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1、专题20勾股定理考点总结【思维导图】【知识要点】知识点一直角三角形与勾股定理直角三角形三边的性质：1、直角三角形的两个锐角互余。2、直角三角形斜边的中线，等于斜边的一半。3、直角三角形中30。角所对的边是斜边的一半。勾股定理概念：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a , b,斜边为c,那么。2+/=02变式：1) a2 =c2 - b22) b2 =c2 - a2适用范围：勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，因而在应 用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形。勾股定理的证明：勾股定理的证明方法很多，常见
2、的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是：图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理方法一4s+ S正方形mg”= S正方形abcd，4x-ab-(b a) = c ,化间可证，方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积.四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为S = 4x,H + c2 = 2H + c22大正方形面积为S = (q + b)2 = q? + 2ab + b所以/+=/方法三：S梯形=；(Q + b)m + %) , s梯形=2$00+邑吠=2；必+ ；。2，化简得证/+=/
3、【考查题型汇总】考查题型一利用直角三角形的性质解题1. （2018湖南中考模拟）如图，在AABC中，AB=AC, ZBAC=120, EF为AB的垂直平分线，交BC于 点F,交AB于点E.求证：FC=2BF.2. （2013江苏中考模拟）如图，在RtZXABC中，ZC = 90, AC= 百，点D为BC边上一点，且BD = 2AD, ZADC = 60,求aABC的周长（结果保留根号）.3. （2019江苏中考模拟）如图，在AABC中，AB=AC, ZBAC=120, D为BC的中点，DELAB于E, 求EB： EA的值.考查题型二 含30。角的直角三角形解题方法1. （2018黑龙江中考模拟
4、）如图，在中，AB=AC, ZC=30, ABAD,4。=4,则3c的长为（）A. 4B. 8C. 12D. 162. （2019丹东市第十七中学中考模拟）如图，在RtZS/BC中，CM平分N4C5交于点过点M作 MNBC交AC于点、N,且MN平分N4HC,若AN=,贝3C的长为（）A. 4B. 6C. 4GD. 83. （2018湖北中考模拟）如图，在48。中,/。=90。,/8=30。,力。平分NC/8交BC于点D,E为AB上一点, 连接。瓦则下列说法错误的是（）A. ZCAD=30 B. AD=BDC. BD=2CDD. CD=ED4. （2018安徽中考模拟）如图，在RtZXABC中，
5、ZC=90, NCAB的平分线交BC于D, DE是AB的垂 直平分线，垂足为E,若BC=3,则DE的长为（）A. 1B. 2C. 3D. 4考查题型三利用勾股定理求几何体表面最短距离1. （2017河北中考模拟）如图，一只蚂蚁沿边长为a的正方体表面从点A爬到点B,则它走过的路程最短 为（）A. V2 aB. （1 + V2）a C. 3aD.# a2.（2016山东中考模拟）如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm,底面周长为10cm,在 容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点A处, 则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（）A.
6、 13cm B. 2V61cm C. V61 cm D. 2V34cm3.（2018南宫市奋飞中学中考模拟）如图,在底面周长为12,高为8的圆柱体上有A,B两点，若沿圆柱的侧面 积运动，则AB之间的最短距离是（）A. 10B. 3C. 5D. 4考查题型四利用勾股定理解决实际问题1.（2019重庆市全善学校中考模拟）如图，在高为3米，斜坡长为5米的楼梯台阶上铺地毯，则地毯的长 度至少要（）A. 4米B. 5米C. 6米D. 7米2. （2019福建中考模拟）九章算术中的“折竹抵地”问题上：今有竹高一丈，末折抵地，去本六尺。问折 高几何？意思是：如图，一根竹子，原高一丈（一丈=10尺），一阵风将
7、竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地 处离竹子底部6尺远。问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为（）A. x2 6 = （10 x）2B. x2 62 = （10 %）2C. x2+6=（ 10-x）2D. x2+62=（ 10-x）23.（2019湖北中考模拟）从电线杆离地面8米处拉一根长为10m的缆绳，这条缆绳在地面的固定点距离电 线杆底部有（）m.A. 2B. 4C. 6D. 8考查题型五构造直角三角形利用勾股定理解题1 .（2019山东中考模拟）在4ABC中，AB=10, AC=2而 ，BC边上的高AD=6,则另一边BC等于（）A. 10B. 8C. 6 或 1
8、0D. 8 或 102 .（2015河北中考模拟）在AABC中，若AC=15, BC=13, AB边上的高CD=12,则AABC的周长为（）A. 32B. 42C. 32或42D,以上都不对3 .（2018甘肃中考模拟）如图所示，在RtZXABC中，AB=CB, EDCB,垂足为D点，且NCED=60。，Z EAB=30。，AE=2,求 CB 的长.考查题型六利用勾股定理解决翻折问题将矩形OABC沿OB对折，使点A落在1 .（2019浙江省杭州第七中学中考模拟）如图，在直角坐标系中,Ai处，已知OA=百，AB=1,则点Ai的坐标是（）2 .（2019云南中考模拟）如图，将长方形纸片ABCD折叠
9、，使边DC落在对角线AC上，折痕为CE,且D点落在对角线D，处.若AB=3, AD=4,则ED的长为（）3 4A. -B. 3C. 1D. 一233. （2019四川中考模拟）如图，长方形中力8 = 3cm , AD =9cm ,将此长方形折叠，使点。与8 点重合，折痕为则AA8E的面积为（）A. 6cm之B. 8cm2C. 10cm2D. 12cm2考查题型七 利用勾股定理解决几何图形面积问题1 . （2017山东中考模拟）如图，在长方形ABCD中，AB=8, BC=4,将长方形沿AC折叠，则重叠部分AFC的面积为（）A. 12B. 10C. 8D. 62 . （2018江苏省泰兴市济川中学
10、中考模拟）如图，矩形ABCD中，AB=4cm, BC = 8cm,如果将该矩形沿 对角线BD折叠，那么图中阴影部分的面积（）cm2.A. 8B. 10C. 15D. 203 .（2018福建中考模拟）如图，两个较大正方形的面积分别为225, 289,则字母A所代表的正方形的边长 为（）A. 64B. 16C. 8D. 44 .（2019广西中考模拟）如图,已知点E在正方形力3C。内，满足乙43=90。,4=6乃=8,则阴影部分的面积 是（）A. 48B. 60C. 76D. 80知识点二勾股定理的逆定理勾股数概念：能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即中，* 屋。为正整 数时，称
11、q, b, c为一组勾股数常见的勾股数：如 3,4,5； 6,8,10； 5,12,13； 7,24,25 等扩展：用含字母的代数式表示几组勾股数：1） n2 - ,2n,n2 4-1 （2, 为正整数）；2） 2 + 1,22 + 2,2/ + 2 + 1 （为正整数）3） m2 - n292mn,m2 +n2 （ m n, m , 为正整数）注意：每组勾股数的相同整数倍，也是勾股数。勾股定理的逆定理内容：如果三角形三边长Q, b,。满足/+/=，那么这个三角形是直角三角形，其 中C为斜边注意：勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角 形
12、的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和/+/与较长边的平方/作比较，若它们相等时, 以b,。为三边的三角形是直角三角形；若时、以，b,。为三边的三角形是钝角三角 形；若时，以，屋。为三边的三角形是锐角三角形；定理中，b,。及/+=，只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长，b,。满 足/+，=，那么以Q, b,。为三边的三角形是直角三角形，但是b为斜边勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形 是直角三角形勾股定理与勾股定理逆定理的区别和联系：联系：K两者都与直角三角形三边有关，且都与直角三角形有关。2、两者是互逆定理。区别
13、：1、两者的条件与结论相反。2、勾股定理是直角三角形的性质，勾股定理逆定理是直角三角形的判定方法。【考查题型汇总】考查题型八运用勾股定理逆定理判断三角形形状1 .（2018山东中考模拟）已知a、b、c是AABC的三边长，且方程a （1+x2） +2bx - c （1 - x2） =0的两根 相等，则 ABC为（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形 D.任意三角形2 .（2018南宫市奋飞中学中考模拟）若ZBC三边长a, 3。满足Ja + 少一25 +|6 4一1 |+（。-5）2=0,则ABC 是（ ）A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形3 .（2019内蒙古中
14、考真题）如图，在48。中，内角/、B、。所对的边分别为。、b、c .（1）若。=6,6=8,。=12,请直接写出/与）8的和与/C的大小关系;（2）求证：/BC的内角和等于180。；若 a _5（a + c）,求证：是直角三角形.a-b + c c考查题型九勾股定理逆定理的实际应用1 .（2019四川中考模拟）我国南宋著名数学家秦九韶的著作数书九章里记载有这样一道题：“问有沙田 一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形 沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大？题中“里”是我国市制长度单位，1里 =500米，则该沙田的
15、面积为（）A.平方千米B. 15平方千米 C. 75平方千米D. 750平方千米2 .（2016河北中考模拟）一艘轮船和一艘渔船同时沿各自的航向从港口 O出发，如图所示，轮船从港口0 沿北偏西20。的方向行60海里到达点M处，同一时刻渔船已航行到与港口 O相距80海里的点N处，若M、 N两点相距100海里，则NNOF的度数为（）A. 50 B. 60 C. 70 D. 803 .（2019湖北中考真题）在一次海上救援中，两艘专业救助船45同时收到某事故渔船的求救讯息，已知 此时救助船8在力的正北方向，事故渔船尸在救助船4的北偏西30。方向上，在救助船5的西南方向上， 且事故渔船Q与救助船4相距120海里.（1）求收到求救讯息时事故渔船P与救助船B之间的距离；（2）若救助船43分别以40海里/小时、30海里/小时的速度同时出发，匀速直线前往事故渔船尸处搜救, 试通过计算判断哪艘船先到达.4. （2012山东中考模拟）如图，某船以每小时36海里的速度向正东方向航行，在点A测得某岛C在北偏 东60。方向上，航行半小时后到达点B测得该岛在北偏东30。方向上，已知该岛周围16海里内有暗礁.（1）说明点B是否在暗礁区域内；（2）若继续向东航行有无触礁的危险？请说明理由.