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1、2012年全国各地中考数学压轴题精选（解析版 110）1 （2012?菏泽）如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A（0，1） ，B（2， 0） ，O（0， 0） ，将此三角板绕原点O 逆时针旋转90 ，得到 A B O（1）一抛物线经过点A 、B 、B，求该抛物线的解析式；（2）设点 P 是在第一象限内抛物线上的一动点，是否存在点P，使四边形PB A B 的面积是 A B O 面积 4 倍？若存在，请求出P 的坐标；若不存在，请说明理由（3）在（ 2）的条件下，试指出四边形PBAB 是哪种形状的四边形？并写出四边形PB A B 的两条性质解题思路：（1）利用旋转的性质得出A （
2、1， 0） ，B （0，2） ，再利用待定系数法求二次函数解析式即可；（2）利用 S四边形PBA B=SB OA+SPB O+SPOB，再假设四边形PB A B 的面积是A B O 面积的 4 倍，得出一元二次方程，得出P点坐标即可；（3）利用 P点坐标以及B 点坐标即可得出四边形PBA B 为等腰梯形，利用等腰梯形性质得出答案即可解答：解： （1） A B O 是由 ABO 绕原点 O 逆时针旋转90 得到的，又 A（0，1） ，B（2，0） ，O（0，0） ，A （ 1，0） ，B （0，2） （1 分）设抛物线的解析式为：y=ax2+bx+c （a 0） ，抛物线经过点A 、B 、B，解
3、得：，满足条件的抛物线的解析式为y=x2+x+2（3 分）（2）P 为第一象限内抛物线上的一动点，设 P（x，y） ，则 x0，y0，P点坐标满足y=x2+x+2连接 PB，PO，PB ，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 22 页 - - - - - - - - - - S四边形PB A B=SB OA+SPB O+SPOB，= 1 2+ 2 x+ 2 y，=x+（x2+x+2 ）+1，=x2+2x+3（5 分）假设四边形PB A B 的面积是 A B O 面积的 4 倍，则4=
4、x2+2x+3，即 x22x+1=0，解得： x1=x2=1，此时 y=12+1+2=2，即 P（1，2） （7 分）存在点 P（1，2） ，使四边形PB AB 的面积是 AB O 面积的 4 倍（ 8 分）（3）四边形 PB AB 为等腰梯形，答案不唯一，下面性质中的任意2 个均可 等腰梯形同一底上的两个内角相等； 等腰梯形对角线相等； 等腰梯形上底与下底平行； 等腰梯形两腰相等（10分）或用符号表示： B A B=PBA 或ABP=BPB ； PA=B B； B PA B； B A =PB（10 分）2 （2012?宁波）如图，二次函数y=ax2+bx+c 的图象交 x 轴于 A（ 1，0
5、） ， B（2，0） ，交 y 轴于 C（0， 2） ，过A，C 画直线（1）求二次函数的解析式；（2）点 P在 x 轴正半轴上，且PA=PC，求 OP 的长；（3）点 M 在二次函数图象上，以M 为圆心的圆与直线AC 相切，切点为H 若 M 在 y 轴右侧，且 CHM AOC（点 C 与点 A 对应），求点 M 的坐标； 若M 的半径为，求点 M 的坐标精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 22 页 - - - - - - - - - - 解题思路：（1）根据与 x 轴的两个交点A
6、、B 的坐标，利设出两点法解析式，然后把点C 的坐标代入计算求出a 的值，即可得到二次函数解析式；（2）设 OP=x，然后表示出PC、PA的长度，在RtPOC 中，利用勾股定理列式，然后解方程即可；（3） 根据相似三角形对应角相等可得MCH= CAO ，然后分（ i）点 H 在点 C下方时，利用同位角相等，两直线平行判定CM x 轴，从而得到点M 的纵坐标与点 C 的纵坐标相同，是2，代入抛物线解析式计算即可；（ii ）点 H 在点 C 上方时，根据（ 2）的结论，点M 为直线 PC 与抛物线的另一交点，求出直线PC 的解析式，与抛物线的解析式联立求解即可得到点M 的坐标； 在 x 轴上取一点
7、D，过点 D 作 DEAC 于点 E，可以证明 AED 和AOC 相似，根据相似三角形对应边成比例列式求解即可得到AD 的长度，然后分点D 在点 A 的左边与右边两种情况求出OD 的长度，从而得到点D 的坐标，再作直线DM AC ，然后求出直线DM 的解析式，与抛物线解析式联立求解即可得到点M 的坐标解答：解： （1）设该二次函数的解析式为：y=a（x+1） （x2） ，将 x=0，y=2 代入，得 2=a（0+1） （02） ，解得 a=1，抛物线的解析式为y=（x+1） （ x2） ，即 y=x2x2；（2）设 OP=x，则 PC=PA=x+1 ，在 RtPOC 中，由勾股定理，得x2+2
8、2=（x+1）2，解得， x=，即 OP= ；（3） CHM AOC ，MCH= CAO ，（i）如图 1，当 H 在点 C 下方时，MCH= CAO ，CMx 轴，yM=2，x2x2=2，解得 x1=0（舍去），x2=1，M（1，2） ，（ii ）如图 1，当 H 在点 C 上方时，MCH= CAO ，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 22 页 - - - - - - - - - - PA=PC，由（ 2）得， M 为直线 CP 与抛物线的另一交点，设直线 CM 的解析式为y=
9、kx2，把 P（，0）的坐标代入，得k2=0，解得 k=，y=x2，由x2=x2x2，解得 x1=0（舍去），x2=，此时 y= 2=，M （，） ， 在 x 轴上取一点D，如图（备用图） ，过点 D 作 DEAC 于点 E，使 DE=，在 RtAOC 中， AC=，COA= DEA=90 ，OAC= EAD ，AED AOC，=，即=，解得 AD=2 ，D（1，0）或 D（ 3，0） 过点 D 作 DM AC ，交抛物线于M，如图（备用图）则直线 DM 的解析式为： y=2x+2 或 y=2x6，当 2x6=x2x2 时，即 x2+x+4=0 ，方程无实数根，当 2x+2=x2x2 时，即
10、x2+x4=0，解得 x1=，x2=，点 M 的坐标为（，3+）或（，3） 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 22 页 - - - - - - - - - - 3 （2012?福州）如图1，已知抛物线y=ax2+bx（a 0）经过 A（3，0） 、B（4，4）两点（1）求抛物线的解析式；（2）将直线 OB 向下平移 m 个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D，求 m 的值及点D 的坐标；（3）如图 2，若点 N 在抛物线上，且NBO= ABO ，则在（ 2）的条件下，求
11、出所有满足POD NOB 的点 P坐标（点 P、O、D 分别与点 N、O、B 对应）解题思路：（1）利用待定系数法求出二次函数解析式即可；（2）根据已知条件可求出OB 的解析式为y=x，则向下平移m 个单位长度后的解析式为： y=x m由于抛物线与直线只有一个公共点，意味着联立解析式后得到的一元二次方程，其根的判别式等于0，由此可求出m 的值和 D 点坐标；（3）综合利用几何变换和相似关系求解方法一：翻折变换，将NOB 沿 x 轴翻折；方法二：旋转变换，将NOB 绕原点顺时针旋转90 特别注意求出P点坐标之后，该点关于直线y=x 的对称点也满足题意，即满足题意的 P点有两个，避免漏解解答：解：
12、 （1） 抛物线 y=y=ax2+bx（a 0）经过 A（3，0） 、B（4，4），解得：抛物线的解析式是y=x23x（2）设直线 OB 的解析式为y=k1x，由点 B（4，4） ，得： 4=4k1，解得： k1=1 直线 OB 的解析式为y=x，直线 OB 向下平移 m 个单位长度后的解析式为：y=xm，点 D 在抛物线 y=x23x 上，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 22 页 - - - - - - - - - - 可设 D（x，x23x） ，又点 D 在直线 y=x m
13、 上，x23x=xm，即 x24x+m=0，抛物线与直线只有一个公共点，=164m=0，解得： m=4，此时 x1=x2=2，y=x23x=2，D 点的坐标为（ 2，2） （3）直线 OB 的解析式为y=x，且 A（3，0） ，点 A 关于直线 OB 的对称点 A 的坐标是（ 0，3） ，设直线 A B 的解析式为y=k2x+3，过点（ 4，4） ，4k2+3=4，解得： k2=，直线 A B 的解析式是y=，NBO= ABO ，点 N 在直线 A B 上，设点 N（n，） ，又点 N 在抛物线 y=x23x 上，=n23n，解得： n1=，n2=4（不合题意，舍去）N 点的坐标为（，） 方法
14、一：如图 1，将 NOB 沿 x 轴翻折，得到N1OB1，则 N1（，） ，B1（4，4） ，O、D、B1都在直线 y=x 上P1ODNOB ，P1ODN1OB1，点 P1的坐标为（，） 将OP1D 沿直线 y=x 翻折，可得另一个满足条件的点P2（，） ，综上所述，点P的坐标是（，）或（，） 方法二：如图 2，将 NOB 绕原点顺时针旋转90 ，得到 N2OB2，则 N2（，） ，B2（4， 4） ，O、D、B1都在直线 y=x 上精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 22 页 -
15、 - - - - - - - - - P1ODNOB ，P1ODN2OB2，点 P1的坐标为（，） 将OP1D 沿直线 y=x 翻折，可得另一个满足条件的点P2（，） ，综上所述，点P的坐标是（，）或（，） 4 （2012?临沂）如图，点A 在 x 轴上， OA=4 ，将线段 OA 绕点 O 顺时针旋转120 至 OB 的位置（1）求点 B 的坐标；（2）求经过点A、O、B 的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - -
16、 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 22 页 - - - - - - - - - - 解题思路：（1）首先根据OA 的旋转条件确定B 点位置， 然后过 B 做 x 轴的垂线， 通过构建直角三角形和OB 的长（即 OA 长）确定B 点的坐标（2）已知 O、A、B 三点坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式（3）根据（ 2）的抛物线解析式，可得到抛物线的对称轴，然后先设出P 点的坐标，而 O、B 坐标已知，可先表示出OPB 三边的边长表达式，然后分 OP=OB、 OP=BP、 OB=BP 三种情况分类讨论，然后分辨是否存在符合条件的P点解答：解： （1）如图
17、，过B 点作 BCx 轴，垂足为C，则BCO=90 ，AOB=120 ，BOC=60 ，又OA=OB=4 ，OC=OB= 4=2，BC=OB ?sin60 =4=2，点 B 的坐标为（ 2， 2） ；（2）抛物线过原点O 和点 A、B，可设抛物线解析式为y=ax2+bx，将 A（4，0） ，B（ 2 2）代入，得，解得，此抛物线的解析式为y=x2+x （3）存在，如图，抛物线的对称轴是x=2，直线 x=2 与 x 轴的交点为D，设点 P 的坐标为（ 2，y） ， 若 OB=OP，则 22+|y|2=42，解得 y= 2，当 y=2时，在 RtPOD 中， PDO=90 ， sinPOD=，精品
18、资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 22 页 - - - - - - - - - - POD=60 ，POB=POD+AOB=60 +120 =180 ，即 P、O、B 三点在同一直线上，y=2不符合题意，舍去，点 P的坐标为（ 2，2） 若 OB=PB ，则 42+|y+2|2=42，解得 y=2，故点 P的坐标为（ 2，2） ， 若 OP=BP，则 22+|y|2=42+|y+2|2，解得 y=2，故点 P的坐标为（ 2，2） ，综上所述，符合条件的点P 只有一个，其坐标为（2，
19、2） ，5 （2012?烟台）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的三个顶点B（1，0） ，C（3，0） ，D（3，4） 以A 为顶点的抛物线y=ax2+bx+c 过点 C动点 P 从点 A 出发，沿线段AB 向点 B 运动同时动点Q 从点 C 出发，沿线段 CD 向点 D 运动点 P，Q 的运动速度均为每秒1 个单位运动时间为t 秒过点 P 作 PEAB 交 AC 于点 E（1）直接写出点A 的坐标，并求出抛物线的解析式；（2）过点 E 作 EFAD 于 F，交抛物线于点G，当 t 为何值时， ACG 的面积最大？最大值为多少？（3）在动点 P，Q 运动的过程中，当t 为何值时，在矩
20、形ABCD 内（包括边界）存在点H，使以 C，Q，E，H 为顶点的四边形为菱形？请直接写出t 的值解题思路：（1）根据矩形的性质可以写出点A 得到坐标；由顶点A 的坐标可设该抛物线的顶点式方程为y=a（x1）2+4，然后将点C 的坐标代入，即可求得系数a 的值（利用待定系数法求抛物线的解析式）；（2）利用待定系数法求得直线AC 的方程 y=2x+6；由图形与坐标变换可以求得点P 的坐标（ 1，4t） ，据此可以求得点E 的纵坐标，将其代入直线AC 方程可以求得点 E或点 G 的横坐标； 然后结合抛物线方程、图形与坐标变换可以求得GE=4、点 A 到 GE 的距离为，C 到 GE 的距离为 2；
21、最后根据三角形的面积公式可以求得精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 22 页 - - - - - - - - - - SACG=SAEG+SCEG= （t2）2+1，由二次函数的最值可以解得t=2 时，SACG的最大值为1；（3）因为菱形是邻边相等的平行四边形，所以点H 在直线 EF 上解答：解： （1）A（1，4） （1 分）由题意知，可设抛物线解析式为y=a（x1）2+4 抛物线过点C（3，0） ，0=a（31）2+4，解得， a=1，抛物线的解析式为y=（ x1）2+4，即
22、y=x2+2x+3 （2 分）（2）A（1，4） ，C（3，0） ，可求直线AC 的解析式为y=2x+6点 P（1，4t） （3 分）将 y=4 t 代入 y=2x+6 中，解得点E 的横坐标为x=1+ （4 分）点 G 的横坐标为1+，代入抛物线的解析式中，可求点G 的纵坐标为4GE=（4）（ 4t）=t（5 分）又点 A 到 GE 的距离为，C 到 GE 的距离为 2，即 SACG=SAEG+SCEG=?EG?+?EG（2）=?2（t）=（t2）2+1（7 分）当 t=2 时， SACG的最大值为1（8 分）（3）t=或 t=208（12 分）（说明：每值各占（2 分） ，多出的值未舍去，
23、每个扣1 分）6 （2012?义乌市）如图1，已知直线y=kx 与抛物线 y=交于点 A（3，6） （1）求直线 y=kx 的解析式和线段OA 的长度；（2）点 P 为抛物线第一象限内的动点，过点P 作直线 PM，交 x 轴于点 M（点 M、O 不重合），交直线 OA 于点 Q，再过点 Q 作直线 PM 的垂线，交 y 轴于点 N试探究：线段QM 与线段 QN 的长度之比是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，说明理由；（3）如图 2，若点 B 为抛物线上对称轴右侧的点，点E 在线段 OA 上（与点 O、A 不重合），点 D（m，0）是 x 轴正半轴上的动点，且满足BAE= BED= AO
24、D 继续探究： m 在什么范围时，符合条件的E 点的个数分别是1个、 2 个？精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 22 页 - - - - - - - - - - 解题思路：（1）利用待定系数法求出直线y=kx 的解析式，根据A 点坐标用勾股定理求出线段OA 的长度；（2） 如答图 1， 过点 Q 作 QGy 轴于点 G， QHx 轴于点 H， 构造相似三角形QHM与QGN，将线段 QM 与线段 QN 的长度之比转化为相似三角形的相似比，即为定值 需要注意讨论点的位置不同时，这个
25、结论依然成立；（3）由已知条件角的相等关系BAE= BED= AOD ，可以得到ABE OED设 OE=x，则由相似边的比例关系可以得到m 关于 x 的表达式（） ，这是一个二次函数借助此二次函数图象（如答图 3） ，可见 m 在不同取值范围时，x 的取值（即OE 的长度，或E 点的位置）有1 个或 2 个这样就将所求解的问题转化为分析二次函数的图象与性质问题另外，在相似三角形 ABE 与OED 中，运用线段比例关系之前需要首先求出AB的长度如答图2，可以通过构造相似三角形，或者利用一次函数（直线）的性质求得 AB 的长度解答：解： （1）把点 A（3，6）代入 y=kx 得；6=3k ，k=
26、2，y=2x （2 分）OA= （3 分）（2）是一个定值，理由如下：如答图 1，过点 Q 作 QGy 轴于点 G，QHx 轴于点 H 当 QH 与 QM 重合时，显然QG 与 QN 重合，此时； 当 QH 与 QM 不重合时，QNQM ，QGQH 不妨设点 H，G 分别在 x、y 轴的正半轴上，MQH= GQN，又QHM= QGN=90 QHM QGN（5 分） ，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 22 页 - - - - - - - - - - 当点 P、Q 在抛物线和直线
27、上不同位置时，同理可得 （7 分） （3） 如答图 2，延长 AB 交 x 轴于点 F，过点 F 作 FCOA 于点 C，过点 A 作 AR x轴于点 R AOD= BAE ，AF=OF ，OC=AC=OA=ARO= FCO=90 ，AOR= FOC，AOR FOC，OF=，点 F（，0） ，设点 B（x，） ，过点 B 作 BK AR 于点 K，则 AKB ARF ，即，解得 x1=6，x2=3（舍去），点 B（6，2） ，BK=6 3=3，AK=6 2=4，AB=5 （8 分） ；（求 AB 也可采用下面的方法）设直线 AF 为 y=kx+b （k 0）把点 A（3，6） ，点 F（，0）
28、代入得k=，b=10，（舍去），B（6，2） ，AB=5 （8 分）（其它方法求出AB 的长酌情给分）在ABE 与OED 中BAE= BED ，ABE+ AEB= DEO+AEB ，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 22 页 - - - - - - - - - - ABE= DEO，BAE= EOD，ABE OED（9 分）设 OE=x，则 AE=x （） ，由ABE OED 得，（） （10 分）顶点为（，）如答图 3，当时， OE=x=，此时 E 点有 1 个；当时，任取一
29、个m 的值都对应着两个x 值，此时E 点有 2 个当时， E 点只有 1 个 （ 11 分）当时， E 点有 2 个（12 分） 7 （2012?益阳）已知：如图1，在面积为3 的正方形 ABCD 中， E、F 分别是 BC 和 CD 边上的两点， AEBF 于点 G，且 BE=1（1）求证： ABEBCF；（2）求出 ABE 和BCF 重叠部分（即 BEG）的面积；精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 22 页 - - - - - - - - - - （3）现将 ABE 绕点 A
30、 逆时针方向旋转到AB E（如图 2） ，使点 E 落在 CD 边上的点E 处，问 ABE 在旋转前后与 BCF 重叠部分的面积是否发生了变化？请说明理由解题思路：（1）由四边形 ABCD 是正方形，可得 ABE= BCF=90 ，AB=BC ，又由 AEBF，由同角的余角相等，即可证得BAE= CBF，然后利用ASA ，即可判定：ABE BCF；（2） 由正方形ABCD 的面积等于3， 即可求得此正方形的边长，由在 BGE 与ABE中， GBE= BAE，EGB=EBA=90 ，可证得 BGE ABE ，由相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得答案；（3）首先由正切函数，求得BAE=3
31、0 ，易证得 RtABE RtAB ERt ADE ，可得 AB 与 AE 在同一直线上， 即 BF 与 AB 的交点是 G，然后设 BF 与 AE 的交点为H，可证得 BAG HAG ，继而证得结论解答：（1）证明： 四边形 ABCD 是正方形，ABE= BCF=90 ，AB=BC ，ABF+ CBF=90 ，AEBF，ABF+ BAE=90 ，BAE= CBF，在ABE 和BCF 中，ABE BCF（4 分）（2）解： 正方形面积为3，AB=， （5 分）在BGE 与ABE 中，GBE=BAE ，EGB=EBA=90 ，BGEABE，（7 分），又BE=1，AE2=AB2+BE2=3+1=
32、4，SBGE= SABE=（8 分）（3）解：没有变化 （9 分）理由： AB=，BE=1，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 14 页，共 22 页 - - - - - - - - - - tanBAE=，BAE=30 ， （ 10 分）AB =AD ， AB E =ADE=90 ，AE 公共，RtABE RtAB E RtADE ，DAE =B AE =BAE=30 ，AB 与 AE 在同一直线上，即BF 与 AB 的交点是 G，设 BF 与 AE 的交点为 H，则BAG= HAG=30
33、，而 AGB= AGH=90 ，AG 公共，BAG HAG ，（11 分）S四边形GHEB=SAB ESAGH=SABESABG=SBGEABE 在旋转前后与 BCF 重叠部分的面积没有变化 （12 分）8 （2012?丽水）在 ABC 中，ABC=45 ，tanACB=如图，把 ABC 的一边 BC 放置在 x 轴上，有 OB=14，OC=，AC 与 y 轴交于点 E（1）求 AC 所在直线的函数解析式；（2）过点 O 作 OGAC ，垂足为 G，求 OEG 的面积；（3）已知点 F（10，0） ，在 ABC 的边上取两点P，Q，是否存在以O，P，Q 为顶点的三角形与OFP 全等，且这两个三
34、角形在OP 的异侧？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由解题思路：（1）根据三角函数求E 点坐标，运用待定系数法求解；（2）在 RtOGE 中，运用三角函数和勾股定理求EG，OG 的长度，再计算面积；（3）分两种情况讨论求解： 点 Q 在 AC 上； 点 Q 在 AB 上求直线OP 与直线 AC 的交点坐标即可解答：解： （1）在 RtOCE 中，OE=OCtan OCE=，点 E （0，2） 设直线 AC 的函数解析式为y=kx+，有，解得： k=直线 AC 的函数解析式为y=精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归
35、纳 - - - - - - - - - -第 15 页，共 22 页 - - - - - - - - - - （2）在 RtOGE 中， tanEOG=tan OCE=，设 EG=3t，OG=5t，OE=t，得 t=2，故 EG=6，OG=10 ，SOEG=（3）存在 当点 Q 在 AC 上时，点 Q 即为点 G，如图 1，作 FOQ 的角平分线交CE 于点 P1，由OP1FOP1Q，则有 P1Fx 轴，由于点P1在直线 AC 上，当 x=10 时，y=，点 P1（10，） 当点 Q 在 AB 上时，如图 2，有 OQ=OF，作 FOQ 的角平分线交CE 于点 P2，过点 Q 作 QHOB 于
36、点 H，设 OH=a，则 BH=QH=14 a，在 RtOQH 中，a2+（14a）2=100，解得： a1=6，a2=8，Q（ 6，8）或 Q（ 8，6） 连接 QF 交 OP2于点 M当 Q（ 6，8）时，则点M（2，4） 当 Q（ 8，6）时，则点M（1，3） 设直线 OP2的解析式为y=kx ，则2k=4，k=2y=2x精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 16 页，共 22 页 - - - - - - - - - - 解方程组，得P2（） ；当 Q（ 8，6）时，则点M（1，3） ，同
37、理可求 P2 （） ，P3（） ；如图，有 QP4OF，QP4=OF=10，点 P4在 E 点，设 P4的横坐标为x，则点 Q 的横坐标为x10，yQ=yP，直线 AB 的函数解析式为y=x+14 ，（x10）+14=x+2，解得： x=，可得： y=，点 P4（，） ，当 Q 在 BC 边上时，如图，OQ=OF=10，点 P5在 E 点，P5（0，2） ，综上所述，满足条件的P点坐标为（ 10，）或（）或（）或（，）或（ 0，2） 9 （2012?广州）如图，抛物线y=与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点C（1）求点 A、B 的坐标；（2）设 D 为已知
38、抛物线的对称轴上的任意一点，当ACD 的面积等于 ACB 的面积时，求点D 的坐标；（3）若直线 l 过点 E（4，0） ，M 为直线 l 上的动点，当以A、B、M 为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线 l 的解析式解题思路：（1）A、B 点为抛物线与x 轴交点，令y=0，解一元二次方程即可（2）根据题意求出ACD 中 AC 边上的高，设为h在坐标平面内，作AC 的平行精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 17 页，共 22 页 - - - - - - - - - - 线，平行线之间的距
39、离等于h根据等底等高面积相等，可知平行线与坐标轴的交点即为所求的D 点从一次函数的观点来看，这样的平行线可以看做是直线AC 向上或向下平移而形成因此先求出直线AC 的解析式，再求出平移距离，即可求得所作平行线的解析式，从而求得D 点坐标注意：这样的平行线有两条，如答图1 所示（3）本问关键是理解“ 以 A、B、M 为顶点所作的直角三角形有且只有三个” 的含义因为过 A、B 点作 x 轴的垂线，其与直线l 的两个交点均可以与A、B 点构成直角三角形，这样已经有符合题意的两个直角三角形；第三个直角三角形从直线与圆的位置关系方面考虑，以AB 为直径作圆，当直线与圆相切时，根据圆周角定理，切点与 A、
40、B 点构成直角三角形从而问题得解注意：这样的切线有两条，如答图2所示解答：解： （1）令 y=0，即=0，解得 x1=4，x2=2，A、B 点的坐标为A（4，0） 、B（2，0） （2）SACB=AB?OC=9，在 RtAOC 中， AC=5，设ACD 中 AC 边上的高为h，则有AC ?h=9，解得 h=如答图 1，在坐标平面内作直线平行于AC，且到 AC 的距离 =h=，这样的直线有2 条，分别是l1和 l2，则直线与对称轴x=1 的两个交点即为所求的点D设 l1交 y 轴于 E，过 C 作 CFl1于 F，则 CF=h=，CE=设直线 AC 的解析式为y=kx+b ，将 A（4，0） ，
41、C（0，3）坐标代入，得到，解得，直线 AC 解析式为 y=x+3直线 l1可以看做直线AC 向下平移 CE 长度单位（个长度单位）而形成的，直线 l1的解析式为y=x+3=x则 D1的纵坐标为 （ 1）=，D1（1，） 同理，直线AC 向上平移个长度单位得到l2，可求得 D2（ 1，）综上所述， D 点坐标为： D1（ 1，） ，D2（ 1，） 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 18 页，共 22 页 - - - - - - - - - - （3）如答图 2，以 AB 为直径作 F，圆心为
42、 F过 E 点作 F的切线，这样的切线有 2 条连接 FM，过 M 作 MN x 轴于点 NA（ 4，0） ，B（2，0） ，F（1，0） ，F 半径 FM=FB=3 又 FE=5，则在 RtMEF 中，ME=4，sinMFE=，cosMFE=在 RtFMN 中，MN=MF ?sinMFE=3 =，FN=MF ?cosMFE=3 =，则 ON=，M 点坐标为（，）直线 l 过 M（，） ，E（4，0） ，设直线 l 的解析式为y=kx+b ，则有，解得，所以直线 l 的解析式为y=x+3同理，可以求得另一条切线的解析式为y=x3综上所述，直线l 的解析式为y=x+3 或 y=x3精品资料 -
43、- - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 19 页，共 22 页 - - - - - - - - - - 10 （2012?杭州）如图， AE 切O 于点 E，AT 交O 于点 M，N，线段 OE 交 AT 于点 C，OBAT 于点 B，已知EAT=30 ，AE=3，MN=2（1）求 COB 的度数；（2）求 O 的半径 R；（3）点 F 在O 上（是劣弧），且 EF=5，把OBC 经过平移、旋转和相似变换后，使它的两个顶点分别与点E，F 重合在 EF 的同一侧，这样的三角形共有多少个？你能在其中找出另一个顶点在
44、O 上的三角形吗？请在图中画出这个三角形，并求出这个三角形与OBC 的周长之比解题思路：（1）由 AE 与圆 O 相切，根据切线的性质得到AE 与 CE 垂直，又OB 与 AT 垂直，可得出两直角相等，再由一对对顶角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似可得出三角形AEC 与三角形 OBC 相似，根据相似三角形的对应角相等可得出所求的角与 A 相等，由 A 的度数即可求出所求角的度数；（2）在直角三角形AEC 中，由 AE 及 tanA 的值，利用锐角三角函数定义求出CE的长，再由OB 垂直于 MN ，由垂径定理得到B 为 MN 的中点，根据MN 的长求出MB 的长，在直角三角形OBM 中，由
45、半径 OM=R ，及 MB 的长，利用勾股定理表示出 OB 的长，在直角三角形OBC 中，由表示出OB 及 cos30 的值，利用锐角三角函数定义表示出OC，用 OEOC=EC 列出关于 R 的方程，求出方程的解得到半径R的值；（3） 把 OBC 经过平移、旋转和相似变换后， 使它的两个顶点分别与点E， F 重合在EF 的同一侧，这样的三角形共有6 个，如图所示，每小图2 个，顶点在圆上的三角形，延长 EO 与圆交于点D，连接 DF，由第二问求出半径，的长直径ED 的长，根据 ED 为直径，利用直径所对的圆周角为直角，得到三角形EFD 为直角三角形，由FDE 为 30 ，利用锐角三角函数定义求
46、出DF 的长，表示出三角形EFD 的周长，再由第二问求出的三角形OBC 的三边表示出三角形BOC 的周长，即可求出两三角形的周长之比解答：解： （1） AE 切O 于点 E，AECE，又 OBAT，AEC= CBO=90 ，又BCO=ACE，AEC OBC，又 A=30 ，COB=A=30 ；（2）AE=3，A=30 ，在 RtAEC 中， tanA=tan30 =，即 EC=AEtan30 =3，OBMN ，B 为 MN 的中点，又MN=2，MB=MN=，连接 OM，在 MOB 中， OM=R ，MB=，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名
47、师归纳 - - - - - - - - - -第 20 页，共 22 页 - - - - - - - - - - OB=，在COB 中， BOC=30 ，cosBOC=cos30 =，BO=OC，OC=OB=，又 OC+EC=OM=R ，R=+3，整理得： R2+18R115=0，即（ R+23） （R5）=0，解得： R=23（舍去）或R=5，则 R=5；（3）在 EF 同一侧， COB 经过平移、旋转和相似变换后，这样的三角形有6 个，如图，每小图2 个，顶点在圆上的三角形，如图所示：延长 EO 交圆 O 于点 D，连接 DF，如图所示，EF=5，直径 ED=10 ，可得出 FDE=30
48、，FD=5，则 CEFD=5+10+5=15+5，由（ 2）可得 CCOB=3+，CEFD：CCOB=（15+5） ： （3+）=5：1精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 21 页，共 22 页 - - - - - - - - - - 文档编码：KDHSIBDSUFVBSUDHSIDHSIBF-SDSD587FCDCVDCJUH 欢迎下载 精美文档欢迎下载 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 22 页，共 22 页 - - - - - - - - - -