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1、直线与圆锥曲线编稿：张林娟 审稿：孙永钊【学习目标】1. 知识与技能： 通过实例了解椭圆、抛物线、双曲线的共同特征；掌握直线与圆锥曲线的位置关系的判定方法，能够把研究直线与圆锥曲线的位置关系的问题转化为研究方程组的解的问题.2. 过程与方法：通过对圆锥曲线共同特征及点、直线与圆锥曲线的位置关系的研究，培养学生综合运用直线、圆锥曲线的各方面知识的能力3. 情感态度与价值观：通过对圆锥曲线共同特征及点、直线与圆锥曲线的位置关系的研究，培养学生解决问题和分析问题的能力【要点梳理】要点一：圆锥曲线的共同特征椭圆、抛物线、双曲线都是由不同的平面截一个圆锥面得到的，统称为圆锥曲线，从方程的形式看，三种曲线
2、方程都是二次的，它们具有某些共同特征.圆锥曲线的共同特征：圆锥曲线上的点到一个定点与它到一条定直线的距离之比为定值. 当时，圆锥曲线是椭圆；当时，圆锥曲线是双曲线；当时，圆锥曲线是抛物线. 是圆锥曲线的离心率，定点是圆锥曲线的焦点，定直线是圆锥曲线的准线. 可以把它看作圆锥曲线的第二定义.要点诠释：（1）注意点不在直线上，即点在直线外.（2）椭圆、双曲线的准线方程分别如下表所示：证明过程：（以焦点在轴的椭圆和双曲线为例）已知点到定点的距离与它到定直线的距离之比为常数，求点的轨迹.解法步骤如下：（1）设点：设动点.（2）列式：由题意可知 ，即（3）化简：由上式可得 当即时，令，方程可化为，等式两
3、边同除以，可得，即焦点在轴上的椭圆.当即时，令，方程可化为，等式两边同除以，可得，即焦点在轴上的双曲线.同理可证，焦点在轴上的椭圆和双曲线和符合这一特征.要点二： 直线与圆锥曲线的位置关系位置关系直线与圆锥曲线都有相交、相切和相离三种情况，从几何角度可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及有两个相异公共点 判定方法设直线的方程，圆锥曲线C：，由，消去y(或x)，得到关于x(或y)的方程（） （*）此时，方程组的解的个数与方程（*）的解的个数是一致的当a0时，方程（*）是一个一元二次方程，此时方程的解的个数(即为直线与圆锥曲线交点的个数)可由判别式来判断，如下： 0直线与圆锥曲线相交； 0直线与圆
4、锥曲线相切；0直线与圆锥曲线相离要点诠释： 当直线平行于抛物线的对称轴时，直线与抛物线只有一个公共点；当直线平行于双曲线的渐近线时，直线与双曲线相交且只有一个公共点，所以直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要条件，而不是充分条件要点三：直线与圆锥曲线的弦长和中点弦 直线与圆锥曲线的弦长若直线截圆锥曲线于弦AB，则弦长|AB|的求法主要有以下几种：交点法：将直线的方程与抛物线的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求 根与系数的关系法：如果直线的斜率为k，被圆锥曲线截得弦AB两端点坐标分别为(，)、(，)，则弦长公式为： 或要点诠释： 在抛物线中，当弦过
5、焦点时(即焦点弦)，那么弦长公式可以利用定义进行转化，因此抛物线的焦点弦长有以下两种更简单的计算方法若直线AB过抛物线的焦点，且点A、B在抛物线上，则有(i)；(ii)(是直线AB的倾斜角) 若直线AB过抛物线(p0)的焦点，且点A、B在抛物线上，则有(i)；(ii)( 是直线AB的倾斜角)直线与圆锥曲线的中点弦中点弦对于给定点P和给定的圆锥曲线C，若C上的某条弦AB过P点且被P点平分，则称该弦AB为圆锥曲线C上过P点的中点弦。其中圆锥曲线弦为连接圆锥曲线C上不同两点A、B的线段AB称为圆锥曲线C的弦与中点弦有关的问题，求解的方法有两种：一般方法：利用根与系数的关系及中点坐标公式来求解；点差法
6、：利用端点在曲线上，坐标满足方程，将端点坐标分别代入曲线方程，然后作差构造出中点坐标和斜率的关系 下面以椭圆为例说明点差法的具体步骤将A，B两点的坐标分别代入椭圆方程，即， ， ，得，所以，为弦AB的中点坐标，从而转化为中点坐标，从而转化为中点与AB的斜率之间的关系，这就是处理弦中点轨迹问题的常用方法要点诠释：涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来相互转化，同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍.解题的主要规律可以概括为“联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”.要点四：圆锥曲线的应用定
7、点问题解析几何中证明直线过定点，一般是先选择一个参数建立直线系方程，然后再根据直线系方程过定点时与参数没有关系得到一个关于x，y的方程组，以这个方程组的解为坐标的点就是直线所过的定点，当定点具备一定的限制条件时，可特殊解决。定值问题在几何问题中，有些几何量与参数无关，这就构成了定值问题。解决定值问题的基本思路是：定值问题必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变化的量表示问题中的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的一个值。化解这类问题的关键在于引进参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量。最值（范
8、围）问题最值的求法有两种：（1）几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何体特征及意义，则考虑利用图形性质来解决。（2）代数法：函数值域求解法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值，求函数最值的常用方法有配方法、判别式法、重要不等式法、还原法及函数的单调性等.不等式（组）求解法：依据题意，结合图形，列出所讨论的参数适合的不等式（组），通过解不等式（组）得出参数的变化范围.【典型例题】类型一：圆锥曲线的共同特征【高清课堂：直线与抛物线的位置关系371713例1】例1已知动点P满足，则动点P的轨迹是( )A. 椭圆 B. 双曲线 C. 抛物线 D. 直线
9、【思路点拨】将方程翻译成几何语言，由圆锥曲线的共同特征确定点P的轨迹是椭圆.【答案】B【解析】可变形为.表示点P到点（1，5）的距离，表示点P到直线的距离，于是表示动点P到定点（1，5）和到定直线的距离之比为，而点（1，5）不满足直线方程，即不在该直线上，所以，P的轨迹是双曲线. 故选B.【总结升华】“对方程进行合理变形，明确分子与分母的几何意义”是解决此类问题的关系.【变式1】平面内到定点（0，-3）和定直线的距离相等的动点轨迹为( )A. 椭圆 B. 双曲线 C. 抛物线 D. 直线【答案】C【变式2】方程表示的曲线是（ ）A. 椭圆 B. 双曲线 C. 抛物线 D. 直线【答案】A 等价
10、于，它表示动点到定点（1，1）和到定直线的距离之比是，轨迹是椭圆.【变式3】方程表示的曲线是（ ）A. 椭圆 B. 双曲线 C. 抛物线 D. 直线【答案】D 点（2，2）在直线上，不符合圆锥曲线的共同特征.例2. 椭圆上一点P到左焦点F（-3，0）的距离等于3，求它到直线的距离d.【思路点拨】利用椭圆的离心率将点P到焦点F的距离转化为点P到准线的距离.【答案】5【解析】椭圆中，所以. 离心率，左准线，所以，即.【总结升华】如果题目涉及到圆锥曲线上某个不确定的点到焦点的距离及和某条水平（或竖直）直线的距离，一般应用圆锥曲线的共同特征（）来解决.在解决问题的过程中，注意给定的直线与准线是否为同一
11、条.【变式1】椭圆上一点P到直线的距离等于5，求它到焦点F(3,0)的距离.【答案】3【变式2】双曲线上一点P到焦点F（10，0）的距离等于5，求它到直线的距离.【答案】4类型二： 直线与圆锥曲线的位置关系例3已知双曲线x2y2=4，直线l：y=k(x1)，讨论直线与双曲线公共点个数.【思路点拨】直线与双曲线交点问题，转化为讨论直线方程与曲线方程联立的方程组解的问题.【解析】联立方程组消去y，并依x项整理得：(1k2)x2+2k2xk24=0 (1)当1k2=0即k=1时，方程可化为2x=5，x=，方程组只有一组解，故直线与双曲线只有一个公共点(实质上是直线与渐近线平行时的两种情况，相交但不相
12、切).(2)当1k20时，即k1，此时有=4(43k2)若43k20(k21)，则k，方程组有两解，故直线与双曲线有两交点.(3)若43k2=0(k21)，则k=，方程组有解，故直线与双曲线有一个公共点(相切的情况).(4)若43k20且k21则k，方程组无解，故直线与双曲线无交点.综上所述，当k=1或k=时，直线与双曲线有一个公共点；当k时，直线与双曲线有两个公共点；当k时，直线与双曲线无公共点.【总结升华】本题通过方程组解的个数来判断直线与双曲线交点的个数，具体操作时，运用了重要的数学方法分类讨论，而且是“双向讨论”，既要讨论首项系数1k2是否为0，又要讨论的三种情况，为理清讨论的思路，可
13、画“树枝图”如图：举一反三：【变式1】过原点的直线l与双曲线=1交于两点，则直线l的斜率取值范围是（ ）A. B.C. D.【答案】B【变式2】过定点P(0,2)作直线l，使l与抛物线y24x有且只有一个公共点，这样的直线l共有_条【答案】3如图，过点P与抛物线y24x仅有一个公共点的直线有三条：二条切线、一条与x轴平行的直线【变式3】过点与双曲线有且只有一个公共点的直线有几条，分别求出它们的方程。【答案】若直线的斜率不存在时，则，此时仅有一个交点，满足条件；若直线的斜率存在时，设直线的方程为则， ，当时，方程无解，不满足条件；当时，方程有一解，满足条件；当时，令，化简得：无解，所以不满足条件
14、；所以满足条件的直线有两条和.类型三：弦与中点弦问题例4. 已知抛物线，求以点P(4，1)为中点的抛物线弦AB所在直线的方程【思路点拨】涉及到直线被抛物线截得弦的中点问题，可采用点差法或中点坐标公式，运算会更为简便. 【解析】解法一：由条件可知直线AB的斜率存在，且不为0，设:m(y-1)x-4，即xmy+4-m 代入抛物线的方程得 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 又， 4rn2，且满足0 弦AB所在直线的方程为 解法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1x2，则 ，即又， ，k2， 弦AB所在直线的方程为y-12(x-4)，即2x-y-70【总结升华】（1）解法一是用常规
15、方法求解的，解法二是用点差法求解的，与中点有关的问题，采用点差法求解比较好；（2）注意上例中有关中点弦问题的两种处理方法.举一反三：【高清课堂：直线与抛物线的位置关系371713例2】【变式1】斜率为1的直线l经过抛物线y2=4x的焦点，与抛物线相交于点A、B，求线段AB的长【答案】8.y2=4x的焦点为F (1，0)，则l的方程为y=x1由消去y得x26x+1=0设A (x1，y1)，B (x2，y2) 则x1+x2=6又A、B两点到准线的距离为，则.【变式2】求过定点的直线被双曲线截得的弦中点轨迹方程.【答案】或方法一：若该直线的斜率不存在，则它与双曲线无交点，不和题意.设直线的方程为，它
16、被双曲线截得的弦为对应的中点为， 由得（*）设方程（*）的解为，则 ，且，得或.方法二：设弦的两个端点坐标为，弦中点为，则得：， 即， 即（图象的一部分）类型四：垂直问题例5. 过点T(-1,0)作直线与曲线C ：交于A、B两点，在x轴上是否存在一点E(,0)，使得是等边三角形，若存在，求出；若不存在，请说明理由。【思路点拨】过点T(-1,0)的直线和曲线C：相交A、B两点，则直线的斜率存在且不等于0，可以设直线的方程，联立方程组，消元，分析类一元二次方程，看判别式，运用韦达定理，得弦的中点坐标，再由垂直和中点，写出垂直平分线的方程，得出E点坐标，最后由正三角形的性质：中线长是边长的倍。运用弦
17、长公式求弦长。【解析】依题意知，直线的斜率存在，且不等于0。设直线，。由消y整理，得 由直线和抛物线交于两点，得 ，即 由韦达定理，得：，则线段AB的中点为，线段的垂直平分线方程为：，令y=0,得，则.为正三角形，到直线AB的距离d为。，解得满足式此时。【总结升华】直线过定点设直线的斜率k，利用韦达定理法，将弦的中点用k表示出来，再利用垂直关系将弦的垂直平分线方程写出来，求出了横截距的坐标；再利用正三角形的性质：高是边长的倍，将k确定，进而求出的坐标。【变式1】中心在原点O，焦点在坐标轴上的椭圆与直线xy1交于A、B两点，M为AB的中点，直线OM的斜率为，且OAOB，求椭圆的方程【答案】设A(
18、x1，y1)，B(x2，y2), 由(ab)x22bxb10.，.，.OAOB，x1x2y1y20.，y1y2(1x1)(1x2)1(x1x2)x1x2.，ab2.由得，所求方程为.【高清课堂：双曲线的性质371712 例2】【变式2】双曲线的右焦点到直线x-y-1=0的距离为,且.(1)求此双曲线的方程；(2)设直线y=kx+m(m0)与双曲线交于不同两点C、D，若点A坐标为(0，-b)，且|AC|=|AD|，求实数k取值范围。【答案】（1）（2）类型五：定值定点问题例6. 已知直线与椭圆C：相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点。求证：直线过定点，并求出
19、该定点的坐标。【思路点拨】已知条件：直线与椭圆C相交于A，B两点，并且椭圆的右顶点和A、B的连线互相垂直，要证明直线过定点，就是通过垂直建立k、m的一次函数关系。【解析】设，由得， 则 以AB为直径的圆过椭圆的右顶点且，即，将代入得：，整理得 ，解得 ，都满足式，当时，直线过定点与已知矛盾；当时，直线过定点.综上可知，直线过定点，定点坐标为【总结升华】求一条直线恒过定点或证明一条直线必过定点，通常有两种方法：（1）分离常数法：将原方程变换为：的形式，要使此式的成立与参数m无关，只要成立，则方程组的解就是直线恒过的定点.（2）从特殊到一般，先由其中的两条特殊直线求出交点，再证明其余直线均过此交点
20、.【变式1】A，B是抛物线y22px(p0)上的两点，且OAOB(O为坐标原点)，则直线AB一定经过的定点的坐标为_.【答案】 (2p，0)【解析】 分为两种情况. （1）当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为ykxb，联立抛物线方程有 得， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由韦达定理得 又， (y1y2)24p2(x1x2)，x1x2 OAOB，kOAkOB1， 即，y1y2x1x20， ，b2pk， 有ykx2pkk(x2p)，AB过定点(2p，0). （2）当直线AB的斜率不存在时，则A，B关于x轴对称，此时OA的方程为yx，和抛物线y22px联立得A(2p，2p)，B(2p
21、，2p)，所以AB也过点(2p，0). 综上，直线AB恒过点(2p，0)，故填(2p，0).【变式2】已知椭圆C：及点A（1，），E,F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值。【答案】【解析】因为，所以点A在椭圆C上.设直线AE方程为：，代入得：. 设,由韦达定理可得： ，即，所以 ，又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，在上式中以k代k，可得：，.所以直线EF的斜率，即直线EF的斜率为定值，其值为.类型六：最值和范围问题例7. 设是过椭圆：中心的任意弦，是线段的垂直平分线,是与椭圆的交点，求的面积的最小值【思路点拨】设出的方
22、程，联立直线与椭圆得到方程组后可求得点坐标，从而得到；将直线的方程：和椭圆方程联立后可求得点的坐标，从而求得。利用公式由均值不等式即可求出最小值.【答案】【解析】设，假设所在的直线斜率存在且不为零，设所在直线方程为，联立方程组 得， 由于直线，所以直线的斜率为,将式中的k用取代，可以得到点M的坐标，.所以，解法一： 由于，当且仅当时等号成立，即时等号成立，此时面积的最小值是当，当不存在时，综上所述，的面积的最小值为解法二： ，又，当且仅当时等号成立，即时等号成立，此时面积的最小值是当，当不存在时，综上所述，的面积的最小值为【总结升华】求函数的最值（范围）的一般思路是合理引入参数，正确建立目标函数，转化为求函数的有关问题（值域或不等式求解）解决.【变式1】已知，为椭圆的上、下两个焦点，AB是焦点的一条动弦，求的最大值.【答案】【解析】设AB方程为y=kx+1，联立则的面积为当且仅当，即时取等号.【变式2】已知直线与椭圆交于不同的两点、，且线段的垂直平分线过定点，求的取值范围。【答案】【解析】设，弦MN的中点A由得：，直线与椭圆交于不同的两点，即 由韦达定理得：，则，直线AG的斜率为：，由直线AG和直线MN垂直可得：，即，代入式，可得，即，则。