《高二数学教案-知识讲解_导数的综合应用题（提高）（理）.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高二数学教案-知识讲解_导数的综合应用题（提高）（理）.doc（13页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、导数的综合应用题编稿：赵 雷 审稿：李 霞【学习目标】 1. 会利用导数解决曲线的切线的问题。2. 会利用导数解决函数的单调性等有关问题。3. 会利用导数解决函数的极值、最值等有关问题。4. 能通过运用导数这一工具解决生活中的一些优化问题：例如利润最大、用料最省、效率最高等问题【要点梳理】 要点一、有关切线问题直线与曲线相切，我们要抓住三点：切点在切线上切点在曲线上切线斜率等于曲线在切点处的导数值。要点诠释：通过以上三点可以看出，抓住切点是解决此类题的关键，有切点直接求，无切点则设切点，布列方程组。要点二、有关函数单调性的问题设函数在区间（a，b）内可导，（1）如果恒有，则函数在（a，b）内为
2、增函数；（2）如果恒有，则函数在（a，b）内为减函数；（3）如果恒有，则函数在（a，b）内为常数函数。要点诠释：（1）若函数在区间（a，b）内单调递增，则，若函数在（a，b）内单调递减，则。（2）或恒成立，求参数值的范围的方法： 分离参数法：或。 若不能隔离参数，就是求含参函数 的最小值 ，使。（或是求含参函数 的最大值 ，使）要点三、函数极值、最值的问题1.函数极值的问题确定函数的定义域；求导数；求方程的根；检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，则f(x)在这个根处取得极小值.(最好通过列表法)要点诠释：（1）先求出定义域（2）一般都要列表：
3、然后看在每个根附近导数符号的变化：若由正变负，则该点为极大值点； 若由负变正，则该点为极小值点。注意：无定义的点不用在表中列出（3）依表给结论：注意一定指出在哪取得极值。2.函数最值的问题若函数在闭区间有定义，在开区间内有导数，则求函数在上的最大值和最小值的步骤如下：（1）求函数在内的导数；（2）求方程在内的根；（3）求在内使的所有点的函数值和在闭区间端点处的函数值，；（4）比较上面所求的值，其中最大者为函数在闭区间上的最大值，最小者为函数在闭区间上的最小值.要点诠释：求函数的最值时，不需要对导数为0的点讨论其是极大还是极小值，只需将导数为0的点和端点的函数值进行比较即可。若在开区间内可导，且
4、有唯一的极大（小）值，则这一极大（小）值即为最大（小）值.要点四、优化问题在实际生活中用料最省、利润最大、效率最高等问题，常常可以归结为函数的最大值问题，从而可用导数来解决。我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具，导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题。利用导数解决实际问题中的最值的一般步骤：(1) 分析实际问题中各量之间的关系，找出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式yf(x)；(2) 求函数的导数f (x)，解方程f (x)0；(3) 比较函数在区间端点和极值点的函数值大小，最大(小)者为最大(小)值要点诠释1解决优化问题的方法：首先是需要
5、分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系。再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具利用导数解决优化问题的基本思路：解决数学模型作答用函数表示的数学问题优化问题用导数解决数学问题优化问题的答案2. 得出变量之间的关系后，必须由实际意义确定自变量的取值范围；3. 在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使f (x)0的情形，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道这就是最大(小)值4. 在求实际问题的最大(小)值时，一定要注意考
6、虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去【典型例题】类型一： 利用导数解决有关切线问题例1若直线与曲线相切，试求的值【思路点拨】当切点未知时，应先设出切点。【解析】设与相切于则，又 ，由得：（），即，.【总结升华】当切点未知时，要先设切点，然后根据直线与曲线相切的三个关系列方程组，从而求得参数值。举一反三：【变式】 已知曲线在处的切线恰好与抛物线相切，求抛物线方程和抛物线上的切点坐标【答案】曲线上的切点为A(1,2).,切线方程为，即.设抛物线上的切点为,显然抛物线上的切点在抛物线的上半支，抛物线上半支的方程为,则, ,得 (1)又点在切线上， （2）由(1)(2)求得，. 故抛物线方程为,
7、切点为(2,8).类型二： 利用导数解决有关函数单调性的问题【高清课堂：导数的应用综合 370878 例题3】例2.已知函数()=In(1+)-+ (0)。()当=2时，求曲线=()在点(1，(1)处的切线方程；()求()的单调区间。【思路点拨】()求出导数后，主要根据的正负进行分类讨论。【解析】（I）当时， 由于， 所以曲线在点处的切线方程为 即 （II），. 当时，. 所以，在区间上，；在区间上，. 故得单调递增区间是，单调递减区间是. 当时，由，得， 所以，在区间和上，；在区间上， 故得单调递增区间是和，单调递减区间是. 当时， 故得单调递增区间是.当时，得，.所以没在区间和上，；在区间
8、上，故得单调递增区间是和，单调递减区间是【总结升华】（1）解决此类题目，关键是解不等式或，若中含有参数，须分类讨论。（2）特别应注意，在求解过程中应先写出函数的定义域。举一反三：【高清课堂：导数的应用综合 370878 例题1】【变式1】函数的图象大致是（ ）【答案】C首先易判断函数为奇函数，排除A，求导后解导数大于零可得周期性区间，从而排除B、D,故选C.【变式2】(2014 江西)已知函数f(x)(x2bxb) (bR)(1)当b4时，求f(x)的极值；(2)若f(x)在区间(0，)上单调递增，求b的取值范围【答案】 (1)当b4时，f(x)(x24x+4)，则由f(x)0，得x2或x0当
9、x2时，f(x)0，f(x)在(，2)上为减函数当2x0时，f(x)0，f(x)在(2，0)上为增函数当0x时，f(x)0，f(x)在(0，)上为减函数当x2时，f(x)取极小值为0当x0时，f(x)取极大值为4；(2)由f(x)(x2bx+b)，得：由f(x)在区间(0，)上单调递增，得f(x)0对任意x(0，)恒成立即5x23bx+2x0对任意x(0，)恒成立对任意x(0，)恒成立b的取值范围是类型三：利用导数解决函数极值、最值的问题例3. 设为自然对数的底，a为常数且），取极小值时，求x的值.【思路点拨】求导后可采用求根法求出极值点，再结合函数图象讨论增减性以确定极值。【解析】 令（1）
10、，由表x（，2）2f(x)+00+f（x）极大值极小值取极小值.（2）无极值.（3）时，由表x（，）2f(x)+00+f（x）极大值极小值 ，。【总结升华】1. 导数式含参数时，如何讨论参数范围而确定到数值的正负是解决这类题的难点，一般采用求根法和图像法。2. 列表能比较清楚的看清极值点。3. 写结论时极值点和极大（小）值都要交代清楚。举一反三：【高清课堂：导数的应用综合 370878 例题2】【变式1】设函数则（ ）A在区间内均有零点。 B在区间内均无零点。C在区间内有零点，在区间内无零点。D在区间内无零点，在区间内有零点。 【答案】D由题得，令得；令得；得，故知函数在区间上为减函数，在区间
11、为增函数，在点处有极小值；又，故选择D。【变式2】(2015 安徽文)已知函数(1)求f(x)的定义域，并讨论f(x)的单调性；(2)若，求f(x)在(0，+)内的极值。【答案】()由题意可知x+r0即x-r，即可求出f(x)的定义域； f(x)的定义域为(-，-r)(-r，+)又又a0，r0令 令()由()可知 f(x)在(0，+)内的极大值为F(x)在(0，+)内无极小值；所以f(x)在(0，+)内极大值为100，无极小值.【变式3】设函数，其中证明：当时，函数没有极值点；当时，函数有且只有一个极值点，并求出极值【答案】证明：因为，所以的定义域为当时，如果在上单调递增；如果在上单调递减所以
12、当，函数没有极值点当时，令，得将（舍去），当时，随的变化情况如下表：0极小值从上表可看出，函数有且只有一个极小值点，极小值为当时，随的变化情况如下表：0极大值从上表可看出，函数有且只有一个极大值点，极大值为综上所述，当时，函数没有极值点；当时，若时，函数有且只有一个极小值点，极小值为若时，函数有且只有一个极大值点，极大值为例4. 求函数在上的最大值（其中）。【思路点拨】为了简化运算，可考虑换元：令。【解析】令，则求在（0，1上的最大值 当时，显然在（0，1上为增函数，所以当时，令 得：，易知时，为增函数时，为减函数。 于是若（此时），则在（0，1上为增函数，此时。 若（此时）， 则在上为增函数
13、，在上为减函数。 所以由以上讨论知当时， ； 当时， 。 【总结升华】求含参函数在某区间上的最值问题，首先要通过对参数分类讨论，确定出函数的单调区间，其次要善于对极值和端点值进行比较，此时往往需要继续分类讨论。举一反三：【高清课堂：导数的应用综合 370878 例题4】【变式】设a0，f (x)=x1ln2 x2a ln x（x0）.（）令F（x）xf（x），讨论F（x）在（0.）内的单调性并求极值；（）求证：当x1时，恒有xln2x2a ln x1.【答案】（）根据求导法则有，故，于是，列表如下：20极小值故知在内是减函数，在内是增函数，所以，在处取得极小值（）证明：由知，的极小值于是由上表
14、知，对一切，恒有从而当时，恒有，故在内单调增加所以当时，即故当时，恒有类型四： 利用导数解决优化问题例5.杲分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元（3a5）的管理费，预计当每件产品的售价为x元（9x11）时，一年的销售量为(12x)2万件 （1）求分公司一年的利润L（万元）与每件产品的售价x（元）的函数关系式； （2）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大，并求出L的最大值Q（a）【解析】 （1）分公司一年的利润L（万元）与售价x（元）的函数关系式为： L=(x3a)(12x)2，x9，11 （2）L=(12x)22(x30)(12x)=(12x
15、)(18+2a3x) 令L=0得或x=12（不合题意，舍去） 3a5， 在两侧L的值由正变负 当，即时， Lmax=(930)(129)2=9(6a) 当，即时， 综上，若，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润L最大，最大值Q（a）=9(6a)（万元）；若a5，则当每件售价为（）元时，分分司一年的利润L最大，最大值Q（a）=4（万元） 【总结升华】 在第（2）问中，务必注意实际意义对定义域的影响；在第（2）问中，因的大小不确定，故的符号不确定，故必须对a进行分类讨论举一反三： 【变式】 某集团为了获得更大的收益，每年要投入一不定期的资金用于广告促销，经调查，每年投入广告费t（百万元），可增加
16、销售额约为-t2+5t（百万元）(0t5)(1)若公司将当年的广告费控制在三百万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司由此获得的收益最大？(2)现该公司准备共投入300万元，分别用于广告促销和技术改造，经预测，每投入技术改造费x（百万元），可增加的销售额约为（百万元），请设计一个资金分配方案，使该公司由此获得的收益最大？（注：收益=销售额投入）。【答案】：（1）设投入t（百万元）的广告费后增加的收益为 f(t)（百万元）则有。当t=2百万元时，f(t)取得最大值4百万元，即投入2百万元的广告费时，该公司由此获得的收益最大。（）设用于技术改造的资金x（百万元），则用于广告促销的资金为（）（百万元），又设由此获得的收益是g(x).则有令,解得x=-2（舍去）, 或x=2。时，故g(x)在上是增函数，在上是减函数。所以为x=2时，g(x)取最大值，即将百万元用于技术改造，百万元用于广告促销该公司由此获得的收益最大。