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1、2023年河北省张家口市统招专升本高数自考模拟考试（含答案）学校:班级:姓名:考号:一、单选题（20题）设之=xy+ 3,则 da=（）y1】）A. 2dB. d.r + dyC. 2dl + dyD. 2cLz-d v设曲线一厂 1一）为大于o的参数.则把=D. 3fA 3R 3（ 1A,47B.2c.石己知/(0) = 0,/(0)=l，则 Iini =A.2B.lC.OooD.4.设 /(Jr)=垣，-+-gD limf(z),则 f(jc)=1 一 e o、ln( 1 + 2) 9A。1 ，+2B.ln(l + 2i)9p ln( 1 + 2z) 1 ez【精析】 将方程y =、y +
2、 e，两边对I求导，其中y为1的函数，得y= y+、r+e， 即y = : + e,又eJ= y Jt：y,所以的= -空，故选B.1 XC1T 1 X7.B答案1 B【精析】 /(t)= cosjrt/z(Jr) = sinz令 /()=sinz = 0.0 V jcV 27r.可得才=x， 即3 =冗.8.B匚答案B【精析】/Q 1)的定义域为()，则一1 4工-1 & - 1,即/(工)的定义域 为11.4 1.9.B答案1 B【精析】 由已知条件在4上递减.且是凹的.如第6题图图所示.又S1表示的是=a.x= 丫 = /(J )与x轴围成的曲 边梯形的面积.与表示的是彳= .y /()
3、与,轴所围成的矩 形的面积.Sa表示的是 丁 = a ,r = b. v = 7 (.r)在、r = u 和彳=G 两个端点连线以及1轴所围成的梯形的面积， 比较三个图形的面积大小，可得s.s s-10.C答案C【精析】 由于sin， + c2./7，(c1)【精析】由于丁 = j(C)(C) = c，/(c),故 / = z)xa + fa T)/ /(jc)在/ = 0处是不连续的.【精析】V = arctan(/ 1)的值域是(一今,名)，没有最大值.36.N答案x【精析】 令则当为偶数时.lima“ = 1;当为奇数时，lima” =-1.1一1,故该数列发散.37.Y【精析】V aM
4、 - a为无穷小数列，lim(a -a) = 0,即lima” = q，故a力收敛于m38.Y【精析】 函数八r)为塞指函数故底数/0,且1.则函数定义域为(0J)U (1, +8),故可知函数/(T)有一个间断点1=1.39.N【精析】 依题意得 / JC) = (/3 ) = 3/,/(l)=6 八故 i / (.r)di = i 6.r2 dLz =40.N答案【精析】dydzdrIU-dvz=cosf 所以& = cos/ |?-ff = - 1当，=n 时=兀*=1.所以f =穴处的切线方程为y 1 = 1（-穴）即1十1y 1 - 7T = 0.41.【精析】令F(、r,y,?)
5、= e*不，则yz , Fy (x.yz) = T,Fa ，之)=c+h， ly ,当e)七-J；y w 0时.有Hz _ yg _ 空 _ 区 _ .r2一c-f)x Fze-， jy * Jy F- e xy *42.【精析】方法一 原式=f (l+coS.r)drJ sirT.rCOSX 1 if - I=.d7 + cof j d r.sin j v= f , dsin.r -|- f (cscJj 1) d.rJ smrJ=cot.r j- + C.si n r、1 - 2sin -y 方法二 原式=-d.r. 2sin、+ J12 1i=esc djr - dr=cot -y .r
6、 + C.w【精析】原式=(c - 1 )dx + tIh( I + x)drTJO十-yj ln( l + x)d.r144.晓-（1十J+T)djF1 + -y In2 -1一 ,r + ln(、r + 1)【精析】xf f Cr)d.r = | .rd f (x) = (/) oJ o/(j )ch = afAa) I /(_r)ch、，显 oJ o然” （“）表示矩形ABOC的面积./（工）也表示曲边梯形的面积，所以原积分 的面积即为两者之差即是曲边三角形ACD的面积.45.【精析】 方法一 将函数J 一（，+ 31严 两边取自然对数，有 Inv sin2x InO f 3“）.两边对
7、.r求导得:.yiy，= 2cos2x ln(x4 + 3)- sin2x 21+ 3 x2 + 31于是 y ( j-5+2cos2jr ln( j2+ 3x)+ -psinZj ；方法二 y =+ 3、r)= a山八3力，则 v =0 r2cos2x n(x2 + 3i) + sin2x ?十？+ 31* 二(x2+ 3上)酸2cos2” ln( j- + 3x) + 中sin2*.JT + 3 1【证明】令 F( j )= / (jr)sinjr则 F(0) = J (O)sinO = 0 = /(71)51117： = F(tt)且F(.r)在10.0上连续，在(0,久)内可导.由罗尔
8、定理知.在(0，内内至少存在一点。使得F(W)= 0.即 /(F)sinf = /(3)cosg.47.【证明】 令/(/)=屁法因eV” /(/)在-口上满足拉格朗日中值定理条件，且f .r)= b a W e即 In 一 n2a 4r (7? a).M48.【精析】 设存储箱的长和宽分别为i和门则高为工，用料最省即表面积最小,表面积 上3V V,八/ 2VS = 2xv + 2v + 2j = 2.rv + + .令 $ = 2丫_ * = 0,Sv = 一 驾=Os旷可解得唯一的驻点(小,刀)，因为实际问题用料最省的设计方案一定存在.故唯一的驻点对应的就是函数的极值点,也是最值点9此时高
9、为VTv Tv/，故存储箱的长、宽、高均为方时.木板用料最省.【精析】设(X).为 m,则1 V I V 4.由题可知圆柱和圆锥的底面半径相同且R =，雀一 Q1尸=，9 d匕 则帐篷的体积为V = 1 . K R2 Q 1) + 九尺 1 =+=式9 (11)21Vz= x - 2(v 1) 。2 + n9 (才I)二n(、丁？ + 4) JJ 一令/=0得/=2 ,且V，(2) =-IttVO,故炉在.r = 2处取得极大值由于实际问题 最值存在，且驻点唯一.故V/Jt= 2处取最大值即当顶点。到底面中心的距离 为2 m时.帐篷的体积最大.50.【精析】(1)投放方型产品的金额为.r万元,
10、则投放4型产品的金额为10 1万元, 则总补贴为L(x) = + 7/7In(1 + 7). 1 9；(2)当，=春时，L =二 + 为Ml +/一 + 一 令心 =，解得 5105105 (x -r 1)X = 3./(3) =- J 0/0.行驶距离S所用的总费用为c,时间为 则由题意可知 12500M S, 100S2500 77dS 100S _ ( 110(). q(5/ 1| 2001250 一 颜_丁 _ (脸+F)令C： = 0则可得唯一驻点=50,且（50）= 展1So.1 1 J U所以汇=50是极小值点，又因实际问题最值一定存在，可知该点也是最小值点.故最经济的行驶速度是
11、50公里/小时.5.（ ）B.有拐点（52）但无极值点D.既无极值点又无拐点曲线 y = （小一 5/ + 2A.有极值点7=5但无拐点C.有极值点1=5及拐点（5.2）6.设= 3,是由方程） 确定的隐函数，贝喏=A.吃，I - JT7.6.已知函数m = cosj在闭区间0.2Q L满足罗尔定理，那么在开区间（0,2。内使得等式/（型=o成立的a值是c. 0D. 27r8.设函数/Q 1）的定义域为0“门其中0,则/1）的定义域是（）A. 1,a + 1 _B. _ 1 .a 1 C. 1 a ga - 1 D. a - 1 a + 1 一设在区间a.上，./1） 0,/Q ） 0.令 S
12、, = =“ a/（）（- a）S$ = ：/（）+/（/，）一 八则（）乙AS S） SsC. 5 S） S2D. S, S：, D. 7( / dy + yz InzcLr)(x znv) “13.下列不等式不成立的是r2r2A. Inxdj, (ln.r)2dTsinjdj J iln( 1 + t)dr V jcdziD.e7 cLr V J (1 + x) d.r已知向量组 q = (l,02,3)T,q = (1,1,3,5)丁.4 =(1， 1，。+ 2 J)丁 的秩为 2,则a =()A.0B, 1C, 一 1D. 2r 2.r + 3, jt i.A.OB. 2C. 5D.不
13、存在(X - 0 设 /( j ) = sinj *g( j ) = J则 /g(、r)1 =()i + n, 了 0 A. sin.rB cos/snrr【).一COST用待定系数法求微分方程/ 一 - 6.v =1的特解时.应设旷=A. a eJB.C x2 (ax + b)cuD. x(ax+ 6)cv设皿是八工)的一个原函数则二f(Gd= JC.-.*. siitr 八口 hcosz- 2in?,1A. sinj- -(/氏F C*C. sin.z* + sm”+ CD. cos.z, + C19.9设函数设函=arctan=,则才=0是/（才）的A.连续点C .跳跃间断点B,可去间断
14、点D.第二类间断点20.+ 1, .r V 0,设/(力=在/ = 0处连续，则。= - 24二+ 6/的凸区间为三、判断题（10题）在数列储.中任意去掉或增加有限项，不影响&的极限.31.由方程y = 1+/所确定的隐函数的导数为/ = 丁一. 2 - vA.否B.是32.A.否B.是着数列W的极限存在，则6的极限必存在. a才33. A.否B .是34.cosrz + 2设函数/(1)= 1) 则 /(i)在 x才V 0o处是连续的.A.否B.是函数y = arctan( 1)的最大值是亨35. 一A.否 B.是36.数列(-1)。是收敛的.A.否B.是若% 一为无穷小数列则。力收敛于丁3
15、7. A.否 B.QQ 设 /Q)= Jo.徜，则函数/有】个间断点.A.否b.设/为八幻的原函数,则 39.,/(/)由=7.0A.否 B.40.，.r = I.参数方程|在，=人处的切线方程为+ y一 1 = 0.y = 1 + sin/A.否B.是四、计算题(5题)41.求由方程。卡 一町c = 0所确定的二元函数之=八/7）的全微分也42.计算不定积分V二V 1COST、r0.已知/（=求函数,y 45.=3+ 3严，的导数罪.求定积分爪r）心.J-j43.44.12.如图，曲线段的方程为y = /G），函数/（t）在区间O,a上有连续的导数,试求定积分表示的图形面积.五、证明题（2题
16、）46.设函数/（）在闭区间10/上连续在开区间（0f）内可导.证明在开区间（0,天）内至 少存在一点 &使得 /（TsinS = /（）cos?.设 eV” （/，一）.六、应用题（5题）某电器公司为便于储存一些小的电器部件准备用薄木板做成一些外观体积为常数V 的长方体存储箱.向存储箱各边的长度为多少时木板用料最省？25.要求设计一个帐篷.它下部的形状是高为1 m的圆柱体,上部的形状是母线长为3 m的圆锥（如图所示）.试问当帐篷的顶点0到底面中心。的距离为多少时,帐篷的体积最大?111第25题图为倡导低碳生活,某节能产品生产厂家拟举行消费者购买产品获补贴的优惠活动.若 厂.家投放4、8两种型
17、号产品的价值分别为a、万元时则消费者购买产品获得相应的补贴分别为+力万元 0且为常数）.已知厂家把总价值为10万元的两种型号的产品投放到市场,且八、3两种型号的投放金额都不低于1万元，参考数据-1.4）（1）设投放B型产品的金额为/万元,i青写出这次活动中消费者得到的总补贴函数L（i）. 并求其定义域.9（2）当？ = g时，当投放B型产品的金额为多少万元时消费者得到的总补贴最多.并求5出最大值.25.已知函数7（t） = 1 + *.求由v = /、（#）,I = 0= l.y = 0所围成图形绕j轴旋 转一周的旋转体的体积.已知汽车行驶时每小时的耗油费用），（元）与行驶速度/公里/小时）的
18、关系是V乐,若汽车行驶时除耗油费用外的其他费用为每小时100元求最经济的行驶速度（假设汽 车是匀速行驶）.参考答案1.A【精析】了 = y + 工，4 = w与& =2cLr + 0 = 2dw.dxy dyy dx） d.rd7d72方=。故应选A.3.B因为 lim= lim、（x）_/（）= /，（o）= ixtO X tO x-0【精析】设= /,r-a。贝U 1 = j ） = lim 皿 /土丁，- I = lim T- - / = - 2 - / ,i 廿一。 1 - ei-o - x所以/ = limf（jr） =- 1, / （.r）=4.C5.B答案1 B【精析】1Q 5产=黑 J，彳=5是函数的连续点,且在j= 5两侧9 73,同号,异号因此才=5不是函数的极值点但（32）是拐点,故应选B.6.B