,（0 x），f(-21)=f(cos32)=2132=3。5、已知函数 f(x)=asin(x+)+bcos(x+)，其中 a,b,都是非零实数，且满足 f(19
31、97)=-1，则 f(1998)等于（）。A、-1 B、0 C、1 D、2 解：f(x)=asin(x+)+bcos(x+)，f(1997)=asin(1997+)+bcos(1997+)度与角度的换算一知识点回顾角一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形始边起始位置的射线终边终止位置的射线顶点始边和终边的共同端点角的分类正角逆时针方向旋转零角不旋转负角顺时针方向旋转直角坐标一象限就是哪一象限角轴线角若角的顶点是原点始边是横轴的非负半轴并且角的终边在坐标轴上则此角叫做轴线角终边与角重合的所有角连同角一起可以表示成集合例已知角是第三象限角则是第一象限角第三象限角第四象限角第一弧长等于
32、半径的圆弧所对圆心角弧度数正角的弧度数是正数负角的弧度数是负数零角的弧度数是弧长公式扇形面积计算公式扇例若锐角的终边与它的倍角的终边相同求解根据题意知且于是解得或或例如图已知一点按逆时针方向做匀学习必备 欢迎下载=asin(+)+bcos(+)=-(asin+bcos)=-1，f(1998)=asin(1998+)+bcos(1998+)=asin+bcos=1。6、化简与证明：（1）求证：sin21o+sin22o+sin23o+sin289o=289。证明：sin21o+sin22o+sin23o+sin289o=(sin21o+sin289o)+(sin22o+sin288o)+(sin
33、244o+sin246o)+sin245o=289(2)化简：tan1otan2otan 3otan 88otan 89o=1.(3)化简：tan5+tan52+tan53+tan54=0。第五部分：两角和与差的三角函数 教学目标：掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式。一、知识点回顾：cos(+)=coscos-sinsin；cos(-)=coscos+sinsin sin(+)=sincos+cossin；sin(-)=sincos-cossin.tan(+)=tantan1tantan；tan(-)=tantan1tantan。二、例题讲解：例1、求以下三角函数值：sin15o,cos
34、15o,tan15o,cot15o。解：sin15o=sin(45o-30o)=sin45ocos30o-cos45osin30o=2223-2221=426。cos15o=cos(45o-30o)=cos45ocos30o-sin45osin30o=2223+2221=426。tan15o=oo15cos15sin=426426=2626=2-3。cot15o=o15tan1=321=2+3。例 2、已知 cos(+)=54，cos(-)=54，+（47，2），-（43，），求 cos2。解：cos(+)=54，+（47，2），sin(+)=53。cos(-)=54，-（43，），sin(-
35、)=53。cos2=cos(+)+(-)=cos(+)cos(-)-sin(+)sin(-)=54（54）-（5353）=257。例 3、求值：ooo20cos20sin10cos2。解：ooo20cos20sin10cos2=oooo20cos20sin)2030cos(2=oooooo20cos20sin)20sin30sin20cos30(cos2=2cos30o=3。度与角度的换算一知识点回顾角一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形始边起始位置的射线终边终止位置的射线顶点始边和终边的共同端点角的分类正角逆时针方向旋转零角不旋转负角顺时针方向旋转直角坐标一象限就是哪一象限角
36、轴线角若角的顶点是原点始边是横轴的非负半轴并且角的终边在坐标轴上则此角叫做轴线角终边与角重合的所有角连同角一起可以表示成集合例已知角是第三象限角则是第一象限角第三象限角第四象限角第一弧长等于半径的圆弧所对圆心角弧度数正角的弧度数是正数负角的弧度数是负数零角的弧度数是弧长公式扇形面积计算公式扇例若锐角的终边与它的倍角的终边相同求解根据题意知且于是解得或或例如图已知一点按逆时针方向做匀学习必备 欢迎下载 例 4、求 tan65o+tan70o+1-tan65otan70o的值。解：tan65o+tan70o+1-tan65otan70o=tan（65o+70o）（1-tan65otan70o）+1
37、-tan65otan70o=-（1-tan65otan70o）+1-tan65otan70o=0。例 4、合一变形：asinx+bcosx=22ba(22baasinx+22babcosx)=22ba sin(x+)。其中 sin=22bab,cos=22baa。求函数 f(x)=sinx-3cosx 的值域。解：f(x)=sinx-3cosx=2（21sinx-23cosx）=2 sin（x-3）。f(x)-2，2。练习：已知 为锐角，则下列选项提供的各值中可能为 sin+cos 的是（A ）。A、43 B、35 C、32 D、12 三、综合练习：1、已知 cosx+cosy=21，sinx
38、-siny=31,则 cos(x+y)=7259。解：cosx+cosy=21，cos2x+2cosxcosy+cos2y=41。sinx-siny=31,sin2x-2 sin x sin y+sin 2y=91。2+2(cosxcosy-sin x sin y)=41+91,cos(x+y)=7259。2、已知 sin sin=1,则 cos(+)=(A )。A、-1 B、0 C、1 D、1 解：sin sin=1,sin=sin=1,或 sin=sin=-1 cos(+)=coscos-sinsin=-1。3、已知 8cos(2+)+5cos=0，求 tan(+)tan 的值。解：8co
39、s(2+)+5cos=8cos(+)+5cos(+)-=8cos(+)cos-8sin(+)sin+5 cos(+)cos+5sin(+)sin=13 cos(+)cos-3 sin(+)sin,8cos(2+)+cos=0，13 cos(+)cos=3 sin(+)sin，tan(+)tan=313。4、若 sin+sin=22，则 cos+cos 的取值范围是（）。A、0，22 B、-22，22 C、-2，2 D、-214，214 解：(cos+cos)2=cos2 +2coscos+cos2 (sin+sin)2=sin2 +2sinsin+sin2=21 设(cos+cos)2=cos
40、2 +2coscos+cos2=x,2+2 cos(-)=x+21,x=23+2 cos(-)27,-214cos+cos214。5、求函数 y=sinx+cosx+sinxcosx 的值域。度与角度的换算一知识点回顾角一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形始边起始位置的射线终边终止位置的射线顶点始边和终边的共同端点角的分类正角逆时针方向旋转零角不旋转负角顺时针方向旋转直角坐标一象限就是哪一象限角轴线角若角的顶点是原点始边是横轴的非负半轴并且角的终边在坐标轴上则此角叫做轴线角终边与角重合的所有角连同角一起可以表示成集合例已知角是第三象限角则是第一象限角第三象限角第四象限角第一弧长
41、等于半径的圆弧所对圆心角弧度数正角的弧度数是正数负角的弧度数是负数零角的弧度数是弧长公式扇形面积计算公式扇例若锐角的终边与它的倍角的终边相同求解根据题意知且于是解得或或例如图已知一点按逆时针方向做匀学习必备 欢迎下载 解：设 t=sinx+cosx,则 t2=1+2sinxcosx,sinxcosx=21(t2-1)。y=21 t2+t-21,t-2，2。解得 y-1，2+21。6、计算：(1+tan1o)(1+tan2o)(1+tan3o)(1+tan43o)(1+tan44o)。解：(1+tan1o)(1+tan2o)(1+tan3o)(1+tan43o)(1+tan44o)=(1+tan
42、1o)(1+tan44o)(1+tan2o)(1+tan43o)(1+tan42o)(1+tan43o)=222。注意：若+=k+4，kZ,则：(1+tan)(1+tan)=2。证明：+=k+4，tan(+)=tantan1tantan=1,tan+tan=1-tantan.(1+tan)(1+tan)=1+tantan+tan+tan=2。7、若 tan(+)=52，tan(-4)=41,则 tan(+4)等于（C ）。A、1813 B、2213 C、223 D、61 解：tan(+4)=tan(+)-(-4)=)4tan()tan(1)4tan()tan(=415214152=223。8、
43、设 a=sin14o+cos14o，b=sin16o+cos16o，c=62，则 a，b，c 的大小关系是（B ）。A、abc B、acb C、bca D、bac 解：a=sin14o+cos14o=2sin(45o+14o)=2sin59o2sin60o=62，b=sin16o+cos16o=2sin(45o+16o)=2sin61o2sin60o=62，acb，选 B。9、已知 sinxcosy=21，则 cosxsiny 的取值范围是（A ）。A、-21，21 B、-23，21 C、-21，23 D、-1，1 解：sinxcosy+cosxsiny=sin(x+y),-1sinxcosy
44、+cosxsiny1,sinxcosy=21，-121+cosxsiny1,cosxsiny-23，21.sinxcosy-cosxsiny=sin(x-y),-1sinxcosy-cosxsiny1,sinxcosy=21，-121-cosxsiny1,cosxsiny-21，23cosxsiny 的取值范围是-21，21。10、已知 、为锐角，且 sin B、C、=D、无法确定 解：sin21sin(+)，2sinsin(+)=sincos+cossin。cos1，cos1，2sin sin+sin。sin sin。、为锐角，选 B。度与角度的换算一知识点回顾角一条射线绕着端点从一个位置旋
45、转到另一个位置所成的图形始边起始位置的射线终边终止位置的射线顶点始边和终边的共同端点角的分类正角逆时针方向旋转零角不旋转负角顺时针方向旋转直角坐标一象限就是哪一象限角轴线角若角的顶点是原点始边是横轴的非负半轴并且角的终边在坐标轴上则此角叫做轴线角终边与角重合的所有角连同角一起可以表示成集合例已知角是第三象限角则是第一象限角第三象限角第四象限角第一弧长等于半径的圆弧所对圆心角弧度数正角的弧度数是正数负角的弧度数是负数零角的弧度数是弧长公式扇形面积计算公式扇例若锐角的终边与它的倍角的终边相同求解根据题意知且于是解得或或例如图已知一点按逆时针方向做匀学习必备 欢迎下载 第六部分：倍、半角公式 教学目
46、标：1、掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式；2、通过公式的推导，了解它们内在的联系，从而培养逻辑推理能力。一、知识点回顾：1、二倍角公式：（1）sin2=2sincos；（2）cos2=cos2-sin2=2 cos2-1=1-2 sin2;（3）tan2=2tan1tan2。2、三倍角公式：（1）sin3=3 sin-4 sin3;（2）cos3=4cos3-3c os。证明：sin3=sin(2+)=sin2cos+cos2sin =2sincoscos+(1-2 sin2)sin =2 sincos2+sin-2sin3=2 sin(1-sin2)+sin-2sin3 =2 sin-2si
47、n3+sin-2sin3=3 sin-4 sin3。cos3=cos(2+)=cos2cos-sin2sin=（2 cos2-1）cos-2sincossin =2cos3-cos-2 sin2cos=2cos3-cos-2（1-cos2）cos =2cos3-cos-2 cos+2 cos3=4cos3-3cos。3、半角公式：sin2=2cos1；cos2=2cos1 注意：符号因角的具体取值而定。tan2=cos1cos1=cos1sin=sincos1。例、已知sin()4x=513，0 x4,求cos 2cos()4xx的值。解：cos 2cos()4xx=sin(2)2cos()4
48、xx=2sin()cos()44cos()4xxx=2sin()4x=2cos()4x。sin()4x=513，0 x0,cos0。这个三角形是钝角三角形。3、cos5cos52的值等于（B ）。A、4、B、41 C、2 D、21 解：cos5cos52=5sin252cos5cos5sin2=5sin252cos52sin=5sin252cos52sin22=5sin254sin2=41。4、化简222cos12tan()sin()44等于（）。A、1 B、-1 C、cos D、-sin 解：222cos12tan()sin()44=2cos 2sin()42cos()4cos()4=cos
49、 22sin()cos()44=cos 2sin(2)2=cos 2cos 2=1，选 A。5、求值：sin18osin54o。解：sin18osin54o=oooo18cos254sin18cos18sin2=ooo18cos254sin36sin=ooo18cos236cos36sin22=oo18cos272sin2=41。6、计算：cos17 cos172 cos174 cos178。解：cos17cos172cos174cos178=17sin2178cos174cos172cos17cos17sin2=17sin2178cos174cos172cos172sin=17sin2178
50、cos174cos172cos172sin22=17sin2178cos174cos174sin2=17sin2178cos174cos174sin23=17sin2178cos178sin3=17sin2178cos178sin24=17sin21716sin4=161。7、函数 y=2sinxcosx-(cos2x-sin2x)的最大值与最小值的积是（B ）。A、2 B、-2 C、1 D、-1 解：y=2sinxcosx-(cos2x-sin2x)=sin2x-cos2x=2sin(2x-4)ymaxymin=-22=2。8、已知 cos=35，且 1，无解。D、sincC=Bbsin，s