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1、/第58讲二项式定理走进教材1 .二项式定理二项式定理（。+b）n=C9q+C1q i + + C 犷恸 + + C纺 p N*）二项展开式的通项Tk+Cd/,它表示展开式的第3+1项二项式系数琮攵=0,1, ，)2 .二项式系数的性质对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.(2)增减性与最大值：当是偶数时，中间的一项C：取得最大值；当是奇数时，中间的两-1 +1项c；与c；y相等，且同时取得最大值.(3)各二项式系数的和：(+”?的展开式的各二项式系数的和等于2：.【常用结论】1 .两个常用公式(DC9+CI+C 汁+C；=2.(2)C9+e+C廿=Cl+C?+C科=2-1.2 .
2、二项展开式的三个重要特征字母a的指数按降幕排列由n到0.(2)字母b的指数按升累排列由0到n.(3)每一项字母a的指数与字母b的指数的和等于n.考点探究题型突破,考点1通项公式的应用举一反三1 .已知(3x1)展开式的第5项的二项式系数最大，且为偶数，则(3x1)展开式中好的 系数为()A.-252B.252C.-28D.28答案B解析 由题意可得 =8,贝!(3X1)8的展开式的通项是r+1 =最3)8一飞一令8=2, 解得尸=6,则展开式中好的系数为C832=252.2 .(2022杭州调研)在g一点的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中系数 最小的项的系数为()A.-126B
3、.-70 C.-56D.-28答案C解析只有第5项的二项式系数最大，.” = 8, g田的展开式的通项为_3，+1 = (1)仁机8-7(左=0, I, 2,，8),展开式中奇数项的二项式系数与相应奇数项的系数相等，偶数项的二项式系数与相应偶数 项的系数互为相反数，而展开式中第5项的二项式系数最大，因此展开式中第4项和第6 项的系数相等且最小，为(一1C?= -56.3 .已知为满足S=+C%+C%+C37+C多(心3)能被9整除的正数的最小值，则Q3 的展开式中，系数最大的项为()A.第6项B.第7项C.第11项D.第6项和第7项答案B解析 S=+C7+C37+C*+ +C %= + (1
4、+ 1)27 C%=(9iy+及一1=9(98Ci97 H卜 C|)+ 一 2,W3,S能被9整除的正数的最小值是-2 = 9,，=11.Q0”的展开式中的通项公式为=（一1）仁依一2只考虑左为偶数的情况，由八=C%3, G=c%xj Tg=cx-可知系数最大的项为第7项.名师点睛（1）求二项展开式中的特定项，一般是化简通项后，令字母的指数符合要求（求常数项时，指 数为零；求有理项时，指数为整数等），解出项数左+1,代回通项即可.（2）对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组 合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏.典例/Q1. （2022北
5、京市第一零九中学高三阶段练习）X2-的展开式中/的系数为（）A. 20B. -40C. 40D. -10【答案】C【分析】根据二项式展开式的通项即可求解.【详解】工展开后的通项为二产（/厂（二=（_i）2c， x J x J令 103片4 0片2,所以（1）2? I 2 I 2，故选：C2. （2022江苏海安高级中学高三阶段练习）（x-y）（x+y）8的展开式中dy6的系数为（）A. 28B. -28C. 56D. -56【答案】B【分析】由二项式定理将（x+y）8展开，然后得出（x-yXx+y）即可求出V俨的系数.【详解】由二项式定理：（九一y）（x+y）8= ）- +C= x（CW+C，
6、V + +C；?y）_y（C；f+ +C|xy8）=（8。+的卬+ +c#*_（c%R+c/y2+ +*y）观察可知d y6的系数为c； Y = C； C；=兴-宇岩 = -28.2x3x2x1故选：B.3. （2022山东青岛高三开学考试）在仁-21的展开式中，常数项为（）A. 80B. -80C. 160D. -160【答案】D【分析】根据二项式展开式的特征即可知中间项（第4项）为常数项.【详解】由于X,互为倒数，故常数项为第4项，即常数项为 X2、3-=20x(_8)= _160, x )故选：D举一反三1. （2022广东珠海市第三中学二模）（1-2x）5的展开式中，/的系数为（）A.
7、 -160B. -80C. 80D. 160【答案】B【分析】使用二项展开式的通项进行计算即可.【详解】（1 2x）5的展开式的通项是C；尸（_2& =（2）cR,= 0,1,2,3,4,5.）由题意，k=3,因此，V的系数是（_2）七；=-80.故选：B.2. （2022河北高三阶段练习）关于二项式（1 +以+/）（1-幻8,若展开式中含/的项的系数 为21,贝1。二（）A. 3B. 2C. 1D. -1【答案】c【分析】根据二项式展开式可求得含Y的项的系数，即得方程，求得答案.【详解】由题意得一的系数为1xC；x（1）2+qxC；x（l） + lxC；=21,解得。=1,故选：C.3. （
8、2022全国高考真题）（1-的展开式中的系数为（用数字作答）.【答案】-28【分析】（i-2（x+y）8可化为（x+y）8-2（x+y）:结合二项式展开式的通项公式求解.【详解】因为（1t（x+y）8=（x+yY X JX所以的展开式中含Yy6的项为C；/y6）X3了5=-28/丁6, I X JX1 -21（工+ y）8的展开式中Vy6的系数为.28故答案为：-284. (2022天津高考真题)的展开式中的常数项为【答案】15(L 3 Y5-5r【分析】由题意结合二项式定理可得 +弓 的展开式的通项为0丁，令 x J上=0,代入即可得解.(q、55 ( &5-5，【详解】由题意 五+弓 的展
9、开式的通项为J=G(五厂.弓 =磋.3.1, x )x/，一5令=-=0 即厂=1,则 G，3=。卜 3 = 15,的展开式中的常数项为15.故答案为：15.A考点2二项式系数与项的系数的问题名师点睛赋值法的应用一般地，对于多项式(Q+bx)=ao+aix+a2NHaf1xfl9令 g(x)=(a+/zx)，则(a + bx)的展开式中各项的系数和为8(1),(。+乐)的展开式中奇数项的系数和为；痣(1)+且(-1),(。+法) 的展开式中偶数项的系数和为4g(l)g(l).典例L (2022全国模拟预测)已知(犬+ 2)的二项展开式中，第三项与第-2项的二项式系数和 为84,则第四项的系数为
10、()A. 280B. 448C. 692D. 960【答案】B【分析】根据第三项与第-2项的二项式系数和为84,可求得，利用通项公式求解即可.【详解】由题， 因为第三项与第2项的二项式系数和为84,所以C：+C；3=84,即CC：=84,所以 二 84,解得力=8, 23x2所以第四项的系数为C；xJ3x23 =448,故选：B（L1 Y2. （2022广东广州高三阶段练习）若2五的展开式中第2项与第6项的二项式系数相等，则该展开式中的常数项为（）A. -160B. 160C. -1120D. 1120【答案】A【分析】根据第2项和第6项的二项式系数相等可构造方程求得，由此可得展开式通项，令
11、=3即可求得常数项【详解】因为（2-9）展开式中的第2项和第6项的二项式系数相等,（厂1 V2-：展开式通项公式为:y/x 令3-=0,解得：厂=3, .该展开式中的常数项为C：(-1)、23 =-160,故选：A3. (2022北京高考真题)若(2x - 1)4 =%/ +”313 +2m2 +4工 +。0，则 Qo+2+4=(A. 40B. 41C. -40D. -41【答案】B【分析】利用赋值法可求。（）+生+。4的值.【详解】令 X = 1 ,则。4 +。3 +。2 + 4 +。0 = 1，令 x 1 9 则 % 4 + 4 4 +-3)-81,1 + 812= 41,故选：B.举一反
12、三1. （2022江苏常州高三阶段练习）已知（X + 1）（X-1）5 =4+41+%X2+&工6 ,则。3 的值为（）A, -1B. 0C. 1D. 2【答案】B【分析】根据（X+1）（X 1）5=X（X I）（X1）1结合二项式定理求解即可.【详解】因为（X+1）（X 1）5=MX 1）（X 1）5，（X if展开式第一+ 1项7句=C5T（7）二6（_1）5-，当r=3 时，xC；（_l）3Y =_1013,当不=2 时，C；（1）2/ =10/ , 故为工3=10%3+10工3=0,艮J/=0.故选：B（ 八2. （2022北京市广渠门中学高三阶段练习）若%-的展开式中的第4项和第5项
13、的二项式系数相等，则展开式中1的系数为（）A. 280B. -280C. 560D. 一560【答案】B【分析】根据第4项和第5项的二项式系数相等可构造方程求得，由此可得展开式通项， 令r=3即可求得x的系数.【详解】；%- 展开式中的第4项和第5项的二项式系数相等，.C：=C：,解得： =7, I x）（ 八 7（7V%-展开式通项公式为：- =（-2）rC；x7-2r,令7-2丫 = 3解得：r = 3, %的系数为（-2）七；=-280.故选：B.3. （2022福建省漳州第一中学模拟预测）已知五（。为常数）的展开式中所有项 N x y系数的和与二项式系数的和相等，则该展开式中的常数项为
14、（）A. -90B, -10C. 10D. 90【答案】A【分析】由题意可得（。-1）5=25,得。=3,然后求出二项式展开式的通项公式，由X的次数【详解】因为为零，求出人 从而可求出常数项.（。为常数）的展开式中所有项系数的和与二项式系数的和相等,所以(-1)5 = 2,得。=3 ,所以则其展开式的通项公式为4+i =G（3&）j15-5 厂= C；35，(心二令以 =0,6得3,所以该展开式中的常数项为C35-3 . （1）3 = 90 ,故选：A4. （2022江苏南通高三开学考试）在6的二项展开式中，奇数项的系数之和为（）A. -365B. -364C. 364D. 365【答案】D1
15、-?的展开式通项为中= C(-2)7 ,【分析】写出展开式通项，即可求得展开式中所有奇数项的系数之和.【详解】 因此，展开式中所有奇数项的系数和为C：+或（-2+C：.（-2+C：2=365.故选：D.65. （多选）（2022湖北黄冈中学高三阶段练习）已知（尤+ 2）6=2,则（）/=0A. q + % + / + % + % + & = 666B. % = 20C. % + % +。5 % +。4 + a6D. % + 2/ = q + 2% + 3a5 + 4c%【答案】CD【分析】对于A,利用赋值法求解，对于B,利用二项式展开式的通项公式求解，对于C, 利用赋值法求解，对于D,利用二项
16、式展开式的通项公式求解.详解】对于 A,令 x =。，贝U % = 2 = 64 ,令 x = 1 ,贝ij 4 + % + % + 4 + % + 4 + % = 3 = 729 ,所以4 +生 +/ +4 +。5 +。6 =729-64 = 665 ,所以 A 错误，对于B,二项式展开式的通项公式为%+%+4，所以C正确，对于D,因为二项式展开式的通项公式为(m=C6-.2-，所以4=x25 =192,%=C：x23 =160,4=C；x22 =60 , a5 =Cx2 = 12, 6=Cx2=l,所以4 +2% =192 + 2x64 = 320, a3+ 2tz4 + 3a5 + 4t
17、z6 = 160 + 2x60 + 3x12 + 4x1 = 320 ,所以q+2/ =。3 + 2%+3。5+4。6，所以 D 正确，故选：CD6. (2022浙江高考真题)已知多项式(x + 2)(x-l)4 =%+ 俨 +。2心 + a3x3+ a4x4+ a5x5,则a2=, a + a2 + % + % + % =.【答案】 8-2【分析】第一空利用二项式定理直接求解即可，第二空赋值去求，令x = 0求出。，再令x = l 即可得出答案.【详解】含 V 的项为：xC；x-(l)3+2-Cjf.(_i)2=_4%2 + i2%2=8%2,故4=8；令 X = 0 ,即 2 = g ,令
18、 X = 1 ,即。=。0 + 4 +。2 +。3 +。4 +。5，q + % +。3 + / +。5 = -2 ,故答案为：8；-2.7. (2022浙江省苍南中学高三阶段练习)(x-2(y-2z)s(z-2町 的展开式中不含z的各 项系数之和.【答案】128【分析】对每一个括号利用二项展开式的通项公式进行展开，展开后对每一项进行合并，合 并后使得Z项幕次为0,确定项数后即可得到答案.【详解】(x-2(y-2z)5(z-2x)7利用二项展开式的通项公式进行展开，设-2项为左， (y 2z)5项为，(z 2x)7项为加.展开后得ChY_2y)”了，4-z) ?/-?(- z二对每一项进行合并得
19、 熠97(-2+/广+,7-，因为展开式中不含z,所以7 m+ = 0,又加得取值 为0,1,2,3,4,5,6,7,“得取值为0,123,4,5,故得加=7/=0.代入展开式得CCGG2)7+I产=c；(-2广必产3又左得取值为0,1,2,3,分别带 入后各项系数之和为C；(-2)7 + C； (2)8 + C；(-2)9 + C；(2)1 = (-2)7 + 3 (2丫 + 3 (-2)9 + (-2) =128.故答案为：128考点3系数与二项式系数的最值问题名师点睛Yl二项式系数最大项的确定方法：当为偶数时，展开式中第5+1项的二项式系数最大，最大值为C；当77为奇数时，展开式中第一项
20、和第审项的二项式系数最大，最大值为II1+1c v c 典例的展开式中只有第5项二项式系数最大,1 .（2022安徽芜湖一中模拟预测）在卜五-。7 x J则常数项为.【答案】1120【分析】由二项式系数的性质先确定的值，再由展开式的通项公式即可求解【详解】由 2， 的展开式中只有第5项二项式系数最大得 =8,所以展开式通项为几=晨（-球28-味,当k=4时常数项为C；（-1）424 =1 120.故答案为：11202 .（多选）（2022浙江高三开学考试）在二项式2-：的展开式中，正确的说法是（）A.常数项是第3项B.各项的系数和是1C.偶数项的二项式系数和为32D.第4项的二项式系数最大【答案】BCD【分析】利用二项式展开式通项可判断A选项；利用各项系数和可判断B选项；求出偶数 项的二项式系数和可判断C选项；利用二项式系数的性质可判断D选项； 加=c（-2）=C .（-以.2i 产，【详解】解:二项式2五-的展开式通项为对于A选项，令3-%=0,可得攵=3,故常数项是第4项，A错;对于B选项，各项的系数和是（27）6=1, B对；对于C选项，偶数项二项式系数和为25 = 32, C对对于D选项，展开式共7项，第4项二项式系数最大，D对;故选：BCD