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1、导数在函数性质中的应用单调性编稿：张林娟 审稿：孙永钊【学习目标】 1. 知识与技能能用导数判断函数的单调性、求不超过三次的多项式函数的单调区间；掌握求函数单调区间的方法和步骤.2. 过程与方法通过利用导数研究函数的单调区间的过程，掌握利用导数研究函数性质的方法.总结求函数单调区间和极值的一般步骤，体会其中的算法思想，认识到导数在研究函数性质中的应用.3. 情感、态度与价值观 通过用导数方法研究函数性质，认识到不同数学知识之间的内在联系，以及导数的应用价值.【要点梳理】要点一：函数的单调性与导数的关系我们知道，如果函数在某个区间是增函数或减函数，那么就说在这一区间具有单调性.已知函数的图象如图
2、所示，由函数的单调性易知，当时，是减函数；当时，是增函数.现在我们看看各个单调区间内任意一点的切线情况：考虑到曲线的在某点处切线的斜率就是函数在改点的导数值，从图象可以看到：在区间（，2）内，任意一点的切线的斜率为负，即时，为减函数.在区间（2，+）内，任意一点的切线的斜率为正，即时，为增函数.导数的符号与函数的单调性：一般地，设函数在某个区间内有导数，则在这个区间上，（1）若，则在这个区间上为增函数；（2）若，则在这个区间上为减函数；（3）若恒有，则在这一区间上为常函数.反之，若在某区间上单调递增，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；若在某区间上单调递减，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0
3、）要点诠释：导函数的正负决定了原函数的增减；在区间(,)内，（或）是在区间(，)内单调递增（或减）的充分不必要条件.注意：只有当在某区间上有有限个点使时，（或）在该区间内是单调递增（或减）.例如：而在R上递增.当在某区间内恒有，这个函数在这个区间上才为常数函数.要点二：利用导数研究函数的单调性利用导数判断函数单调性的基本方法：设函数在区间（，）内可导，（1）如果恒有，则函数在（，）内为增函数；（2）如果恒有，则函数在（，）内为减函数；（3）如果恒有，则函数在（，）内为常数函数.利用导数求函数单调区间的基本步骤（1）确定函数的定义域；（2）求导数；（3）在函数的定义域内解不等式或；（4）确定的单
4、调区间.或者：令，求出它在定义域内的一切实数根。把这些实数根和函数的间断点（即的无定义点）的横坐标按从小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义区间分成若干个小区间，判断在各个小区间内的符号.要点诠释： 求函数单调区间时，要注意单调区间一定是函数定义域的子集；求单调区间常常通过列表的方法进行求解，使解题思路步骤更加清晰、明确.【典型例题】类型一：利用导数判断不含参函数的单调性例1. 求函数的单调区间.【思路点拨】按照求单调区间的步骤一步步进行.【解析】第一步：确定函数的定义域： 的定义域是（0，+）；第二步：求导：；第三步：方法一：解不等式，确定单调增区间：令，即， 同解于不等式 解得，所
5、以当时，是增函数.方法二：列表：令，解得或解得（舍去）.则定义域（0，+）被1分成两个子区间，在各个区间内，、的变化情况如下：（0，1）1（1，+）-0+第四步：确定函数的单调区间：的单调递增区间为，单调递减区间为.【总结升华】（1）方程可通过化为其指数形式（e是自然对数“ln”的底数，其值为2.71828）来计算.（2）在方法一求函数的减区间的过程中，无需通过解不等式求解，因为我们已经获得了函数的单调增区间，而在定义域内将增区间排除自然是减区间. 只需在最后加以说明即可.（3）在方法二的表格判断正负的过程中，采用合适的方法将减少失误，常用方法有三个：不等式法：根据给定的各个的区间，判断中各项
6、因式的符号，从而确定的符号；特殊值法：由于函数的零点已经确定，故在各个区间的符号是一致的，只需要取区间内一合适的值严重的正负即可；图象法：画出导函数的图象，轴上方的图象为正，下方图象为负.（4）注意写单调区间时，不是连续的区间一般不能用并集符号“U”，并且在定义域内的区间端点可“开”可“闭”.比如，在本题中，增区间（1，+)也可写为1，+).举一反三：【变式1】确定下来函数各的单调区间：（1）【高清课堂：函数的单调性370874 例1】；（2）.【解析】（1）的定义域为R.，令，得0或2，因此，函数的单调增区间为（，0）和（2，+），而单调递减区间为（0，2）.（2）的定义域为R .。令，得1
7、或1，函数的单调增区间为（，1）和（1，+），其单调递减区间为（1，1）。【变式2】求下列函数的单调区间：（1）；（2）.【解析】（1）的定义域为.，令，解得.将定义域分成两个子区间，在各个区间内，、的变化情况如下：（0，）（，+）-0+的单调增区间为（，+），其单调递减区间为（0，）。（2）该函数的定义域为R.，令，解得=0或=-2.则、的变化情况如下表所示：（-，-2）-2（-2，0）0（0，+）+0-0+略略所以，的单调增区间是（-，-2）和（0，+），单调减区间是（-2，0）.例2当时，求证：函数是单调递减函数.【思路点拨】要证明函数在某区间上是减（或增）函数，只需要证明在该区间上恒成
8、立.【解析】 ，故函数在上是单调递减函数.【总结升华】 判断、证明函数的单调性的步骤：1、求导；2、变形（分解或配方）；3、判断导数式的符号，下结论。举一反三：【变式1】 求证：在上是增函数。【答案】 因为 ，所以 ，即，所以函数在上是增函数。【变式2】是的导函数，的图象如图所示，则的图象可能是( ) 【答案】 D 【解析】 由题图知在区间，上先增大后减小，即曲线上每一点处切线的斜率先增大再减小，故选D类型二：利用导数判断含参函数的单调性例3. 求函数 （R）的单调区间。【思路点拨】求出导数后，因为含有的参数，明确分类标准，故需要对参数分0和0两类进行讨论.【解析】 当0时，y0，函数在（，+
9、）上为增函数。 当0时，令32+=0得，y0的解集为。y0的解集为。函数的单调增区间是和，减区间是。综上可知：当0时，函数在（，+）上单调递增。当0时，函数在和上单调递增，在上单调递减。【总结升华】（1）解决此类题目，关键是解不等式或，若中含有参数，往往要分类讨论。（2）特别应注意，在求解过程中应先写出函数的定义域，再在定义域的范围内写出单调区间，即定义域优先考虑的原则。举一反三：【变式1】 已知函数，求函数的单调区间.【答案】 ，当0时，对R，有，当0时，单调增区间为（，+）。当0时，由，解得或；由，解得，当0时，的单调增区间为，；的单调减区间为【变式2】已知函数f()e1，求f()的单调增
10、区间.【答案】f()e，若0，则f()e0，若0，e0，e，ln .当0时，即f()递增区间是R；当0时，f()的递增区间是ln ，)例4已知函数, 讨论函数的单调性.【思路点拨】求出导数后，解出导数为零的根，讨论两根的大小是分类的根据。【解析】由题设知令（i）当0时，若，则，所以在区间上是增函数；若，则，所以在区间上是减函数；若，则，所以在区间上是增函数；（ii）当0时，若，则，所以在区间上是减函数；若，则，所以在区间上是增函数；若，则，所以在区间上是减函数【总结升华】 （1）在判断函数的单调性时，只需判断函数的导数恒大于0或恒小于0。（2）在判断含参数函数的单调性时，不仅要考虑到参数的取值
11、范围，而且要结合函数的定义域来确定的符号，否则会产生错误判断。分类讨论必须给予足够的重视，真正发挥数学解题思想在联系知识与能力中的作用，从而提高简化计算的能力。（3）分类讨论是重要的数学解题方法。它把数学问题划分成若干个局部问题，在每一个局部问题中，原先的“不确定因素”不再影响问题的解决，当这些局部问题都解决完时，整个问题也就解决了。举一反三：【变式】 已知函数f()=+(1)，()， 讨论函数的单调性.【答案】的定义域为， （1）若即, 则故在单调递增；（2）若,而,故,则当时，；当及时，故在单调递减，在单调递增.（3）若，即，同理可得在单调递减，在单调递增.类型三：利用导数求参数的取值范围
12、（已知单调性）例5已知函数在区间上是增函数，求实数的取值范围【思路点拨】本题可化为二次不等式恒成立问题，可结合二次函数图象解决。【解析】，在区间上是增函数，对恒成立，即对恒成立，的图象是开口向上的抛物线，欲满足题意，则，解之得：所以实数的取值范围为【总结升华】（1）在某区间上为增函数在该区间；在某区间上为减函数在该区间；（2）恒成立，则；恒成立，则，这是求变量的范围的常用方法.举一反三：【变式1】 已知函数，若在上是增函数，求的取值范围.【答案】 由已知得，在（0，1上单调递增，即在（0，1上恒成立,令，又在（0，1上单调递增，1.当=1时 ，对（0，1）也有，=1时，在（0，1上也是增函数。综上，在（0，1上为增函数，的取值范围是1，+）. 【变式2】已知向量=（，+1），=（1，），若函数在区间（1，1）上是增函数，求的取值范围。【答案】 解法一：依定义，则.若在（1，1）上是增函数，则在区间（1，1）上有.在区间（1，1）上恒成立.考虑函数，由于在图象的对称轴为，且在开口向上的抛物线，故要使22在区间（1，1）上恒成立，即5.解法二：依定义，.若在（1，1）上是增函数，则在区间（1，1）上有.的图象是开口向下的抛物线，当且仅当，且时，在（1，1）上满足，即在（1，1）上是增函数.故的取值范围是5.