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1、圆锥曲线全章复习与巩固编稿：张林娟 审稿：孙永钊【学习目标】1掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程及其简单几何性质 2掌握圆锥曲线的共同特征，32数学探索版权所有掌握直线与圆锥曲线的位置关系及综合应用3掌握求曲线方程的基本方法，了解求曲线方程的其他方法4掌握坐标法在平面解析几何中的广泛应用，培养数形结合、化归的数学思想以及“应用数学”的意识；进一步体会运动变化和对立统一的观点【知识网络】【要点梳理】要点一：圆锥曲线的标准方程和几何性质1椭圆标准方程图形定义平面内与两个定点、的距离的和等于常数（大于）的点的轨迹性质焦点，焦距范围，对称性关于x轴、y轴和原点对称顶点，轴长轴长=，短轴长=离心率
2、要点注释：（1）在和两个方程中都有的条件，要分清焦点的位置，只要看和的分母的大小（2）当椭圆的离心率越接近1时，就越接近，从而就越小，对应的椭圆越扁；反之，越接近于0，就越接近于00，从而越接近于，这时椭圆越接近于圆当且仅当时，两焦点重合，图形变为圆，方程为2双曲线标准方程定义平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹（）图形性质范围，顶点焦点，焦距对称性关于x轴、y轴和原点对称轴实轴长=，虚轴长=离心率渐近线方程要点注释：注意椭圆的定义中是差的绝对值，当不含绝对值时，动点的轨迹为双曲线的一支；而当时，动点的轨迹是两条射线；当时，则不表示任何图形3抛物线标准方程y2=2px（p0）y2=
3、2px（p0）x2=2py（p0）x2=2py（p0）图形定义平面内与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F不在定直线l上)顶点O（0，0）范围x0， x0，y0，y0，对称轴x轴y轴焦点离心率e=1准线方程焦半径要点诠释：（1）通径：过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径；（2）抛物线的几何性质的特点：有一个顶点，一个焦点，一条准线，一条对称轴，无对称中心，没有渐近线；（3）注意强调的几何意义：是焦点到准线的距离4圆锥曲线的共同特征圆锥曲线上的点到一个定点与它到一条定直线的距离之比为定值 当时，圆锥曲线是椭圆；当时，圆锥曲线是双曲线；当时，圆锥曲线是抛物线 要点诠释：
4、比值就是是圆锥曲线的离心率，定点是圆锥曲线的焦点，定直线是圆锥曲线的准线 要点二：直线和圆锥曲线直线和圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线有三种位置关系：相交，相切，相离判断直线与圆锥曲线C的位置关系时，将直线的方程代入曲线C的方程，消去y（也可消去x）得一个关于变量x（或y）的一元二次方程ax2+bx+c=0当a0时，若0，则与C相交；若=0，则与C相切；若0，则有与C相离当a=0时，即得到一个一次方程，若方程有解，则直线与C相交，此时只有一个公共点若C为双曲线，则平行于双曲线的渐近线；若C为抛物线，则平行于抛物线的对称轴注意：当直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时，直线和双曲线、抛物线可能相切
5、，也可能相交直线被圆锥曲线截得弦长：若直线截圆锥曲线于弦AB，则弦长|AB|的求法主要有以下几种：交点法：将直线的方程与抛物线的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求 根与系数的关系法：如果直线的斜率为k，被圆锥曲线截得弦AB两端点坐标分别为(，)、(，)，则弦长公式为： 或要点诠释： 在抛物线中，当弦过焦点时(即焦点弦)，那么弦长公式可以利用定义进行转化，因此抛物线的焦点弦长有以下两种更简单的计算方法若直线AB过抛物线的焦点，且点A、B在抛物线上，则有(i)；(ii)(是直线AB的倾斜角)若直线AB过抛物线(p0)的焦点，且点A、B在抛物线上，则有(i)； (ii)( 是直
6、线AB的倾斜角)要点三：圆锥曲线的应用圆锥曲线的实际应用解答圆锥曲线的应用问题时，要善于抓住问题的实质，通过建立数学模型，实现应用性问题向数学问题的顺利转化要注意认真分析数量间的关系，紧扣圆锥曲线概念，充分利用曲线的几何性质，确定正确的问题解决途径，灵活运用解析几何的常用数学方法，求得最终完整的解答定点定值问题解析几何中证明直线过定点，一般是先选择一个参数建立直线系方程，然后再根据直线系方程过定点时与参数没有关系得到一个关于x，y的方程组，以这个方程组的解为坐标的点就是直线所过的定点，当定点具备一定的限制条件时，可特殊解决在几何问题中，有些几何量与参数无关，这就构成了定值问题解决定值问题的基本
7、思路是：定值问题必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变化的量表示问题中的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的一个值化解这类问题的关键在于引进参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量最值（范围）问题最值的求法有两种：（1）几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何体特征及意义，则考虑利用图形性质来解决（2）代数法：函数值域求解法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值，求函数最值的常用方法有配方法、判别式法、重要不等式法、还原法及函数的单调性等不等式（组
8、）求解法：依据题意，结合图形，列出所讨论的参数适合的不等式（组），通过解不等式（组）得出参数的变化范围要点四：曲线与方程1曲线与方程 一般地，在直角坐标系中，如果某曲线（看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹）上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系：（1）曲线上所有点的坐标都是方程的解；（2）以方程的解为坐标的点都在曲线上那么，方程叫做曲线的方程；曲线叫做方程的曲线2求曲线方程的一般方法(1)直接法；(2)间接法；(3)参数法3求曲线方程的一般步骤建立适当的直角坐标系，并设动点P(x，y)写出动点P满足的几何条件把几何条件坐标化，得方程F(x， y)=0化方程F(x， y)=0为最简形式，
9、特殊情况，予以补充说明，删去增加的或者补上丢失的解证明方程F(x， y)=0是曲线的方程4求圆锥曲线方程的一般方法定义法定义法是指先分析、说明动点的轨迹满足某种特殊曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线等）的定义或特征，再求出该曲线的相关参量，从而得到轨迹方程一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤：直接法建系设点列式化简证明（可省略，但必须删去增加的或者补上丢失的解）代入法当题目中有多个动点时，将其他动点的坐标用所求动点的坐标来表示，再代入到其他动点要满足的条件或轨迹方程中，整理即得到动点的轨迹方程，称之代入法，也称相关点法、转移法参数法 参数法是指先引入一个中间变
10、量（参数），使所求动点的横、纵坐标间建立起联系，然后再从所求式子中消去参数，得到间的直接关系式，即得到所求轨迹方程常见的参数法有：（1）点参数利用点在某曲线上设点（常设“主动点”），以此点为参数，依次求出其他相关量，再列式求解如x轴上一动点P，常设P（t，0）；直线x-2y+1=0上一动点P除设P（x1，y1）外，也可直接设P（2y，-1，y1）（2）斜率为参数 当直线过某一定点P(x0，y0)时，常设此直线为y-y0=k(x-x0)，即以k为参数，再按命题要求依次列式求解等（3）角参数当研究有关转动的问题时，常设某一个角为参数，尤其是圆与椭圆上的动点问题要点注释：（1）求轨迹方程的一般思路：
11、若曲线的类型已确定，一般用待定系数法；若曲线的类型未确定，但曲线上动点的运动在题目中有明确的表述，一般采用直接法；若动点的变化依赖于另一相关点的变化，一般采用相关点法（代入转移法）；若动点坐标之间的关系不易找出，一般可采用参数法但应注意所列方程个数比参数个数要多一个，才可以消去参数（2）求轨迹方程应注意的问题：求轨迹方程后一定要注意轨迹的纯粹性和完备性；以保证方程的解与曲线上的点具有一一对应的关系， 尤其是题中涉及三角形、斜率、参数方程中参数的限制， 往往使方程产生增根要注意区别“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念【典型例题】、类型一：圆锥曲线的方程与性质例1 已知两定点、，且，动点到与到的
12、距离比为常数，求点的轨迹方程，并注明轨迹是什么曲线【思路点拨】本题求动点的轨迹方程，采用直接求解先依据题中已知条件直接列出几何关系式子，再将其“翻译”成数学语言即可【解析】如图所示建立坐标系，则、，设是轨迹上任意一点则由题设，得，坐标代入得，化简得：整理得：点M的轨迹方程是 点M的轨迹是以为圆心，为半径的圆【总结升华】本题采用的是直接法，直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程举一反三：【变式1】已知两定点、，且，动点满足：，求点的轨迹方程，并注明轨迹是什么曲线【答案】圆：【解析】建立坐标系如图所示，则、，设是轨迹上任意一点，则，由，得，整理得：点M的
13、轨迹方程是； 点M的轨迹是圆【高清课堂：圆锥曲线综合371714 例2】【变式2】设F、F是双曲线x2y24的两焦点，Q是双曲线上任意一点，从F引FQF平分线的垂线，垂足为P，则点P的轨迹方程是【答案】设O为F1F2的中点， 延长F1P交QF2于A，连接OP，据题意知：AQF1为等腰三角形所以QF1=QA|QF1-QF2|=4|QA-QF2|=4即AF2=4OP为F1F2A的中位线OP=2故点P的轨迹为以O为圆心，以2为半径的圆，方程为：x2+y2=4例2过原点的直线与曲线y=x2-2x+2交于A，B两点，求弦AB中点的轨迹【思路点拨】AB的中点是受A，B两点的影响而运动的，而A，B的运动是由
14、于直线的转动而导致的，因此可以选择直线的斜率k作为参数【解析】设AB的中点M(x，y)， A(x1，y1)， B(x2，y2)，依题意，直线的斜率必须存，设为k， 又直线 过原点，直线的方程为：y=kx， 将此式代入y=x2-2x+2整理得：x2-(2+k)x +2=0 x1+x2=2+k， 由消去k，得又由于直线与曲线有两交点，故(1)式中的判别式0， (2+k)2-80， 解得或 ，或所求的轨迹是抛物线y=2x2-2x(或)部分【总结升华】在处理涉及直线和二次曲线交点的轨迹问题时，直线的斜率是常用的参数，即“k参数”，此时要考虑直线的斜率不存在这一特殊情况参数的选择多种多样，应视具体情况而
15、定 常见的参数有k参数、点参数，也可以选有几何意义的量如角参数、参数a，b，c等恰当选择参数，可以简化解题过程解题时应先对动点的形成过程进行分析，确定参数，探求几何关系，建立参数方程对参数方程化简以后，要重视检验工作，确定变量的范围举一反三：【变式1】设双曲线的两个焦点分别是F1和F2， A 、B分别是双曲线两条渐进线上的动点， 且， 求线段AB中点的轨迹方程【答案】设A点在渐进线上， B点在渐进线上， A(x1， y1)， B(x2， y2)，线段AB中点 M(x， y)， 由=30，得， ， 化简得【变式2】设直线x-y=4a与抛物线y2=4ax 交于两点A，B (a为定值)，C为抛物线上
16、任意一点，求ABC的重心的轨迹方程【答案】设ABC的重心为G(x，y) ，点C的坐标为C(x0，y0)，A(x1，y1)， B(x2，y2) 由方程组消去y并整理得：x2-12ax+16a2=0x1+x2=12a， y1+y2=(x1-4a)+(x2-4a)=(x1+x2)-8a=4a由于G(x，y)为ABC的重心， 又点C(x0，y0)在抛物线上，将点C的坐标代入抛物线的方程得：(3y-4a)2=4a(3x-12a)， 即又点C与A，B不重合，【变式3】以抛物线的弦AB为直径的圆经过原点O， 过点O作OMAB， M为垂足， 求点M的轨迹方程【答案】设直线OA方程为， 代入得A点坐标为， 同理
17、可得B()， 直线AB方程为， 即: 直线OM方程为，得: ， 即为所求点M的轨迹方程类型二：直线与圆锥曲线的交点- 弦的有关问题： 例3判断直线与椭圆的位置关系【思路点拨】【解析】由可得（1）当时，直线与椭圆相交（2）当时，直线与椭圆相切（3）当时，直线与椭圆相离【总结升华】（1）直线与椭圆有相交、相切、相离三种关系，直线方程与椭圆方程联立，消去或得到关于或的一元二次方程，则有：直线与椭圆相交；直线与椭圆相切；直线与椭圆相离所以判定直线与椭圆的位置关系，方程及其判别式是最基本的工具（2）判断直线与椭圆相交，还可证明直线经过椭圆内的某定点定点在椭圆内部，则举一反三：【变式1】讨论直线与双曲线的
18、公共点的个数【答案】 联立直线与双曲线方程，消去y得当即时，当即时，由得；由得；由得或所以当时，直线与双曲线相交于两点；当时，直线与双曲线相切于一点；当时，直线与双曲线相交于一点；当时，直线与双曲线没有公共点，直线与双曲线相离【变式2】已知直线y=(a+1)x1与曲线y2=ax恰有一个公共点，求实数a的值【答案】联立方程（1）当a=0时，此方程恰有一组解为：（2）当a0时，消去x，得若，即a=1，方程变为一元一次方程：y1=0，方程组恰有一组解：若，即a1令得：，可得，这时直线与曲线相切，只有一个公共点综上所述知，当a=0、1、时，直线y=(a+1)x1与曲线y2=ax恰有一个公共点例4设直线
19、过双曲线的一个焦点，交双曲线于A、B两点，O为坐标原点，若，求|AB|的值【思路点拨】直线与双曲线的弦长问题，可以考虑弦长公式，结合韦达定理进行求解【解析】当ABx轴时，点A（2，3），B（2，3），不满足条件则直线AB斜率存在，设为k，则直线AB的方程为y=k(x2)代入双曲线方程，得即设点，则当0时，从而 ，解得此时，故由焦点弦长公式，得：【总结升华】 处理涉及直线和二次曲线交点问题时，一般设出交点坐标，但不求交点坐标，而 是用韦达定理作整体运算（把x1+x2或x1x2看作一个整体），即所谓“设而不求” 涉及直线与双曲线相交弦的问题，0是必不可少的条件关于直线与双曲线的某一支的相交问题，不
20、但要考虑0，同时要考虑方程根的取值范围举一反三：【变式1】已知点A和B ，动点A、B两点的距离之差的绝对值为2，点C的轨迹与直线yx交于D、E两点，求线段DE的长【答案】设点C（x ， y），则CA |CB |根据双曲线的定义，可知点C的轨迹是双曲线由2a ，得a2，b2故点C的轨迹方程是由，得x24x，直线与双曲线有两个交点设D（x1，y1）、E（x2，y2），则x1x2，x1x26故【变式2】设椭圆的左、右焦点分别为、，A是椭圆C上的一点，且，坐标原点O到直线的距离为（1）求椭圆C的方程；（2）设Q是椭圆C上的一点，过Q的直线l交x轴于点，较y轴于点M，若，求直线l的方程【答案】（1）由题
21、设知由于，则有，所以点A的坐标为，故所在直线方程为，所以坐标原点O到直线的距离为，又，所以，解得，所求椭圆的方程为（2）由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为，则有，设，由于，解得 又Q在椭圆C上，得，解得， 故直线l的方程为或， 即或 类型三：求取值范围或最值：例5定长为3的线段AB的两个端点在y=x2上移动，AB中点为M，求点M到x轴的最短距离【思路点拨】（1）可直接利用抛物线设点，如设A(x1，x12)，B(x2，X22)，又设AB中点为M(x0y0)用弦长公式及中点公式得出y0关于x0的函数表达式，再用函数思想求出最短距离（2）M到x轴的距离是一种“点线距离”，可先考虑M到准线的距
22、离，想到用定义法【解析】解法一：设A(x1，x12)，B(x2，x22)，AB中点M(x0，y0)则由得(x1-x2)21+(x1+x2)2=9即(x1+x2)2-4x1x21+(x1+x2)2=9 由、得2x1x2=(2x0)2-2y0=4x02-2y0代入得 (2x0)2-(8x02-4y0)1+(2x0)2=9， 当4x02+1=3 即 时，此时解法二：如图， 即， 当AB经过焦点F时取得最小值M到x轴的最短距离为【总结升华】解法一是列出方程组，利用整体消元思想消x1，x2，从而形成y0关于x0的函数，这是一种“设而不求”的方法而解法二充分利用了抛物线的定义，巧妙地将中点M到x轴的距离转
23、化为它到准线的距离，再利用梯形的中位线，转化为A、B到准线的距离和，结合定义与三角形中两边之和大于第三边（当三角形“压扁”时，两边之和等于第三边）的属性，简捷地求解出结果的，但此解法中有缺点：没有验证AB是否能经过焦点F，而且点M的坐标也不能直接得出举一反三：【变式1】 (1)抛物线C:y2=4x上一点P到点A(3，4)与到准线的距离和最小，则点 P的坐标为_ (2)抛物线C: y2=4x上一点Q到点B(4，1)与到焦点F的距离和最小，则点Q的坐标为 【答案】（1）A在抛物线外，如图，连PF，则，因而易发现，当A、P、F三点共线时，距离和最小（2）B在抛物线内，如图，作QRl交于R，则当B、Q
24、、R三点共线时，距离和最小解：（1）（2，2）连PF，当A、P、F三点共线时，最小，此时AF的方程为 即 y=2(x-1)，代入y2=4x得P(2，2)，（注：另一交点为()，它为直线AF与抛物线的另一交点，舍去）（2）（）过Q作QRl交于R，当B、Q、R三点共线时，最小，此时Q点的纵坐标为1，代入y2=4x得x=，Q()【变式2】【高清课堂：圆锥曲线综合371714 例4】已知椭圆中心在原点，焦点在x轴上，一个顶点为A（0，-1）若右焦点到直线的距离为3（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆与直线相交于不同的两点M、N当时，求m的取值范围【答案】（1）依题意可设椭圆方程为 ，则右焦点F由题设 解得 故所求椭圆的方程为 （2）设P为弦MN的中点，由 得 由于直线与椭圆有两个交点， 即 ，从而，又，则， 即 把代入得 解得 又由得 解得 故所求m的取范围是