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1、含糊数学基础含糊数学基础主讲人：韩邦合主讲人：韩邦合Fuzzy MathematicsFuzzy Mathematics第1页 实实实实际际际际生生生生活活活活中中中中充充充充满满满满了了了了含含含含糊糊糊糊概概概概念念念念，比比比比如如如如,要要要要你你你你某某某某时时时时到到到到飞飞飞飞机机机机场场场场去去去去迎迎迎迎接接接接一一一一个个个个“大大大大胡胡胡胡子子子子高高高高个个个个子子子子长长长长头头头头发发发发戴戴戴戴宽宽宽宽边边边边黑黑黑黑色色色色眼眼眼眼镜镜镜镜中年男人中年男人中年男人中年男人”.准确概念：时间、地点、男人准确概念：时间、地点、男人含糊概念：大胡子、高个子、含糊概念
2、：大胡子、高个子、长头发、宽边眼镜、中年人长头发、宽边眼镜、中年人第2页 含糊概念是存在，也是必须，含糊概念是存在，也是必须，更是主要。更是主要。人类大脑对于含糊性概念含人类大脑对于含糊性概念含有较强处理能力，含糊数学研究有较强处理能力，含糊数学研究处理含糊概念理论和方法，从而处理含糊概念理论和方法，从而让机器人含有些人一样思维能力，让机器人含有些人一样思维能力，是人工智能主要学科之一。是人工智能主要学科之一。第3页1.含糊子集含糊子集准确概念数学模型：准确概念数学模型：用论域经典子集刻画。用论域经典子集刻画。经经典典子子集集合合范范围围边边界界分分明明,即即：一一个个元元素素x要要么么属属于
3、于集集合合A(记记作作x A),),要要么么不不属属于于集集合合(记记作作x A)，二者必居其一，二者必居其一.第4页 U U子集子集A A数学模型还能够数学模型还能够用特征函数来表示用特征函数来表示第5页特征函数满足：特征函数满足：取大运算取大运算,如如23=3取小运算取小运算,如如23=2第6页那么含糊概念呢？第7页秃头悖论：头上掉一根头发，不秃头悖论：头上掉一根头发，不是秃头；再掉一根，也不是秃头是秃头；再掉一根，也不是秃头按照此逻辑下去当秃头出现按照此逻辑下去当秃头出现时候还不是秃头。时候还不是秃头。第8页什么原因呢？秃头本身是一个含糊概念秃头本身是一个含糊概念第9页那么怎样刻画含糊概
4、念呢？第10页特征函数中函数值仅取0,1值，非此即彼，缺乏程度化，或者缺乏量化。第11页含糊子集与隶属函数含糊子集与隶属函数 设设U是论域，称映射是论域，称映射 A(x)：U0,1为为U上一个上一个含糊子集含糊子集A。映映射射A(x)称称为为A隶隶属属函函数数，它表示它表示x对对A隶属程度隶属程度.第12页 当当A(x)=0.5时，点时，点x最具含糊性最具含糊性.当当映映射射A(x)只只取取0或或1时时，含含糊糊子子集集A就就是是经经典典子子集集，而而A(x)就就是是它它特特征征函函数数.可可见见经经典典子子集集就就是是含含糊子集特殊情形糊子集特殊情形.第13页 例例1 设论域设论域U=x1,
5、x2,x3,x4,x5(商品集商品集)，在，在U上定义上定义一个含糊集：一个含糊集：A=“质量好商质量好商品品”。A=(0.8,0.55,0,0.3,1).表示方法表示方法1 1表示方法表示方法2 2第14页 例例2 设论域设论域U=1,2，.,100(年纪集合年纪集合)，在，在U上定义上定义一个含糊集：一个含糊集：A=“年轻人年轻人”。表示方法表示方法3 3第15页含糊集运算含糊集运算相等相等：A=B A(x)=B(x)；包含包含：A B A(x)B(x)；并并：AB隶属函数为隶属函数为(AB)(x)=A(x)B(x)；交交：AB隶属函数为隶属函数为(AB)(x)=A(x)B(x)；余余：A
6、c隶属函数为隶属函数为Ac(x)=1-A(x).第16页含糊集并、交、余运算性质含糊集并、交、余运算性质 幂等律：幂等律：AA=A，AA=A；交换律：交换律：AB=BA，AB=BA；结合律：结合律：(AB)C=A(BC)，(AB)C=A(BC)；吸收律：吸收律：A(AB)=A，A(AB)=A；分配律：分配律：(AB)C=(AC)(BC)；(AB)C=(AC)(BC)；0-10-1律：律：AU=U，AU=A；A =A，A =；还原律：还原律：(Ac)c=A；第17页 含糊集运算性质基本上与经含糊集运算性质基本上与经典集合一致，除了排中律以外，典集合一致，除了排中律以外，即即AAc U，AAc .
7、含糊集不再含有含糊集不再含有“非此即彼非此即彼”特点，这正是含糊性带来本质特点，这正是含糊性带来本质特征特征.第18页-截集：截集：含含糊糊集集-截截集集A 是是一一个个经经典典集集合，由隶属度大于合，由隶属度大于 组员组成组员组成.即：即：A=x|A(x)第19页 例例3 3：论域：论域U=u1,u2,u3,u4,u5,u6(学生集学生集)，他们成绩依次为，他们成绩依次为50,60,70,80,90,9550,60,70,80,90,95，A=“学习学习成绩优异学生成绩优异学生”隶属度分隶属度分0.5,0.6,0.7,0.8,0.9,0.950.5,0.6,0.7,0.8,0.9,0.95，
8、则则A0.9=u5,u6。第20页2.含糊关系经典关系，比如，父子关系，同桌关系；含糊关系，比如，两人长得很像，某某很喜欢某某；第21页经典二元关系经典二元关系lXY子集R称为从X到Y二元关系，尤其地，当X=Y时，称之为X上二元关系，简称为关系.l若(x,y)R，则称x与y相关系，记为R(x,y)=1；l若(x,y)R，则称x与y没相关系，记为R(x,y)=0.l映射R:XY0,1l实际上是XY子集R特征函数.第22页含糊关系是普通关系推广含糊关系是普通关系推广.设有论域设有论域X，Y，X Y 一个含糊子集一个含糊子集 R 称为从称为从 X 到到 Y 含糊关系含糊关系.含糊子集含糊子集 R 隶
9、属函数为映射隶属函数为映射R:X Y 0,1.尤其地，当尤其地，当 X=Y 时，时，称之为称之为 X 上各元素上各元素之间之间含糊关系含糊关系.经典关系是含糊关系特例经典关系是含糊关系特例.第23页含糊关系用含糊矩阵表示第24页含糊关系运算 因因为为含含糊糊关关系系 R就就是是X Y 一一个个含含糊糊子子集集，所所以以含含糊糊关关系系一一样样含有含糊子集含有含糊子集运算及性质运算及性质.第25页设设R，R1，R2均为从均为从 X 到到 Y 含糊关系含糊关系.相等相等：R1=R2 R1(x,y)=R2(x,y)；包含包含：R1 R2 R1(x,y)R2(x,y)；并并：R1R2 隶属函数为隶属函
10、数为(R1R2)(x,y)=R1(x,y)R2(x,y)；交交：R1R2 隶属函数为隶属函数为(R1R2)(x,y)=R1(x,y)R2(x,y)；余余：Rc 隶属函数为隶属函数为Rc(x,y)=1-R(x,y).第26页含糊关系合成 当论域为有限时，含糊关当论域为有限时，含糊关系合成能够用其对应含糊矩阵系合成能够用其对应含糊矩阵乘法来实现乘法来实现.只不过这里含糊矩只不过这里含糊矩阵乘法不一样于常规矩阵乘积，阵乘法不一样于常规矩阵乘积，但模式是一样。但模式是一样。第27页含糊关系合成设设X=x1,x2,xm,Y=y1,y2,ys,Z=z1,z2,zn，且，且X 到到Y 含糊含糊关系关系R1=
11、(aik)ms，Y 到到Z 含糊含糊关系关系R2=(bkj)sn，则，则X 到到Z 含糊含糊关系关系R1 R2可表示为对应可表示为对应含糊含糊矩矩阵乘积：阵乘积：R1 R2=(cij)mn，其中其中cij=(aikbkj)|1ks.原来数字乘法变原来数字乘法变成了取小运算成了取小运算原来数字加法变原来数字加法变成了取大运算成了取大运算第28页比如，比如，第29页含糊关系三大特征含糊关系三大特征 (1)自反性自反性：若：若 X 上任何元上任何元素都有素都有R(x,x)=1，则称关系，则称关系 R 含有自反性；含有自反性；设设R为为 X 上含糊上含糊关系关系第30页 (2)对称性对称性：若对于：若
12、对于X 上上任意两个元素任意两个元素 x,y，都有，都有R(x,y)=R(y,x)，那么称那么称R含有对称性。含有对称性。设设R为为 X 上含糊上含糊关系关系第31页 (3)R含有传递性当且仅当含有传递性当且仅当 设设R为为 X 上含糊上含糊关系关系R2 R.这里这里R2是是R和和R本身合成。注意本身合成。注意包包含关系含关系：R1 R2 R1(x,y)R2(x,y)。第32页含糊等价关系 若含糊关系若含糊关系R是是X上上各元素之间各元素之间含糊含糊关系，且满足：关系，且满足：(1)(1)自反性：自反性：R(x,x)=1；(2)(2)对称性：对称性：R(x,y)=R(y,x)；(3)(3)传递
13、性：传递性：R2 R,则称则称含糊关系含糊关系R是是X上上一个一个含糊等价含糊等价关系关系.第33页含糊等价关系是经典等价关系推广 X上上经典等价关系经典等价关系R满足：满足：(1)(1)自反性：自反性：R(x,x)=1；(2)(2)对称性：对称性：R(x,y)=R(y,x)；(3)(3)传递性：假如传递性：假如x x和和y y相关系，相关系，y y和和z z相关系，那么相关系，那么x x和和z z一定也相关系一定也相关系 。第34页含糊等价关系和经典等价关系联络定理定理1 R是含糊等价关系当且是含糊等价关系当且经当经当R任意任意-截集都是经典等价截集都是经典等价关系。关系。第35页3.含糊聚
14、类U上一个分类C能够诱导一个U上等价关系R，R(a,b)=1当且仅当a和b在一类。U上一个等价关系R能够诱导一个U上分类C，a和b在一类当且仅当R(a,b)=1。第36页聚类前提条件在某首先相同关系第37页含糊相同关系 R 是是 X 上上各各元元素素之之间间含含糊糊关关系系，若若R 满满足足：对于任意：对于任意x，y，(1)自自反反性性：R(x,x)=1；(2)对对称称性性：R(x,y)=R(y,x)，则则称称含含糊糊关关系系 R 是是 X 上上一一个个含含糊糊相相同同关关系系.第38页 当当论论域域X=x1,x2,xn为为有有限限时时，X 上上一一个个含含糊糊相相同同关关系系 R 诱诱导导含
15、含糊糊矩矩阵阵称称为为含含糊糊相相同同矩矩阵阵，即即R满足：满足：(1)自反性：自反性：I R(rii=1)；(2)对称性：对称性：RT=R(rij=rji).第39页含糊相同关系未必含糊相同关系未必是含糊等价关系是含糊等价关系第40页含糊聚类关键l得到含糊相同关系。得到含糊相同关系。l由含糊相同关系出发由含糊相同关系出发得到含糊等价关系得到含糊等价关系。l由含糊等价关系由含糊等价关系-截集得到截集得到等价关系，从而分类等价关系，从而分类。第41页数据标准化数据标准化 设论域设论域X=x1,x2,xn为被分类为被分类对象对象,每个对象又由每个对象又由m个指标表示其形个指标表示其形状状:xi=x
16、i1,xi2,xim,i=1,2,n于是于是,得到原始数据矩阵为得到原始数据矩阵为第42页平移平移 标准差变换标准差变换其中其中平移平移 极差变换极差变换第43页含糊相同矩阵建立方法含糊相同矩阵建立方法相同系数法相同系数法-夹角余弦法夹角余弦法第44页相同系数法相同系数法-相关系数法相关系数法第45页距离法距离法rij=1 c d(xi,xj)其中其中c为适当选取参数为适当选取参数.海明距离海明距离欧氏距离欧氏距离切比雪夫距离切比雪夫距离d(xi,xj)=|xik-xjk|,1km第46页由含糊相同矩阵诱导含糊等价矩阵由含糊相同矩阵诱导含糊等价矩阵由含糊相同矩阵诱导含糊等价矩阵由含糊相同矩阵诱
17、导含糊等价矩阵 定理定理2 若若R 是含糊相同矩阵，是含糊相同矩阵，则对任意自然数则对任意自然数 k，Rk 也是含糊也是含糊相同矩阵相同矩阵.要借助含糊相同矩阵性质要借助含糊相同矩阵性质第47页含糊相同矩阵性质含糊相同矩阵性质定理定理3 若若R 是是n阶含糊相同矩阵，则阶含糊相同矩阵，则存在一个最小自然数存在一个最小自然数 k(kn)，对于，对于一切大于一切大于k 自然数自然数 l，恒有，恒有Rl=Rk，即，即Rk 是含糊等价矩阵是含糊等价矩阵(R2k=Rk).此时称此时称Rk为为R传递闭包，记作传递闭包，记作 t(R)=Rk.第48页含糊相同矩阵性质含糊相同矩阵性质 上上述述定定理理表表明明
18、，任任一一个个含含糊糊相相同同矩矩阵阵可可诱诱导导出出一一个个含含糊等价矩阵糊等价矩阵.第49页有限步之内能够求出平方法求传递闭包平方法求传递闭包 t(R)：RR2R4R8R16第50页最终由含糊等价关系最终由含糊等价关系-截集得到等截集得到等价关系，从而分类价关系，从而分类。不一样。不一样 得到得到分类可能是不一样。分类可能是不一样。第51页 在在含含糊糊聚聚类类分分析析中中，对对于于各各个个不不一一样样 0,10,1，可可得得到到不不一一样样分分类类，从从而而形形成成一一个个动动态态聚聚类类图图，这这对对全全方方面面了了解解样本分类情况是比较形象和直观样本分类情况是比较形象和直观.第52页取=0.4=0.4时时等价类个数1个。第53页例例3.3.由含糊相同关系到含糊等价关系：由含糊相同关系到含糊等价关系：平方法平方法第54页例例3.3.由含糊相同关系到含糊等价关系：由含糊相同关系到含糊等价关系：平方法平方法所以所以是一个含糊等价关系。是一个含糊等价关系。第55页取=0.8=0.8时时等价类个数2个。第56页所以取=0.9=0.9时时等价类个数3个。第57页小结1.含糊数学不是模含糊糊数学。2.含糊数学是处理不确定性主要学科。第58页