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1、导数的应用二函数的极值编稿：李 霞 审稿：张林娟 【学习目标】 1. 理解极值的概念和极值点的意义；2. 会用导数求函数的极大值、极小值；3. 会求闭区间上函数的最大值、最小值；4. 掌握函数极值与最值的简单应用.【要点梳理】 要点一：函数的极值函数的极值的定义：一般地，设函数在点及其附近有定义，（1）若对附近的所有点，都有，则称函数在处取极大值，记作；并把称为函数的一个极大值点.（2）若对附近的所有点，都有，则称函数在处取极小值，记作；并把称为函数的一个极小值点.极大值与极小值统称极值.在定义中，极值点是自变量的值，极值指的是函数值.要点诠释：由函数的极值定义可知：在函数的极值定义中，一定要
2、明确函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义，否则无从比较.函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的，是一个局部概念；在函数的整个定义域内可能有多个极值，也可能无极值.由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小.极大值与极小值之间无确定的大小关系.即一个函数的极大值未必大于极小值.极小值不一定是整个定义区间上的最小值.函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点.而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点.用导数求函数极值的的基本步骤：（1）确定函数的定义域；（2）求导数；（3）求方程
3、的根；（4）检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，则f(x)在这个根处取得极小值.（最好通过列表法）要点诠释：可导函数的极值点一定是导函数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点. 即是可导函数在点取得极值的必要非充分条件. 例如函数y=x3，在x=0处，但x=0不是函数的极值点.可导函数在点取得极值的充要条件是，且在两侧的符号相异.要点二：函数的最值函数的最大值与最小值定理若函数在闭区间上连续，则在上必有最大值和最小值；在开区间内连续的函数不一定有最大值与最小值. 如.要点诠释：函数的最值点必在函数的极值点或者区间的端点处取得；函数的极值可以有
4、多个，但最值只有一个.求函数最值的的基本步骤：若函数在闭区间有定义，在开区间内有导数，则求函数在上的最大值和最小值的步骤如下：（1）求函数在内的导数；（2）求方程在内的根；（3）求在内所有使的点的函数值及在闭区间端点处的函数值，；（4）比较上面所求的值，其中最大者为函数在闭区间上的最大值，最小者为函数在闭区间上的最小值.要点诠释：求函数的最值时，不需要对导数为0的点讨论其是极大还是极小值，只需将导数为0的点和端点的函数值进行比较即可；若在开区间内可导，且有唯一的极大（小）值，则这一极大（小）值即为最大（小）值.最值与极值的区别与联系函数的最大值和最小值是比较整个定义域上的函数值得出的（具有绝对
5、性），是整个定义域上的整体性概念. 最大值是函数在整个定义域上所有函数值中的最大值；最小值是函数在整个定义域上所有函数值中的最小值. 函数的极大值与极小值是比较极值点附近两侧的函数值而得出的（具有相对性），是局部的概念；极值可以有多个，最大（小）值若存在只有一个；极值只能在区间内取得，不能在区间端点取得；最大（小）值可能是某个极大（小）值，也可能是区间端点处的函数值；有极值的函数不一定有最值，有最值的函数未必有极值，极值可能成为最值.要点三：函数极值与最值的简单应用不等式恒成立，求参数范围问题一些含参不等式，一般形如，若能隔离参数，即可化为：的形式.若其恒成立，则可转化成，从而转化为求函数的最
6、值问题.若不能隔离参数，就是求含参函数 的最小值 ，使. 所以仍为求函数的最值问题，只是再求最值时可能需要对参数进行分类讨论.证不等式问题当所要证的不等式中只含一个未知数时，一般形式为，则可化为，一般设，然后求的最小值，证即可. 所以证不等式问题也可转化为求函数最小值问题.两曲线的交点个数问题（方程解的个数问题）一般可转化为方程的问题，即的解的个数问题，我们可以设，然后求出的极大值、极小值，根据解的个数讨论极大值、极小值与0的大小关系即可. 所以此类问题可转化为求函数的极值问题.【典型例题】类型一： 求函数的极值（1） ； （2）.【解析】（1）=321，若=0，则=，=1，当变化时，变化情况
7、如下表：(，)(，1)1(1，+)+00+极大值极小值的极大值是，极小值是.（2）函数的定义域为R，令，得x=1或x=1，当x变化时，变化状态如下表：x（，1）1（1，1）1（1，+）0+0(极小值3&极大值1(由上表可以看出，当x=1时，函数有极小值，且，当x=1时，函数有极大值，且.【总结升华】 解答本题时应注意只是函数在处有极值的必要条件，如果再加上左右导数的符号相反，方能断定函数在处取得极值. 在解题上，错误判断极值点或漏掉极值点是经常出现的失误，要注意.举一反三：【变式1】求下列函数的极值：（1）； （2）.【答案】（1）函数的定义域为R，令，得x=0或x=2，当x变化时，变化状态如
8、下表：x（，0）0（0，2）2（2，+）0+0(极小值0&极大值4e2(由上表可以看出，当x=0时，函数有极小值，且；当x=2时，函数有极大值，且.（2）函数定义域为（，1）（1，+），令得x1=1，x2=2.当x变化时，的变化情况如下表：x（，1）1（1，1）1（1，2）2（2，+）+0+0+&(&3&当x=时，函数有极大值； 函数没有极小值.【高清课堂：函数的极值与最值 370875 例题1】【变式2】讨论函数（）的单调性并求极值令，解得x1=0， x2=, x3=2 .当x变化时，变化状态如下表：x（，0）0（0，）（，2）2（2，+）0+00+(1&(&由上表可以看出，在（，0）和（，
9、2）上为减函数，在（0，）和（2，+）上为增函数，当x=0时，函数有极小值；当x=2时，函数有极小值；当x=时，函数有极大值.【高清课堂：函数的极值与最值 370875 例题3】【变式3】函数的定义域为区间（a，b），导函数在（a，b）内的图如图所示，则函数在（a，b）内的极小值有（ ）A1个 B2个 C3个 D4个【答案】由极小值的定义，只有点B是函数的极小值点，故选A.类型二：函数极值的逆向应用例2. 设函数的图象与y轴交于点P，且曲线在点P处的切线方程为若函数在x2处取得极值0，试确定函数的解析式【思路点拨】利用导数切线方程的几何意义，同时注意到条件“x2处取得极值0”，即，.【解析】
10、设点P坐标为P(0，d)，又曲线在点P处的切线为12x-y-40， x0时，yd， d-4 ， 又切线斜率k12， c12又函数在x2处取得极值0， ，解得 函数解析式为 【总结升华】根据题目中图象特点结合存在极值的条件，建立方程（组）求解.举一反三：【变式1】已知函数在点处取得极大值5，其导函数 的 图象经过点（1，0），（2，0），如图所示，求：（1）的值；（2）a，b，c的值.【答案】（1）由图象可知，在（，1）上，在（1，2）上，在（2，+）上，故在（，1）和（2，+）上递增，在（1，2）上递减，因此在x=1处取得极大值，所以=1.（2）方法一：，由，得，解得.方法二：设.又，所以，c
11、=2m，由，即，得m=6，所以a=2，b=9，c=12.【变式2】已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值10，求a,b的值.【答案】 依题意得方程组 解得. 当a=-3,b=3时，令得x=1.x(-,1)1(1,+)+0+无极值 显然a=-3, b=3不合题意，舍去. 当a=4, b=-11时，f(x)=3x2+8x-11=(x-1)(3x+11) 令得或 x=1.x1（1，+）+0-0+极大值极小值 f(x)在x=1处有极小值10，合题意，a=4, b=-11.类型三：求函数的最值【高清课堂：函数的极值与最值 370875 例题2】例3. 求函数在区间-1，2上的最大值与
12、最小值.【解析】解法一： ，-102+0-0+-211由上表可知，当x=-1时,f(x)取最小值-2；当x=0或2时,f(x)取最大值1. 函数在区间-1，2上的最大值为1，最小值为-2.解法二：，f(-1)=-2,f(0)=1,f()=,f(2)=1, 函数在区间-1，2上的最大值为1，最小值为-2.【总结升华】1. 解题格式要求：(1)对于分解因式，写出相应方程的根；(2)列表格，表格反映出随的变化情况，必须列出极值点，若求最值时，还要列出端点的函数值；(3)一般要注明x取何值时f(x)取得最大最小值.2. 当方法熟悉后,可以不再列表. 也就是说在求函数的最值时，实际不需要对导数为0的点讨
13、论其是极大还是极小值，只需将导数为0的点和端点的函数值进行比较即可.举一反三：【变式】求函数，x0，2的最值.【答案】，令，化简为x2+x2=0，解得x1=2（舍去），x2=1.，又，为函数在0，2上的最小值，为函数在0，2上的最大值.例4. 已知函数(1)求的单调递减区间； (2)若在区间-2，2上的最大值为20，求它在该区间上的最小值【解析】 (1)令，解得x-1或x3，所以函数的单调递减区间为(-，-1)，(3，+)(2)因为，所以因为在(-1，3)上，所以在-1，2单调递增又由于在-2，-1上单调递减，因此和分别是在区间-2，2上的最大值和最小值于是有22+a20，解得a-2故因此即函
14、数在区间-2，2上的最小值为-7【总结升华】本题考查了多项式的导数公式及运用导数求函数的单调区间和函数最值，要注意先比较与的大小，然后判断哪个是最大值，从而求出a利用函数求导的方法研究函数的单调性及最值问题在近几年高考试题中屡屡出现，成为热门题型举一反三：【变式】设函数.（1）当a=1时，求的单调区间；（2）若中（0，1上的最大值为，求a的值.【答案】 函数的定义域为（0，2），（1）当a=1时，所以的单调递增区间为，单调递减区间为；（2）当a（0，1时，即在（0，1上单调递增，故在（0，1上的最大值为，因此.类型四：极值与最值的应用例5. 设函数f(x)(x1)ln(x1)，若对所有的x0，
15、都有f(x)ax成立，求实数a的取值范围【思路点拨】或者化为左侧为函数式的形式，或者分离参数.【解析】解法一：令g(x)(x1)ln(x1)ax，对函数g(x)求导数：g(x)ln(x1)1a 令g(x)0，解得xea11， (i)当a1时，对所有x0，g(x)0，所以g(x)在0，)上是增函数，又g(0)0，所以对x0，都有g(x)g(0)，即当a1时，对于所有x0，都有f(x)ax (ii)当a1时，对于0xea11，g(x)0，所以g(x)在(0，ea11)是减函数，又g(0)0，所以对0xea11，都有g(x)g(0)，即当a1时，对所有的x0，都有f(x)ax成立综上，a的取值范围是
16、（，1 解法二：令g(x)(x1)ln(x1)ax，于是不等式f(x)ax成立，即为g(x)g(0)成立 ， 对函数g(x)求导数：g(x)ln(x1)1a令g(x)0，解得xea11， 当x ea11时，g(x)0，g(x)为增函数，当1xea11，g(x)0，g(x)为减函数， 所以要对所有x0都有g(x)g(0)充要条件为ea110由此得a1，即a的取值范围是（，1 【总结升华】一般首选隔离参数法，转化为求不含参数的函数的最值问题；若不能隔离，则化为求含参函数的最值问题，往往需要对参数进行分类讨论才能得出最值.举一反三：【变式】 已知函数.（1）若图象有与x轴平行的切线，求b的取值范围；
17、（2）若在x=1处取得极值，且x1，2时，恒成立，求c的取值范围.【答案】（1），的图象上有与x轴平行的切线，则有实数解，即方程3x2x+b=0有实数解，=12b0，解得.（2）由题意知x=1是方程3x2x+b=0的一个根，设另一根为x0，则，.当，；当时，；当x（1，2）时，.当时，有极大值.又，.当x1，2时，的最大值为.又当x1，2时，恒成立，c22+c，解得c1或c2.故c的取值范围是（，1）（2，+）.例6. 设函数，xR (1)求函数的单调区间和极值； (2)若关于x的方程有三个不同实根，求实数a的取值范围； (3)已知当x(1，+)时，f(x)k(x-1)恒成立，求实数k的取值范
18、围【解析】（1） ，令，解得， 当或x时，；当时， 的单调递增区间为(-，-)和(，+)；的单调递减区间为(，)当时，有极大值；当时，有极小值（2）由（1）知，函数的图象大致形状如图所示， 当时，直线与的图象有三个不同交点，即方程有三个不同的解（3）k(x-1)，即k(x-1) x1， k在(1，+)上恒成立令，在(1，+)上是增函数， k的取值范围是k-3 【总结升华】本题第(2)问利用(1)的结论将方程根的问题转化为函数图象的交点，利用数形结合求解，第(3)问将问题转化为不等式恒成立问题，利用分离参数法求解，注意转化与化归思想的运用举一反三：【变式】 已知是二次函数，不等式的解集是且在区间上的最大值是12.（I）求的解析式；（II）是否存在实数使得方程在区间内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.【答案】（I）是二次函数，且的解集是可设在区间上的最大值是由已知，得（II）方程等价于方程设则当时，是减函数；当时，是增函数.方程在区间内分别有唯一实数根，而在区间内没有实数根，所以存在唯一的自然数使得方程在区间内有且只有两个不同的实数根.