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1、实验 定积分的近似计算第1页，共10页，编辑于2022年，星期五定积分的近似计算定积分的近似计算我们知道我们知道 ,定积分定积分(设设f(x)0 f(x)0 不论在实际问题中的意不论在实际问题中的意义是什么义是什么,在数值上都等于曲线在数值上都等于曲线y=f(x),y=f(x),直线直线x=a,x=bx=a,x=b与与x x轴轴所围成的曲边梯形的面积所围成的曲边梯形的面积.因此因此,不管不管f(x)f(x)以什么形式给出以什么形式给出,只要近似地算出相应的曲边梯形的面积只要近似地算出相应的曲边梯形的面积,就得到了所给定就得到了所给定积分的近似值积分的近似值.这是定积分近似计算方法的基本思想这是
2、定积分近似计算方法的基本思想.我们介绍两种常用而简便的定积分的近似计算方法我们介绍两种常用而简便的定积分的近似计算方法,所所导出的公式对于导出的公式对于f(x)f(x)在在a,ba,b上不是非负的情形也适用上不是非负的情形也适用.第2页，共10页，编辑于2022年，星期五定积分的近似计算定积分的近似计算梯形法梯形法梯形法就是把曲边梯形分成若干个窄曲边梯形梯形法就是把曲边梯形分成若干个窄曲边梯形,然后然后用窄梯形的面积近似代替窄曲边梯形面积用窄梯形的面积近似代替窄曲边梯形面积,把它们相把它们相加从而求得定积分的近似值加从而求得定积分的近似值.具体方法如下具体方法如下:用分点用分点a=xa=x0
3、0,x,x1 1,将区间分为个长度相等的小区间将区间分为个长度相等的小区间,每每个小区间的长度为个小区间的长度为.设函数对应于各分点的函数值为设函数对应于各分点的函数值为 即即(i=0,1,(i=0,1,n).,n).如图如图3535所示所示,每一个窄梯形的面积为：每一个窄梯形的面积为：第3页，共10页，编辑于2022年，星期五定积分的近似计算定积分的近似计算从而有：从而有：公式公式(3)(3)称为梯形法公式称为梯形法公式.以下我们来估计梯形法的误差以下我们来估计梯形法的误差.第第i i个窄曲边梯形的面个窄曲边梯形的面积为：积为：第4页，共10页，编辑于2022年，星期五定积分的近似计算定积分
4、的近似计算令令 则则 ，并且，并且 当当 时，时，t=0,t=0,当当 时，时，t=1,t=1,于是于是当当 时，利用分布积分法可以证时，利用分布积分法可以证明：明：第5页，共10页，编辑于2022年，星期五定积分的近似计算定积分的近似计算如果当如果当 时时,那么那么 ,第第i i个窄曲边梯形与相个窄曲边梯形与相应的窄梯形面积之差的绝对值将有以下估计应的窄梯形面积之差的绝对值将有以下估计:第6页，共10页，编辑于2022年，星期五定积分的近似计算定积分的近似计算抛物线法抛物线法梯形法是通过用许多直线段分别近似代替原来的梯形法是通过用许多直线段分别近似代替原来的各曲线段各曲线段,即逐段地用线性函
5、数近似代替被积函数即逐段地用线性函数近似代替被积函数,从而算出定积分的近似值从而算出定积分的近似值.为了提高精确度为了提高精确度,可以可以考虑在小范围内用二次函数考虑在小范围内用二次函数 来近似代替来近似代替被积函数被积函数,即用对称轴平行于即用对称轴平行于y y轴的抛物线上的一轴的抛物线上的一段弧来近似代替原来的曲线弧段弧来近似代替原来的曲线弧,从而算出定积分的从而算出定积分的近似值近似值.这种方法称为抛物线法这种方法称为抛物线法,也称为辛普森也称为辛普森(Simpson)(Simpson)法法.具体方法如下具体方法如下:第7页，共10页，编辑于2022年，星期五定积分的近似计算定积分的近似
6、计算用分点用分点a=,a=,将区间将区间a,ba,b分为分为n(n(偶数偶数)个个长度相等的小区间长度相等的小区间,各分点对应的函数值为各分点对应的函数值为 .曲线曲线y=f(x)y=f(x)也相应地被分为也相应地被分为n n个小弧段个小弧段,设曲线上的设曲线上的分点为分点为 我们知道我们知道,过三点可以确定一条抛物线过三点可以确定一条抛物线 .于是于是在每两个相邻的小区间上经过曲线上的三个相应的分在每两个相邻的小区间上经过曲线上的三个相应的分点作一条抛物线点作一条抛物线,这样可以得到一个曲边梯形这样可以得到一个曲边梯形,把这些把这些曲边梯形的面积相加曲边梯形的面积相加,就可以得到所求定积分的
7、一个近就可以得到所求定积分的一个近似值似值.由于两个相邻区间决定一条抛物线由于两个相邻区间决定一条抛物线,所以用这种所以用这种方法时方法时,必须将区间必须将区间a,ba,b分成偶数个小区间分成偶数个小区间.第8页，共10页，编辑于2022年，星期五定积分的近似计算定积分的近似计算下面我们先来计算下面我们先来计算-h,h-h,h上以过点上以过点 的抛的抛物线为物线为 曲边的曲边梯形的面积曲边的曲边梯形的面积.首先首先,抛物线方程中的抛物线方程中的pqrpqr可由下列方程组确定可由下列方程组确定:由此得到由此得到于是所求面积为：于是所求面积为：第9页，共10页，编辑于2022年，星期五定积分的近似计算定积分的近似计算这个曲边形的面积仅与的纵坐标及底边所在区间的这个曲边形的面积仅与的纵坐标及底边所在区间的长度长度2h2h有关。有关。第10页，共10页，编辑于2022年，星期五