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1、6.5 麦克斯韦速率分布定律麦克斯韦速率分布定律 气体中个别分子的速度大小和方向完全是偶然的气体中个别分子的速度大小和方向完全是偶然的, 但但平衡态下，气体分子的速度分布遵从一定的统计规律平衡态下，气体分子的速度分布遵从一定的统计规律 麦克斯韦速度分布定律麦克斯韦速度分布定律. 若不考虑分子速度的方向，若不考虑分子速度的方向，这个规律就成为这个规律就成为麦克斯韦速率分布定律麦克斯韦速率分布定律. 1859年年, 麦克斯韦麦克斯韦用概率论导出了气体分子速率分布用概率论导出了气体分子速率分布定律，后由定律，后由玻尔兹曼玻尔兹曼使用经典统计力学理论导出使用经典统计力学理论导出. 1920年年史特恩史
2、特恩用分子束实验用分子束实验, 获得分子有着确定的速获得分子有着确定的速度分布的信息度分布的信息, 但未能给出定量的结果但未能给出定量的结果. 1934年我国留学年我国留学生生葛正权葛正权在伯克利首次获得此定律的在伯克利首次获得此定律的精确实验验证精确实验验证. 此此成功经报界报道成功经报界报道, 当时闻名欧美当时闻名欧美, 在很大程度上改变了外在很大程度上改变了外国人眼中国人眼中“中国留学生只会读书不能动手中国留学生只会读书不能动手, 我们不欢迎我们不欢迎”的形象的形象, 对当时欧美中国留学生有极大的影响和鼓舞对当时欧美中国留学生有极大的影响和鼓舞. 一一. . 测定气体分子速率分布的实验测
3、定气体分子速率分布的实验实验装置实验装置ll2lHg金属蒸汽金属蒸汽显示屏显示屏狭狭缝缝接抽气泵接抽气泵 用两个同速转动的圆盘来筛选符合要求的分子用两个同速转动的圆盘来筛选符合要求的分子(金属蒸汽金属蒸汽). 对于一定的角速度对于一定的角速度, ,只有只有 满足选择条件的分子才能通过狭缝满足选择条件的分子才能通过狭缝. 改变改变, 对不同速率范围的分子测其经过狭缝后的强度对不同速率范围的分子测其经过狭缝后的强度N/N .氧气分子在氧气分子在 0C 时的分子速率分布时的分子速率分布)/(sm(%)/ NN100以下以下1.4100200200300300400400500500600600700
4、7008008.116.521.420.615.19.24.88009002.0N 为速率在为速率在 + 区间的分子数区间的分子数.N：分子总数分子总数)/(vNNovvvvS表示速率在表示速率在+区间的分子数占总分区间的分子数占总分子数的子数的百分比百分比 (或者：对每个分子而言或者：对每个分子而言, 则表则表示该分子的速率在示该分子的速率在 +区间的区间的概率概率) NNSv)(vfoSfNNdd)(dvvvvvvvvdd1lim1lim)(00NNNNNNf分布函数分布函数1d)(d00vvfNNN 归一化条件归一化条件vvv dSd物理意义物理意义 f () 表示在温表示在温度为度为
5、T 的平衡状态下，速率的平衡状态下，速率在在附近单位速率区间的分子附近单位速率区间的分子数占总数的数占总数的百分比百分比 (或分子的速或分子的速率在率在附近单位速率区间的附近单位速率区间的概率概率) . f ()d表示速率在表示速率在 +d 区间的分子数占总分子数的区间的分子数占总分子数的百分百分比比(或分子速率在或分子速率在 +d 区间的区间的概概率率) v)(vfo1vS2v)df(NdN表示速率在表示速率在 +d 区间区间的分子数的分子数.vvvvd)(21fNN表示速率在表示速率在1 12 区间的分子数区间的分子数.vvvvvvd )()(2121fNNS表示速率在表示速率在1 12
6、区间的分子数占总数的区间的分子数占总数的百分比百分比(或：表示分子的速率在或：表示分子的速率在1 12 区间的区间的概率概率).dfNdN)(dfNN)(d22234e)2()(2vvvkTmkTmf麦氏麦氏分布函数分布函数三三. 麦克斯韦气体速率分布定律麦克斯韦气体速率分布定律 反映理想气体在热动平衡反映理想气体在热动平衡条件下，各速率区间的分子数条件下，各速率区间的分子数占总分子数的百分比的规律占总分子数的百分比的规律 .vvNddNf)(v)(vfo1859年年麦克斯韦麦克斯韦用概率论导出了气体分子速率分布定用概率论导出了气体分子速率分布定律，后由律，后由玻尔兹曼玻尔兹曼使用经典统计力学
7、理论导出使用经典统计力学理论导出。vvvd4e)2(22232kTmkTm分布函数的曲线特征及意义分布函数的曲线特征及意义: :1）分子速率可取分子速率可取 0范围范围内各种内各种可能值，但所占比率不同，具有中可能值，但所占比率不同，具有中等速率的分子数所占比率较大，两等速率的分子数所占比率较大，两边的分子数所占比率较小边的分子数所占比率较小.1)(0df2）f () 满足满足归一化条件归一化条件即：分布函数曲线下所包围的即：分布函数曲线下所包围的面积为面积为 1.3）存在）存在最概然速率最概然速率(最可几速最可几速率率)p 分布曲线的峰值分布曲线的峰值所对所对应的速率应的速率. 随着温度随着
8、温度 T 的升高的升高, 速率大的分子数增多，最概然速率大的分子数增多，最概然速率速率p 增大增大, 曲线也渐趋平坦曲线也渐趋平坦.2T1T)(f12TT 1p2pv)(vfovvNddNf)(四四. 三种统计特征速率三种统计特征速率pv1）最概然速率）最概然速率mkT.RTmkTp41122RT41. 1=v)(vfopvmaxf在一定温度下在一定温度下, 气体分布在最概然速率气体分布在最概然速率p 附近单位速率间隔内附近单位速率间隔内的分子数占总分子的分子数占总分子数的数的百分比最大百分比最大.物理意义物理意义0pd)df(令042222/32kTmekTmdd最概然速率最概然速率p: 分
9、布曲分布曲线的峰值所对应的速率线的峰值所对应的速率2T1T)(f12TT (a) 不同温度，同种气体不同温度，同种气体?,1212TTorTT,12pp12TT 随着温度的升高随着温度的升高, 最最可几速率可几速率p 增大增大, 曲线渐趋平坦曲线渐趋平坦.讨论：讨论：f () 随随 T 和和 m 的变化关系的变化关系mTmkTp1,2(b) 相同温度，不同种气体相同温度，不同种气体?哪个是,哪个是22HO21)(f,12pp12mm 222,1HO是是12mm 1p2p1p2p 同一温度下不同同一温度下不同气体的速率分布气体的速率分布2H2O0pvpHvv)(vfo N2 分子在不同温分子在不
10、同温度下的速率分布度下的速率分布KT30011pv2pvKT12002v)(vfoNdNdNdNdNnnii22112）平均速率）平均速率NNNdNNdN00RTmkT60.160.1v)(vfoRTmkT880)(df分子速率的任意函数分子速率的任意函数 () 的统计平均值：的统计平均值： 00)()(dfNdNN)1()(10df例例: :202)(df0)(df3）方均根速率）方均根速率2rmsRTmkT33RTmkTmkT73.173.1322pRT.mkT.mkT6016018RT.mkT.mkTp4114112022)(dfRTmkT332rms三种特征速率三种特征速率的比较的比较
11、:RTmkT73. 173. 1O三种特征速率比较三种特征速率比较2p三种速率均与三种速率均与 成正比成正比,与与 成反比，三者之间成反比，三者之间有一个确定的比例关系有一个确定的比例关系; 三三种速率各有用处，使用于种速率各有用处，使用于不同的场合。不同的场合。mT)(fp2讨论讨论 麦克斯韦速率分布中最概然速率麦克斯韦速率分布中最概然速率 的概念的概念 下面哪种表述正确？下面哪种表述正确？（A） 是气体分子中大部分分子所具有的速率是气体分子中大部分分子所具有的速率.（B） 是速率最大的速度值是速率最大的速度值.（C） 是麦克斯韦速率分布函数的最大值是麦克斯韦速率分布函数的最大值.（D） 速
12、率大小与最概然速率相近的气体分子的比速率大小与最概然速率相近的气体分子的比 率最大率最大.pvpvpvpv例例1. 说出下列各式的物理意义说出下列各式的物理意义NddNf)() 1 (NdNdf)()2(ddNNddNNfN)()4(dNNdNNdfN)()3(VdNNdNVNdnf)()5(附近单位速率区间的分子附近单位速率区间的分子数占总分子数的百分比数占总分子数的百分比速率在速率在 +d区间的分区间的分子数占总分子数的百分比子数占总分子数的百分比速率在速率在 +d区间的分子数区间的分子数 附近单位速率区附近单位速率区间的分子数间的分子数单位体积中速率在单位体积中速率在 +d区间的分子数区
13、间的分子数0)()8(df)1()(1)10(0dvfNNNdNdfpp00)()11(NdNdf2121)()9(NNNdNdf2121)()6(2121)()7(NNdNNdNf对所有分子速率取统计平均对所有分子速率取统计平均是是否否等于等于 1 2区间分区间分子的平均速率？子的平均速率？速率在速率在1 2区间的分区间的分子数占总分子数的百分比子数占总分子数的百分比速率在速率在1 2区区间的分子数间的分子数速率倒数速率倒数 1/ 的统计平均的统计平均速率在速率在0 p区间区间的分子数占总分子的分子数占总分子数的百分比数的百分比否否! (见例见例4) 例例2. 某一假想的气体系统，含有某一假
14、想的气体系统，含有N个气体分子，个气体分子，其分子速率分布函数为：其分子速率分布函数为： 其中其中 C 为归一化常数。求：为归一化常数。求： (1) C = ? (2) 速率在速率在 0 0/4 之间的分子数；之间的分子数； (3) 最可几速率；最可几速率； (4) 平均速率和方均根速率平均速率和方均根速率.)0()(00C)(00)(f解：解：（1）求求C : 30061)(Cdf （2）NdfNN325)(4/0004/0 （3）最可几速率最可几速率 20)(0ppddf （4）2)(00df 02/10221030)(dfrms )0()(00C)(00)(f 例例3. 如图示两条如图示
15、两条 曲线分别表示氢气和曲线分别表示氢气和氧气在氧气在同一温度下同一温度下的麦克斯韦速率分布曲线，的麦克斯韦速率分布曲线， 从图从图上数据求出氢气和氧气的最可几速率上数据求出氢气和氧气的最可几速率 .vv )( fRTmkT22p：解)O()H(22)O()H(2p2pvvm/s2000)(H2p4232)H()O()O()H(222p2pvvm/s500)O(2p)(vf1sm/v2000o例例4. 设某气体的速率分布函数为设某气体的速率分布函数为)0(02vv v ，a )(vf)(00vv ，求：求：（3）速率在）速率在200v 之间分子的平均速率之间分子的平均速率v 解：解：（1）常量
16、）常量 a 和和0 的关系的关系v（2）平均速率）平均速率（1）由归一化条件）由归一化条件303v a)(vfvv00得得1)(0df1002da043083 v（2）平均速率）平均速率)0(02vv v ，a )(vf)(00vv ，)(vfvv000)(df003da（3）速率在）速率在200v 之间分子的平均速率之间分子的平均速率v 2/02/02/02/00000)()(dfdfdNdN2/00)(df20例例5. 计算计算27 C 时氢气和氧气分子的方均根速率时氢气和氧气分子的方均根速率rms .mol,/kg1023H2mol/kg10323O211molKJ31. 8RK,300
17、TRT3rms v13rmssm1093. 1v氢气分子氢气分子1rmssm483v氧气分子氧气分子解：解：方均根速率方均根速率ppdNN1）ptdNEEtotal2） 例例6. 已知分子数已知分子数 ，分子质量，分子质量 ，分布函数，分布函数 求求 1）速率在）速率在 间的分子数；间的分子数； 2）速率）速率在在 间所有分子的动能之和间所有分子的动能之和 . vv p)(vfNmpvvv d)(dNfN 速率在速率在 间的分子数间的分子数vvvd解：解：)(fppd)(Nfpd)(212vvv Nfm人有了知识，就会具备各种分析能力，明辨是非的能力。所以我们要勤恳读书，广泛阅读，古人说“书中自有黄金屋。”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识，培养逻辑思维能力；通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平，培养文学情趣；通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。有许多书籍还能培养我们的道德情操，给我们巨大的精神力量，鼓舞我们前进。