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1、8.2二项式定理（精讲）二项式定理1 .二项式定理：（+人）=%+*/1 +.+此厂与%+.+ （ （力金N*）项数为71+1各项的次数都等于二项式的赛指数，即与b的指数的和为n字母4按降赛排列，从第一项开始，次数由逐项减1直到零；字母按升赛排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到机2 .通项公式:2+i = C%F=g （r），它表示第+1项h （r）=。钠+ |是常数项；h （r）是非负整数是整式项；h （r）是负整数U77+I是分式项；h （r）是整数为+i是有理项.3,二项式系数：二项展开式中各项的系数为喘，*，qt二.二项式系数的性质一.形如3+力”（金N*）的展开式中与特定项相关的量
2、（常数项、参数值、特定项等）的步骤写出二项展开式的通项公式/+1=第/一切勺常把字母和系数分离开来（注意符号不要出错）；根据题目中的相关条件列出相应方程（组）或不等式（组），解出r；把人代入通项公式中，即可求出/+,有时还需要先求，再求匕才能求出八+i或者其他量.二.求形如3+5产（c+d）（m，N*）的展开式中与特定项相关的量的步骤根据二项式定理把（+4与（c+H分别展开，并写出其通项公式；根据特定项的次数，分析特定项可由3+4与（c+的展开式中的哪些项相乘得到；把相乘后的项合并即可得到所求特定项或相关量.三.求二项式系数最大项1 .如果是偶数，那么中间一项（第1 + 1项）的二项式系数最大
3、；2,如果是奇数，那么中间两项（第等项与第等+1项）的二项式系数相等且最大.四.求展开式系数最大项求（+云）（入bR）的展开式中系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为4,A2,4+”且第2项系数最大，应用伊解出k五.求三项展开式中特定项（系数）的方法方法一：通过变形把三项式化为二项式，再用二项式定理求解方法二：两次利用二项展开式的通项求解C；23NC；3C；2-3r C-3r+l12!r!-(12-r)!12!r!-(12-r)!-3r-3r 12!(r + l)!-(ll-r)!12!3+i 3539,解得亍工厂一, or-l44J整理可得/+几 156 = 0 , Q2
4、2且 wN*,解得 = 12,（1 + 3x）12的展开式通项为 T= Ct -（3 = Cf23%k（k = 0,1,2, ,12）,设展开式中第一+ 1项的系数最大，则因为故尸=9,因此，展开式中系数最大的项为第10项.故选：D.A. a2 = 1443. （2023 春山东青岛）（多选）已知（l + 2x）9 =4（）+/ + 212+ +。/9,贝lj （）B.。()+ 4 + W + / + % = 3“C. 4 + / + % + % = / + % + 4 + & + G = 28 D. q(i = 0,l,2,8,9)的最大值为&【答案】ABD【解析】A选项，根据二项展开式的通
5、项，a2=C-x22=l449A选项正确;B选项，取x = l代入等式，得到3。= 4+ 4+% +6+。9，B选项正确;C选项，取x= 1代入等式，得到-1 = %-+ a8 -a9,结合 B 12项 a。+ q +。2 + “8 + “9 =3 , 1两式相力U得4）+/ +。4 +4 +G = 9841 w 2*,故C选项错误;D选项，根据二项展开式的通项，=C）2,令a. 。在,即ai ai-1720解得力（注彳，又icN,故i = 6,即 6最大，D选项正确.故选：ABD4. （2023福建宁德校考模拟预测）（多选）若（2x l） =/+。（%-1） + 2（%-1）2+xgR ,B
6、. 4 + 凡 + +1。= 3）C. % = 180D. % + 24 + 3/ + +1 Ocio = 10 x 3。【答案】AC【解析】令x = l得：（2乂1-1）|。=1=/，所以选项A正确；令 X = 2 得：310 = 6Z0+ + Z2+。0，所以 q + % + , +。10 = 3皤1 ,所以选项 B 错误；因为（2%_=2（%-1） + 1:所以Tr+1= C；o 2（%所才，7= 22 = 180,选项C正确;（2尤-1） =c%+4（x-） + a,（x1） + +q（）（x-1）,两边对x求导得：10x（2x-l）9x2 = q + 22（工一1） + 33（1一1
7、）2 + +106r10（x-l）9,令x = 2得：4+2%+3% + , + 10z10= 20x39,选项 D 错误；故选：AC.考法六二项式定理的应用【例61】（2023春课时练习）设为奇数，那么11 +。：1产+猿11一2 + .+。片.11_1除以13的余数是（）A. -3B. 2C. 10D. 11【答案】C【解析】ll +CllT+dll2+. + c;T=+2+ + C：i.ll + C；-2= （U + l）_2 = 2_2 = （13_l）_2 = C13Y3t+. + （_1JIC；I3 + （_1）C；_2因为为奇数，则上式二C）13C：13T+ + （l）fc13
8、3=C13一C；13t+ + （1）ZC,：T13 131 + 10.所以11 + ；-1产+底,1广2+,. + c；t.ii_i除以13的余数是10.故选：C.【例62】（2023北京）今天是星期二，经过7天后还是星期二，那么经过2221天后是（）A.星期三B.星期四C.星期五D.星期六【答案】D解析22021 = 4X 22019 = 4X8673 = 4X (7 +1)673 = 4(C* 7673 + Cj73 - 7672 + . . + 嘀. 7 + 嗡),由于括号中，除了最后一项外，其余各项都能被7整除，故整个式子除以4的余数为4或；=4 ,故经过22皿天后是是星期六，故选：D
9、.【例63】(2023全国高三专题练习)(1.05)6.【解析 1 (1.05)6= (1+0.05)6= 1+C： ,0.05+C；- 0.052+ 1+0.3+0.0375=1.3375 1.34故答案为：L34【一隅三反】1. (2022全国高三专题练习)1.028。 (小数点后保留三位小数).解析1.028 = (1 + 0.02)8 = 1 + C； x 0.02 + C； x 0.022 + C： x 0.023 + . + C； x0.028,由二项展开式的性质易知，C；x0.023 4225 +. + C?472,其中C4i26+C)4225 + C472各项均可被7整除，只需
10、判断C；1427 =2, = 128除以7的余数即可，而128 = 7x18 + 2 ,所以余数为2.故答案为：23. (2022秋福建泉州高三福建省南安国光中学校考阶段练习)C:0.998 + C；0.9982 +C；0.9983+C；0.9984+C；0.9985 x (精确至I0.01)【解析】原式=(1 + 0.998)5 -1 = (2 - 0.002)5-1故答案为：30.84.方法三：利用排列组合的基本原理去求，把三项式看作几个因式之积，得到特定项有多少种方法从这几个 因式中取因式中的量六.二项式定理应用1 .用二项式定理处理整除问题，通常把幕的底数写成除数（或与除数密切关联的数
11、）与某数的和或差的形式，再利用二项式定理展开，只考虑后面一、二项（或者是某些项）就可以了.2 .利用二项式定理近似运算时，首先将嘉的底数写成两项和或差的形式，然后确定展开式中的保留项，使 其满足近似计算的精确度.考点一二项式定理的展开式【例1】（2023广西柳州）化简16-32%+ 24%2_8/+%4=（）A. x4B. （2-x）4C. （2 + x）4D. （l-2x）4【答案】B【解析】16 32x + 24f8/+/=。：24 +。；23（x） + C：22（x+C：2（x）3 + C：（x）4=（2 故选：B【一隅三反】1.（2022高二课时练习）设 A=37+ C； O+ C；C
12、；.3, B= C -36+ C?.34+ C； l+l,则 A-B 的值为（）A. 128B. 129C. 47D. 0【答案】A【解析】A-B = 37-C；.36+C35-C34+C33-Cj.32+C3-1=（3-1）7=27=128故选A.2. （2023重庆九龙坡）2c：+6C； + 18C； + 2x3iC； =A.B. -（4n-l）C. 2x3iD.【答案】B【解析】2c：+6C； + 18C3+ +2x3iQ = -（C；x3 + C32+ C；x3/j） = -（C； x 3 + C； x 3 + C 32 + &x3-1）22（1 + 3）- 1=（4f 选 B.考点二
13、二项式指定项的系数的展开式中，含x的项的二项式系数为（）【例21】（2023全国高三专题练习）在二项式 CA. 28B. 56C. 70D. 112【答案】A【解析】回二项式（五-2 k x8|的展开式中，通项公式为= C(2)告,令4-日=1,求得r=2,可得含x的项的二项式系数为C；=28,故选：A.【例22】（2022甘肃兰州统考一模）Rx-工丫的展开式的常数项是（）IA. 40【答案】DB. 40C. 20D. 206-2 rA【解析】二项式（2%-的通项公式为却=q.（2%）6f 一J =c262./、6令6 2 = 0 = = 3,所以2x的展开式的常数项是C；26-2x3.（_i
14、）3=_20,故选：D1 2xJ【例23】（2023海南海口海南华侨中学校考模拟预测）1 + /t（2-x）6展开式中/的系数为（） 2x ）A. 270B. 240C. 210D. 180【答案】A【解析】（2-x）6展开式的通项公式为（讨=（-1）/26-,则原展开式中/的系数为（-1）2 x2C； +1x（-l）4x22CJ = 270 .故选：A【例24】（2023四川绵阳统考二模）（3 + 2x）展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则的值为（）A. 8B. 7C. 6D. 5【答案】C【解析】因为只有一项二项式系数最大，所以为偶数，故 + 1 = 4,得 =6.故选：C【一隅三反】
15、（7Y1. （2023北京高三专题练习）在二项式X- 的展开式中，含/项的二项式系数为（）D. -10【答案】A【解析】由题设，&】=C5r（*）r=（_2）C；产”, 回当r=1 时，(=(2)(；/=一 10/.团含丁项的二项式系数C；=5.故选：A.的展开式中的常数项是（2. （2023河南驻马店统考二模）（x-1）A. -112B. -48D. 112【答案】D【解析】2展开式的通项为（m=G-（2）,= （2qxT. 、x JIX J令厂一5 = 0,得r=5,贝2）5xC；=32；令一5 = 一1,得r=4,则（=（2）4xC；/=80x，故（x-1）（L-21的展开式中的常数项是
16、1x80+（1）x（-32） = 112.故选：D.3. （2023全国高三对口高考）在-的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是（）35 A. -7B. 7C.8【答案】D【解析】因为展开式中只有第5项的二项式系数最大， 所以 =8, Tm= C；（=产（）= （-1/ - 2小螳产2% ,令8 2左=0,得k = 4,所以展开式中常数项是岂=(-1)*2 + C；=3.故选：D O考点三三项式指定项系数【例3】(2023全国高三专题练习)尤2+二一21的展开式中常数项是() x JA. 252B. 220C. 220D. 252【答案】A【解析】由，+!2)5=(xy,可
17、得二项式(x-Ly的展开式通项为： xXX。+1=。0一(令10 2r=0,解得r=5,团展开式的常数项为(一1)56。=252.故选：A.【一隅三反】L (2023河北沧州校考模拟预测)(Yx+yf的展开式中 w 的系数为()A. -10B. 10C. -30D. 30【答案】C【解析】(/- x+y)可以看做5个盒子，每个盒子中有-x, y三个元素，现从每个盒子中取出一个元素，最后相乘即可，所以展开式中含/丁的项为C；卜2 )2 * c； (_x)xCy = -30/y2 ,故展开式中的系数为_30.故选：C.2.(2023辽宁大连二十四中校联考模拟预测)(工+ 2丁-32)6的展开式中孙
18、223的系数为(用数字作答).【答案】-6480【解析】因为(x + 2y-3z)6 =(x + 2y)-3z6,设其展开式的通项公式为：Tr+i= C；(x + 2y)6-r . (-3z)r= C；(x + 2y)6- x(-3)r - z0 r 6,r e N ,令r=3 ,得(x + 2yy的通项公式为.(2y=Cf x.yO/?iC；x22 =-6480,故答案为：-64803.（2023秋福建三明高三统考期末）2T展开式中常数项是 x ）.（答案用数字作答）【答案】-68【解析】2 +5的展开式的通项为25 yx=-kCk5Ckxk-r (-l)r= (-l)r 25-kCCrkx
19、k-2r , 0r/s77 = 10 ,故展开式中X的系数为C；o（-2）= -20,故答案为：-203. （2023福建厦门统考模拟预测）已知（五-的展开式中第二项的二项式系数比该项的系数大18,则 展开式中的常数项为.【答案】60的二项展开式为：7；t=c：（五厂所以它的第二项的系数为：5=（-2）该二项式的展开式中第二项的二项式系数为：C：,的展开式中第二项的二项式系数比该项的系数大18,所以有:CY(2)= 18 = = 6,，l八6/ l6 7Y6-2所以二项式为，由展开式通项为：刀讨=晨 4- =q.（-2）r.（%）-x） X）令 = 0n厂=2,所以展开式中的常数项为：7；=篮
20、（一2）2=60.故答案为：60.考法五系数最大项和系数和【例51】（2023上海浦东新华师大二附中校考模拟预测）（x + 2）8的二项展开式中系数最大的项为【答案】1792x2,1792/【解析】设（工+2）8展开式的第一+i项的系数最大，解得54 Y6,所以系数最大的项为第6或第7项,所以系数最大的项为：7；=C25-x3 = 1792?,T7 =Cg-26-x2 =1792x2.故答案为：1792%21792/【例52】.（2023辽宁朝阳朝阳市第一高级中学校考模拟预测）（多选）已知函数/（x） = （1 -2x）6=%+4/ + 2/ + g%6 （ % R , i = 0,l,2,3
21、,6 ）的定义域为R,则（）A. 。0 +。 + % + , , + ”6 = - 1C. % + 2% + 3% + + 6c% 12D. 5）被8整除余数为1【答案】BCD【解析】因为/(x)=(l-2x)6 ng+qx + az/HF/f,对于A：当x = l时，= 一2)6 =%+4+/+.+ 4 =1 ,，故A错误;对于 B：当产1 时，/(-1) = (1 + 2)6 =% -勾 + 七 + + % = 3,，(2),一得2(巧+%+%) = 1 3,解得q + 4 + % = 1 2 = 一364,故B正确;对于 C：/(X)= 12(1-2x)5 =% +2%工+3。3X2 +
22、.+ 6。62，令 x = 1 得 /(1) = q +2/ +3/ +. + 6。6 = 12(1 2)5 = 12 ,故 C 正确； 对于 D：/（5）= 96=（8 + l）6=86+C* x85+Cx84+. + qx8 + l,所以 “5）被8整除余数为 1,故 D 正确.故选：BCD【一隅三反】（1V1. （2023全国模拟预测）x-i 的展开式中系数最大的项为（I y）A. 70【答案】DB. 5656?56x5C.-1或yD.70x4y4（ 1，1Y【解析】%-的展开式的通项公式为-_L =（lyqd-,一，（-i）G=q，由二项式系I y）I y）（1 18数中，C：最大，此时该二项展开式中第5项的系数（-1）4 C；最大，0 X-的展开式中系数最大的项为I y）故选：D.2. （2023湖北襄阳襄阳四中校考模拟预测）已知（l + 3x）的展开式中前三项的二项式系数和为79,则展开式中系数最大的项为第（）A. 7 项B. 8项C. 9项D. 10项【答案】D【解析】（1+3%）”的展开式中前三项的二项式系数和为C：+C：+C：=l + +若4 = 79,