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1、 导数的实际应用编稿：李 霞 审稿： 张林娟【学习目标】 利用导数知识解决实际生活中的最优化问题.【要点梳理】要点一：最优化问题 现实生产生活中，人们经常遇到经营利润最大、生产效率最高、用力最省、用料最少、消耗原材料或能源最省、面积或体积最大、用时最短等问题，需要寻求相应的最佳方案或最佳策略，这些问题通常称为最优化问题要点二：利用导数解决最优化问题的一般步骤 解决最优化问题的方法很多，如：判别式法，平均不等式法，线性规划方法及利用二次函数的性质等 不少最优化问题可以化为求函数最值问题，导数方法是解这类问题的有效工具此时，要把问题中所涉及的几个变量转化为函数关系式，这需要通过分析、联想、抽象和转
2、化，函数的最值由极值和区间端点的函数值比较确定，当定义域是开区间且函数只有一个极值时，这个极值也就是它的最值 一般步骤为： (1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系； (2)求函数的导数，解方程；(3)比较函数在区间端点和使的点的数值的大小，最大(小)者为最大(小)值要点诠释：利用导数解决实际问题中的最值问题应注意：在求实际问题中的最大(小)值时，一定要注意考虑实际问题的意义，不符合实际问题的值应舍去在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使的情形，那么不与端点值比较，也可知道这就是最大(小)值要点三：利用导数解决最优化问题的基本思路要
3、点四：最优化问题的常见类型 (1)利润最大问题； (2)用料最省、费用最低问题； (3)面积、体积最大或最小问题【典型例题】类型一：用料最省、费用最低问题例1. 某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为x、y（单位：m）的矩形，上部是等腰直角三角形，要求框架围成的总面积为8 m2，问x、y分别为多少时用料最省？(精确到0.001 m)【思路点拨】本题的关键是建立关于变量x（或y）的函数. 【解析】依题意，有， ，于是框架用料总长度为，令，即，解得，(舍去)当0x8时，；当时， 当x时，L取得最小值，此时，y2.828 m 即当x为2.343 m，y为2.828 m时，用料最省 【
4、总结升华】本问题中，由，得到，由于x表示边框的长度，故x0，所以舍去解决实际问题时，切不可忽视变量的实际意义举一反三：【变式】有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂位于离岸40 km的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50 km，两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和到乙厂的水管费分别为每千米3a元和5a元，问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省?【答案】依题意设CDx，则AC50-x(0x50)用， 水管费 ，令，得， x30当0x30时，；当30x50时， x30时，y取得最小值，此时，CD30 km，故AC50-3020(km)，因此供水站建在A、D之间距甲厂20
5、 km处时，可使水管费用最省类型二：利润最大问题例2某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元辆，出厂价为13万元辆，年销售量为5000辆本年度为适应市场的需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为x(0x1)，则出厂价相应提高的比例为0.7x，年销售量也相应增加已知年利润(每辆车的出厂价一每辆车的投入成本)年销售量 (1)若年销售量增加的比例为0.4x，为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？(2)若年销售量关于x的函数为，则当x为何值时，本年度的年利润最大?最大利润是多少？【思路分析】（1）由题设分别求出本年度每辆车
6、的投入成本、每辆车的出厂价及年销售量，列出年利润的表达式；（2）由（1）知，每一辆汽车的利润是(3-0.9x)，结合年销售量，从而计算出本年度的年利润，建立关于变量x的函数.【解析】 (1)由题意得：上年度的利润为(13-10)500015000(万元)；本年度每辆车的投入成本为10(1+x)；本年度每辆车的出厂价为13(1+0.7x)；本年度年销售量为5000(1+0.4x)，因此本年度的利润为y13(1+0.7x)-10(1+x)5000(1+0.4x)(3-0.9x)5000(1+0.4x) -1800x2+1500x+15000(0x1) 由-1800x2+1500x+15000150
7、00，解得0x 所以当0x时，本年度的年利润比上年度有所增加(2)本年度的年利润为 ， 则，由，解得或(舍去)，当时，是增函数；当时，是减函数所以当时，取极大值(万元)，因为在(0，1)上只有一个极大值，所以20000是最大值，所以当时，本年度的年利润最大，最大利润为20000万元【总结升华】实际问题中的最值问题，首先要根据题意，列出相应的函数关系式，再利用均值不等式法或者求导法得出问题的最值一般说来，应用求导法确定函数的单调性，再根据单调性求最值的方法更具有普遍性举一反三：【变式】已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C100+4q(0q100)，价格p与产量q的函数关系式为求产量q为何
8、值时，利润L最大? 【答案】收入Rqp，利润，令，即，求得唯一的极值点q84故产量q为84时，利润三最大类型三：面积、体积最大或最小问题例3做一个无盖的圆柱形桶，要求其体积为定值V，而用材料要最省，问圆柱的底面半径及高各应为多少？【解析】设圆柱的底面半径为R，高为h，则，设圆柱的表面积为S，则, 令，得，从而 因为函数在(0，+)内有唯一的极值点，所以它就是最小值点 故当圆柱的底面半径和高均为时，用材料最省 【总结升华】解决实际生活中的最值问题，关键是选好自变量，建立目标函数，如果函数在定义域开区间上只有一个极值点，那么根据实际意义，该极值点也就是取得最值的点；如果在一个闭区间内讨论，则将此极值与区间端点处的函数值加以比较得出最值举一反三：【变式】要做一个底面为长方形的带盖的长方体箱子，其体积为72 cm3，其底面两邻边的比为1:2，问它的长、宽、高各为多少才能使表面积最小?【答案】设底面较短的边长为x cm，则相邻一边长为2x cm，又设箱子高为h，则，设表面积为S，则，令，解得S在(0，+)内的唯一可能的极值点x3当x3时，S0当x3时，S0 在x3时，函数取极小值，即最小值，也就是当底面边长分别为3 cm，6 cm，高为4 cm时，长方体箱子的表面积最小