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1、专题08整式的乘除和因式分解考点总结【思维导图】【知识要点】知识点一整式乘法幕的运算性质（基础）： a - an=am+n （m、n为正整数）同底数幕相乘，底数不变，指数相加.【同底数基相乘注意事项】1）底数为负数时，先用同底数募乘法法则计算，根据指数是奇偶数来确定结果的正负，并且化简到底。2）不能疏忽指数为1的情况。3）乘数a可以看做有理数、单项式或多项式（整体思想）。4）如果底数互为相反数时可先变成同底后再运算。1. （2018河北中考真题）若 2n+2。+2。+2n=2,则 n=（）1A. - 1B. - 2C. 0D.-42. （2012江苏中考真题）若3x9mx27m=、，则小的值是
2、（）A. 3 B. 4 C. 5 D. 63. （2019山东中考模拟）化简（-a2）a5所得的结果是（）A. a7B. - a7C. a10D. - a10 （a）n=amn （m、n为正整数）幕的乘方，底数不变，指数相乘.同底数事相乘注意事项】负号在括号内时，偶次方结果为正,奇次方为负,负号在括号外结果都为负。1 . （2019浙江省温岭市第四中学中考模拟）下列计算正确的是（）A. q2.q3 = 6C. a6 - a2=a4D. q5+q5 = q1O2 .（2019辽宁中考模拟）下列运算正确的是（）A. a2ea2=2a2B. a2+a2=a4C. （a3） 2=a6D. a8-a2=
3、a43 .（2018浙江中考模拟）计算（- a?） 2的结果是（）A. a5B. - a5C. a6D. - a6 （ab）n=abn （n为正整数）积的乘方等于各因式乘方的积.1 . （2018湖南中考真题）下列运算正确的是（）A. x3-x3= x9 B. x8 4-x4= x2 C.（仍,=ab62 .（2018贵州中考真题）下列运算正确的是（）A. （ - a2） 3= - a5 B. a3n）同底数幕相除，底数不变，指数减.【同底数幕相除注意事项】1 .因为0不能做除数，所以底数aWO.2 .运用同底数暴法则关键看底数是否相同，而指数相减是指被除式的指数减去除式的指数。3 .注意指数
4、为1的情况，如x8+x=x7 ,计算时候容易遗漏或将x的指数当做0.4 .多个同底数塞相除时，应按顺序计算。 a=l （aWO）任何一个不等于零的数的零指数幕都等于1.1. （2016江苏中考真题）下列计算正确的是（）A.a3+ a2= /b.a3 - a2 = a5C.（2a2）3 = 6a62.1. 2018丹东市第十八中学中考模拟）下列计算正确的是（D. （x）2 x2 = 0D. a6-a3=a3A.X2+x2= X4B.必+%2=%4Qx2 .x3= x63. （2016福建中考模拟）下列运算正确的是（）A.2a2+a=3a3B.（m2）3=m5C.（x+y）2=x2+y2考查题型一
5、累的运算法则的应用1. （2019浙江杭州外国语学校中考模拟）若2m=5, 4n = 3,则43n-m的值是（A.9_1027 B.25C. 2D. 42. （2019海口市长流中学中考模拟）已知x+y-4=0,则2y的值是（）1A. 16B. - 16C. 一D. 883. （2012山东中考真题）若3、=4,9丫=7,则3%-2y的值为（）A.B.C. 一3D.4.（2018 江苏中考模拟）若（屋）3=。%5,则 2, 的值分别为（）A. 9, 5B. 3, 5C. 5, 3D. 6, 125. （2018湖南中考模拟）已知am=2, an=3,则a3m+2n的值是（）A. 24 B. 3
6、6 C. 72 D. 6考查题型二运用累的原酸法则比较大小1.（2019杭州市余杭区乾元中学中考模拟）若=99991196 =标，则下列结论正确是（A. abD. ab = 12. （2017湖北中考模拟）已知q = 8P,6 = 274 0 = 96）则。、b、。的大小关系是（）A. abcB. dcbC. abcD. bca知识点二整式乘除 单项式X单项式单项式的乘法法则：单项式相乘，把系数、同底数嘉分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含 有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.单项式乘法易错点： 【注意】1 .单项式乘以单项式的结果仍是单项式。2 .运算顺序：先算乘方，再算乘法
7、。1 .（2017安徽中考模拟）（暧户（建了不等于（）A.B. （a,n-a2yn C. 混+/D.（储）.（屋一）2 .（2018山东中考模拟）计算：（-x） 3.2x的结果是A. 2x4 b. 2x3 C. 2x4 D. 2x33 .（2018湖南中考模拟）如果单项式一3x4a-by2与x3ya+b的和是单项式，那么这两个单项式的积是（）A. 3x6y4B. 3x3y2C. 3x3y2D. 3x6y4 单项式X多项式单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加【单项式乘以多项式注意事项】1 .单项式乘多项式的结果是多项式，积的项数与原多项式的项数相同。2 .单项式
8、分别与多项式的每一项相乘时，要注意积的各项符号。（同号相乘得正，异号相乘得负） 3.不要出现漏乘现象，运算要有顺序。1. （2。8湖北中考真题）计算（a - 2） （a+3）的结果是（）A. a2 - 6B. a2+a - 6C. a2+6D. a2 - a+62.（2019山东中考真题）计算（一2加）2.（加加2+3加3）的结果是（）A. 8m5B. -8m5C. 8m6D. -4m4+12m53.（2019广西中考真题）计算：x（x2 -1）=（C. x3 +xD. x2 -xA. x3 -1B. x3 -x 多项式X多项式 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项
9、相乘，再把所得的积相加.【多项式乘以多项式注意事项】多项式与多项式相乘时，多项式的每一项都应该带上它前面的正负号。多项式是单项式的和，每一项都包 括前面的符号，在计算时一定要注意确定各项的符号。1 .(2018内蒙古中考模拟)计算(+ 1)。+ 2)的结果为()A. x2+ 2B. x2 +3x +2C. x2 +3x + 3D. x2 +2x +22 .(2018湖北中考模拟)计算(x-2) (x+5)的结果是()A. x2+3x+7B. x2+3x+10C. x2+3x_ 10D. x2_3x_ 103 . (2015,广东中考真题)若(x+2) (x - 1) =x2+mx+n,则 m+
10、n=()A. 1B. -2C. -1D. 2乘法公式 完全平方公式：(a+b) 2 = a2 + 2ab + b2(ab) 2=a2- 2ab + b“【扩展】扩展一(公式变化)：a2+ b2= (a +b)2-2ab次+ 匕2 =( _ b)2 +2ab扩展二：(a + b)2+ (a - b)2 = 2 (a2+ b2)(a + b)2 - (ab)2 = 4ab扩展三：a2+ b2+ c2= (a + b + c)2 - 2ab-2ac-2bc 平方差公式：(a+b) (ab) =a2b2【运用平方差公式注意事项】（a+3b） （3a-b）,不能运用平方差公1 .对因式中各项的系数、符号
11、要仔细观察、比较，不能误用公式.如: 式.2 .公式中的字母a、b可以是一个数、一个单项式、一个多项式。所以，当这个字母表示一个负数、分式、 多项式时，应加括号避免出现只把字母平方，而系数忘了平方的错误.1. （2018河北中考真题）将2变形正确的是（）A. 2=922C. 2=1()2 _ 2B. 2=()(10 一)D. 2=9222.（2018四川中考模拟）已知x2+mx+25是完全平方式，则m的值为（）A. 10B. 10C. 20D. 203 .（2018甘肃中考模拟）已知一个圆的半径为Rem,若这个圆的半径增加2cm,则它的面积增加（）A. 4兀cm2B. （2兀R+4兀）cm2
12、C. （4兀1+4兀）cm2 D.以上都不对4 .（2019上海中考模拟）下列各式的变形中，正确的是（）A. （Xy）（ x+y） = x2y2B. x=-C. x24x+3 = （x2）2+1D. x（x2+x）=+ 1 单项式+单项式一般地，单项式相除，把系数与同底数嘉分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它 的指数作为商的一个因式.【同底数幕相除注意事项】1 .因为0不能做除数，所以底数a#o.看底数是否相同，而指数相减是指被除式的指数减去除式的指数。3 .注意指数为1的情况，计算时候容易遗漏或将x的指数当做0.4 .多个同底数幕相除时，应按顺序计算。1. （2018陕
13、西中考模拟）下列各式中，计算正确的是（）A. 2x+3y=5xy B. x6-x2=x3C. （ - 2x3y） 3= - 8x9y3 D. x2yex3y=x5y2.（2018湖南中考真题）下列运算正确的是（）? 6A. 2a + 3b = 5ab B. （-ab）2= a2b C. a2-a4=as D. = 2/ a3. （2019 江苏中考真题）如图，数轴上有0、4、B三点、,O为O原点，OA、08分别表示仙女座星系、M87黑洞与地球的距离（单位：光年）.下列选项中，与点5表示的数最为接近的是（）A. 5xl06B. 107C. 5xl07D. 108 多项式+单项式一般地，多项式除以
14、单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.【解题思路】多项式除以单项式问题转化为单项式除以单项式问题解决。1. （2019河南中考模拟）下列运算结果正确的是（）A. (X3 - x2+x) +x=x2 - xB. ( - a2) a36C. ( - 2x2) 3= - 8x6 D. 4a2 - (2a) 2=2a22. (2017海南中考模拟)已知长方形的面积为18x3y，+9xy2 27x2y2,长为9xy,则宽为()A. 2x2y3+y+3xyB. 2x2y22y+3xyC. 2x2y3 + 2y3xyD. 2x2y3+y3xy3. (2015福建中考真题)下列运算正
15、确的是()A. (a2)3= a5B. a2+ a4= a6C. a3 4- a3 = 1D. (a3 a) 4- a = a2 整式的混合运算 运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号时先算括号里面的。1 . (2017安徽中考模拟)设M=(x-3)(x-7), N=(x - 2)(x - 8),则M与N的关系为( )A. MNC. M=ND.不能确定2 .(2018广西中考模拟)点A (a, 3)与点B (4, b)关于y轴对称，则(a+b) 2。*的值为()A. 0 B. - 1 C. 1 D. 72i73 .(2018江苏中考真题)计算：(1) ( -2) 2x|-3|-(76);(2
16、) (x+1) 2- (x2-x)考查题型三利用多项式与多项式乘积中项的特征求待定字母的值的方法1. (2018山东中考模拟)若(x-2) (x2+ax+b)的积中不含x的二次项和一次项，求(2a+b+l) (2a-b- 1)-(a+2b) ( - 2b+a) +2b 的值.考查题型四乘法公式的合理运用1. (2019乌鲁木齐市第七十七中学中考模拟)计算：(1)(a+2b - c) (a - 2b+c)(2)已知 6x - 5y =10,求(-2x+y) ( - 2x - y) - (2x - 3y) 2-4y 的值.考查题型五 乘法公式在解决数的计算问题中的巧妙应用。1. (2018浙江中考
17、模拟)计算：(-2018) 2+2017X ( - 2019).考查题型六 乘法公式的变形在解题中的应用1. (2019甘肃中考模拟)已知x+=6,则x2+4=()xxA. 38B. 36C. 34D. 3232.(2018四川中考真题)已知实数a、b满足a+b=2, ab=-,则a - b=()4523.(2017江苏中考模拟)若(x+y)2=9, (x-y)2=5,则中的值为()A. -1 B. 1 C. -4 D. 4A. 1B.C. 15D. 土一 24.(2019浙江中考模拟)已知(m-n) 2=8, (m+n) 2=2,则 mZ+n()A. 10B. 6C. 5D. 35.(201
18、5,湖南中考真题)已知a+b=3, ab=2,则a?+b2的值为()A. 3B. 4C. 5D. 6考查题型七整式的化简求值1 .（2019,辽宁中考模拟）先化简，再求值：（x - 2y） 2+ （x+y） （x - 4y）,其中x = 5, y=.2 . （2017 江苏中考模拟）先化简，再求值：2/+（白+ 6）（ Q2b） 一（4 6）2,其中=3, b =*2考查题型八乘法公式和几何图形相结合的应用方法1） （2019浙江中考模拟）如图，将边长为m的正方形纸板沿虚线剪成两个小正方形和两个矩形，拿掉边 长为n的小正方形纸板后，将剩下的三块拼成新的矩形.（1）用含m或n的代数式表示拼成矩形
19、的周长；2） ） m=7, n=4,求拼成矩形的面积.2.（2018浙江中考真题）有一张边长为a厘米的正方形桌面，因为实际需要，需将正方形边长增加b厘米, 木工师傅设计了如图所示的三种方案：小明发现这三种方案都能验证公式：a2+2ab+b2= （a+b） 2,对于方案一，小明是这样验证的： a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2= （a+b） 2请你根据方案二、方案三，写出公式的验证过程.方案二：方案三：知识点四因式分解（难点）因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解.【因式分解的定义注意事项】1 .分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且
20、积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可；2 .因式分解必须是恒等变形；3 .因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止.因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式.因式分解的常用方法：提公因式法【提公因式法的注意事项】1)定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数。2)定字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母。3)定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母最低次幕。4)查结果：最后检查核实，应保证含有多项式的因式中再无公因式。公式法运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用；平方差公式：a2 b2= (a+b) (ab)
21、完全平方公式：a2+2ab + b2= (a+b) 2a2-2ab + b2= (ab) 21. (2019安徽中考模拟)下列分解因式正确的是()A. -x2+ 4x = -x(x + 4)B. x2 +xy + x = x(x + y)C. x(x-y) + y(y-x) = (x-y)2D. x2 -4x + 4 = (x + 2)(x-2)2. (2018江苏中考模拟)把多项式x2+ax+b分解因式，得(x+l)(x-3),则a、b的值分别是()A. a=2, b=3B. a=-2， b=-3C. a=-2, b=3D. a=2, b=-33 .(2018广西中考真题)下列各式分解因式正
22、确的是()A. x2+6xy+9y2= (x+3y) 2B. 2x2 - 4xy+9y2= (2x - 3y) 2C. 2x2 - 8y2=2 (x+4y) (x - 4y) D. x (x - y) +y (y - x) = (x-y) (x+y)4 .(2019山东中考模拟)多项式4a-a3分解因式的结果是()A. a (4 - a2) B. a (2 - a) (2+a) C. a (a - 2) (a+2) D. a (2 - a) 25 .(2018安徽中考模拟)将下列多项式因式分解，结果中不含有因式(q+1)的是()A. (72-1B.届+C. q2+q_2D. (q+2)2-2(q+2)+1考查题型九利用公式法解决代数式求值问题的方法1. （2018河南中考模拟）已知a-b=l,贝ij a3 - a?b+b2 - 2ab的值为（A. - 2B. - 1C. 1D. 2? 1 1 12 .（2017陕西中考模拟）已知实数x满足Y+f + x + = 0,那么x + 的值是（A1 或-2B一 1 或 2C. 1D. - 23 .（2019江苏中考模拟）若x2+mx-15=（x+3）（x+n）,则m的值为（）A. -5B. 5C. -2D. 2