第75讲二项式定理.docx

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1、第75讲二项式定理知识阅理1 .二项式定理公式：(a+b)n=CSan+Cnan-1bHChan-kbkHF CSbn(n N)这个公式表示的定理叫做二项式定理.在上式中右边的多项式叫做(。+ 6)的二项展开式，其中的系数 C%(k=O，1，)叫做二项式系数，式中的CMr叫做二项展开式的通项，用Tk+i表示，即Tk+i = Cb2 .二项展开式形式上的特点项数为_n+l_.(2)各项的次数都等于二项式的基指数n，即a与b的指数的和为n.(3)字母a按降幕排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升嘉排列，从第 一项起，次数由零逐项增1直到n.(4)二项式系数从_以_，a，一直到一_3

2、 .“杨辉三角”与二项式系数的性质(1) “杨辉三角”有如下规律：左右两边斜行都是1 其余各数都等于它“肩上”两个数字之和.(2)对称性：在二项展开式中与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即a1 = _F.(3)增减性与最大值：二项式系数小，当kn+l时，二项式系数逐渐增大_；当kA1时，二项式 系数逐渐减小当n是偶数时，中间一项的二项式系数最大；当n是奇数时，中间两项的二项式系数 最大.(4)各二项式系数的和：(a+b)11的展开式的各项二项式系数之和为_2。_，即个+小+ C=_2n_. (5)奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和，即G+W+-=_G+或+=_2门1、(2

3、023北京)(2x-)5的展开式中，x的系数是()xA. -40B. 40C. -80D. 80【答案】D【解析】由二项式定理可知(2x-)5展开式的第+ 1项 XTz =C；(2x)5-r(-)r= (-1/2 5-rC5x5-2r, (r = 0, 1,，5) x令5-2r=1,可得r=2.即含x的项为第3项，T3=80x ,故x的系数为80.故选：D .2、(2023天津)在(2d,)6的展开式中，Y项的系数为 .【答案】60.【解析】二项式(2/ 与的展开式的通项为小=最(2丁产.(_% =晨26-.(-1)，.一力, XX令18 4r=2得,尸=4, ,X2项的系数为C；2? X (

4、-1)4 = 60.A. 320B. -160C. 160D. -320【答案】D【解析】的展开式通项为Tr+=晨2YX)=晨21贝2xTr+i。”一产,因为 N,贝 IJ7 2/=2, aTk+=aC2k -x6-2k,令 6 2 左=2,可得左=2,则 qC，？= 60。= 一 120 ,得。=2,因为7 2尸wO,在一令6 2左=0,可得左=3,因此，展开式中的常数项为-2C：x23 =-320.3、（2022山东临沂高三期末）若故选：D.的展开式中，只有第6项的二项式系数最大，则该项式的展开式中常数项为（A. 90B. 90C. 180D. 180【答案】C【解析】解：因为则通项为10

5、-r的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则项数片10,即(2X10-51=(-2)/1丁，2 丫3令 = 0n = 2,贝1(=(2)2 Cfo =180.故选：C.4、（2023黑龙江大庆统考一模）已知n的展开式中第4项与第5项的二项式系数之比是2:3,则X),展开式的常数项为.（用数字作答）【答案】9； -672C3 2 【解析】由题意得H =即3!（ 3）! 2乙一大，解得 =9.n4!( 4)!/八9/ 、Y9一314-j展开式的通项为4+i =c.(4)=c;(-2)x亍.9 3 rq令号1 = 0,解得r=3,故展开式中的常数项为C(-2)3=-672.故答案为：9； -6725

6、、(2023江苏南通统考模拟预测)(x + y-2)5的展开式中，的系数为.【答案】-60【解析】(1 +广2)5=卜+ 3-2)丁，要找到展开式中含有一/的项，需从C*2(y 2)3中找到含有的项,即以x2c2(_2)L_60；y2 ,故 f/的系数为 -60 .故答案为：-60.6、(2023江苏南京校考一模)在二项式(l-3x)的展开式中，若所有项的系数之和等于64,那么在这个展开式中，V项的系数是.(用数字作答)【答案】135【解析】在(1-3司中，令x = l得所有项的系数之和为(-2)，依题意，(-2) = 64,解得 =6,因此(1 -3x)6的展开式的通项为入=晨(-3幻= (

7、-3)屋 “ =aQ+ axx + a2x2 +a3x3 -t-a4x4 + a5x5,则 a2 =【答案】8, -2.【解析】（x-l）4 =/-4丁+6f-4x + l ,=4 + 12 = 8；令 x = 0 ,则 & = 2 ,令 x = 1 ,贝 lj & + q + / + / + 4 + % = 0，% + 4 + Q3 + 。4 + 。5 = -2 故答案为：8, -2.5、（2022新高考I ） （1一上）。+ ）8的展开式中一j6的系数为 （用数字作答）. x【答案】-28.【解析】（x + y）8的通项公式为晨】=C；fTy ,当尸=6 时、7； = Cjx2/ ,当r=

8、5 时，7； = C1x3y5,.(1-2)(x + yf的展开式中x2y6的系数为C；-C； = -= 28-56 = -28.x6 !- 2! 5 !- 3!故答案为：-28.6、（2022天津）（五+与5的展开式中的常数项为 厂【答案】15.【解析】 +45的展开式的通项是c；/“（与XX要求展开式中的常数项只要使得5-5尸=0,即=1，常数项是C； x3 = 15 ,故答案为：157、（2022上海）在（丁 +,产的展开式中，则含4项的系数为 xx【答案】66.【解析】展开式的通项公式为 几=叱（一产与=。芥36一43由36-4% = -4,得4A = 40, x即1产理婷二曾，即含二

9、项的系数为66, XX故答案为：66.8、(2023上海)已知(1 +2023%-+(2023 x)i= %+平 + %12+00yo，若存在左0，1，2,，100使得4 0,则%的最大值为【答案】49.【解析】二项式(1 + 2023x)1 的通项为加=.0(2023 = Goo , 2023 ，/ 0, 1,1, 2,，100,，1009二项式(2023 - %)100的通项为= 002023100f (-x = 0c. 2O23loo-r -(-1/, re 0， % =C；oo 2023、C；0G . 2023*4,(一1)*=。22023k+2023*%.(一1力，左 e 0 , 1

10、, 2,若4 0,则左为奇数,此时 ak= %(2023 2023*)， . 20234 - 2023* 0 ,左 + 叩 + %-+ 4 ,则 4+%+。4=()A. 40B. 41C. -40D. -41【答案】B解析】法一：, (2x-I)4=(?4x4 + a3x3 + a2x2 4-axx + 为， 可得旬=C： = 1，% = C： x 2? = 24 , % = C： x 2, = 16 ,/. q()+ % + 4 = 41，故答案为：41.法二：*/ (2x -1)4 =(74x4 + a3x3 + a2x2 + axx + 4 ,令 X 1 ,可得 Q()+ Q + 3 +

11、 % + 44 = 1 ,再令工二一1 ,可得 4 - - / +。4 =(一3)4 =81 ,二两式相加处以2可得，4 +。2 +% = y = 41,故选：B.1、（1+2x）5的展开式中，x2的系数为（ ）A.10 B.20 C. 25 D.40【答案】 D【解析】T+产a（2x）=2x，当r=2时，x2的系数为或 22D.2、若（x+x?展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（）A.6 B.12 C. 20D.32【答案】CTr【解析】二项式系数之和2n = 64，.二n = 6，Tr+1 = Q x6-r IxJ =。版6-2r ,当6 2r=0，即当r=3时为常 数项，T

12、4=C$Cf 1153、（2021 青岛二模）已知（x+l）xj的展开式中常数项为一40,则。的值为（）A.2B. 2C.2【答案】cf i5f nr【解析】 J的展开式的通项公式为7；+l=Cg（QX）5F X）= （-l）ra5rCf5X52r9令 52r 1 可得 r=3,令5 2r=0可得尸不符合题意，舍去. 2A(-l)V3a=-40,即 104=40, Q =2.4、（2022,广州三模）若 x8 = 6Zo+6Zi（x+ l） + 2（x+ 1）2Hba8（x+ 1）% 则。3=.【答案】一56【解析】由题意可知，X=a+D18,则G+1）-18展开式的通项为+=软.（+1）阮（

13、一由8=如+ a（x+ l） + df2（x+ 1）2HFq8（x+1）8,得所求的项是 Q3（x+1）3,令 8 尸=3,解得尸=5,所以俏=（一 1）5 = a()x5+ ax4+ ax +。5(1)展开式中各项的系数之和为0 +。1 + 2 +。3 +。4 + 5,令 x= 1,得 40+0 + 02 + 43 + 04 + 45 = ( 2)5= 32.(2)展开式中所有奇数项的系数之和为。0十。2 +。4.令x=1 , 得一4o + l。2 +。3 。4 +。5 = ( -4)5 = 1 024.又 00+01+42 + 03 + 04+05= - 32.(2)由一整理，得Q0 +。

14、2 +。4 = 496.变式2、已知在(工一3)的展开式中，各项的二项式系数和为32,求：求展开式中各项的系数的绝对值 的和.【解析】展开式中各项的系数的绝对值的和为+ |的| + |。2| + |闾+同+ |。5|.方法一: 可知 Io| + |。2| + |死| = 的一+ 2一 的 +。4 。5= 1 024.方法二：可知闷+闷+闷+同+咫|即是二项式a+3)5展开式各项的系数和,令1=1,得其和为1 024.变式3、已知在(x3)的展开式中，各项的二项式系数和为32,求：求展开式中二项式系数最大的项.【解析】因为n = 5,展开式共6项，所以二项式系数最大的项为第3, 4两项，所以二项

15、式系数最大的项为乃= CgR( 3)2 = 90?,74 = Clr2( 3 = 270x2.变式4、已知在(x3)的展开式中，各项的二项式系数和为32,求：求展开式中系数的绝对值最大的项.【解析】设展开式中第一+1项系数的绝对值最大，则+I = CW(-3)=( 3)(泊，3y勺23-9孔7q所以解得3ygN3Hle22所以尸=4,即展开式中第5项系数的绝对值最大，5= CM-3)4=405x.变式 5、(多选题)对任意实数 X,有(2x 3)9 =Cl() +Q (x 1)2 +。3(11)3 1)9 则下列结论成立的是（A.2=144B. 4 = 1C. 。() + % + , + %

16、= 1D. a() % + 电/ + 一 % = -3)【答案】ACD【解析】对任意实数X,看(2x 3) Q()+ 6Zj(X _ ) + %(X 1) + % (% I)? + + %(X 1) - 1+2 (X - 1 ) /.a2 =-C； x 22= - 144,故 A正确;故令x=l,可得QO=-1,故8不正确;令X = 2,可得Qo+Q1+Q2+.+Q9=1，故C正确;令X = 0,可得Qo -。1+2+-。9= - 3，故。正确；故选：ACD.方法总结：“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如（qx+6）、（qx2+6x+c严（Q、bR）的式 子求其展开式的各项系数

17、之和，常用赋值法，只需令x=l即可；对形如（qx+”）伍，bR）的式子求其展 开式各项系数之和，只需令X=y=l即可.考向三二项式定理的综合应用例 3 （1）19OClo+902Go903c%+（i）k9Ok0fo+ 901吧出除以 88 的余数是.（2）设复数 x= 2。,是虚数单位），则 aoi9x + Coi9X2+Coi9X3+- + ax2O19=.1 Z【答案】(1)1(2) -Z-1【解析】(1)1-90CIo+9O2C?o-903C+ + (- 1 )0HF9OloCl8=(l -90)10=8910 = (88+ 1)10=881O+Clo8894卜o88+l，前10项均能被

18、88整除，余数是L2z (1+z)(1-z) (1+z)=1+z 5Cio 19X+C2019X2+ Cjo19X3+ , , , C81 x2019=(1 +x)2019 1 =z2019 1 = i 1变式1、（1）设qZ,且0W13,若512 018+能被13整除，则。的值为（）A. 0 B, 1 C. 11 D. 12【答案】D【解析】由于51=521,故(521)2。18 =/018522。18 。018522。*+CM序21+ 1.又13整除52,所以 只需 13 整除 1 +。.又 0Wq13, qRZ,所以。=12.变式2、（2020江苏省南京师大附中高二）已知（1 +X广山=

19、4+小+&/+ +廿+gN*.记 这(2左+ 1)%k=0（1）求石的值;（2）化简7；的表达式，并证明：对任意的，Z,都能被4 + 2整除.【答案】（1） 30； （2）1=2（2 + 1）。*，证明见解析.【解析】由二项式定理，得勾二穹向 = 012,2 + 1）；（1） T2= a2+ 3al + 5旬=C； +3C： + 5C； = 30 ；（2）因为W + l + QC然T= （ + l +左）（2/7 + 1）!（ + l +左）!（一女）!（2 + 1）（2）！+ 左）!（ 一女）!=（2 + 1）。片,所以7；这（2左+ 1）* =（2k+ 1）。宾=（2左+ 1）宵 k=0k

20、=0k=0= 2（2 +般。片-（2 + 1）。需=2（2 + 1）.；（22+0）（2 + l）；22（2 + l）C: k=0k=0,Tn =（2n + l）CJ=（2 +1）（&二 + CM） = 2（2 + 1）C因为所以7；能被4 + 2整除方法总结：整除问题，解决整除问题要点为：（1）观察除式与被除式间的关系；（2）将被除式拆成二项式；（3） 结合二项式定理得出结论.此外二项式定理还可应用于不等式的证明.A. 80B. -80C. -40D. 40【答案】B15-5左= （-2）ACx,15 一 5”【解析】二项式五-鬲 的展开式的通项为加= C（4广.1、（2023江苏连云港统考模拟预测）二项式（4-金的展开式中常数项为（）令J = o,则左=3, 6所以常数项为（-2）七；=-80.故选：B.2、（2022山东省淄博实验中学高三期末）（2x + q）Q + 21的展开式中/的系数为一120,则该二项式展开式 x J中的常数项为（