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1、第一章第一章 空间向量与立体空间向量与立体几几何何1.4.2 用空间向量研究距离用空间向量研究距离、夹角问题夹角问题新课引入新课引入思考：思考：怎样利用向量方法求直线到直线的距离、直线到平面的距离、平面到平面的距离?提示：两条直线平行，其中一条直线到另一条直线间的距离是其中一条直线上任一点到另一条直线的距离；一条直线和一个平面平行，直线到平面的距离就是这条直线上任一点到这个平面的距离；两个平面平行，平面到平面的距离就是一个平面上任一点到这个平面的距离.新课引入新课引入回顾求向量的投影公式是什么?回顾勾股定理是什么?已知直线l 的单位方向向量为u,Au,A 是直线1上的定点，P 是直线l外一点，
2、设向量AP=a 在直线1上的投影向量为AQ=a-u,则 点P 到直线课堂探究课堂探究点点P P到直线的距离到直线的距离李老师寄语：每天努力一点点和每天放松一点点的区别如 1.01365=37.8 0.99365=0.03l的距离为 (如图).思考：思考：u u 怎么求怎么求?点点P P到平面到平面的距离的距离设平面的法向量为n,A 是平面内的定点，P 是平面外一点，思考：思考：A A 的变化会不的变化会不会影响会影响PQ的长度的长度?为为 什么什么?则点P 到平面的距离 (如图).课堂探究课堂探究例1如图，正方体ABCD-A 的棱长为1,求(1)B 到直线AC 的距离(2)D 到平面ABD 的
3、距离.(3)DC 到平面ABD 的距离(4)平面ABD与平面BCD间的距离例题解析例题解析解(1)以B 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(4,0,1),C(0,3,1),所以直线AC 的方向向量AC=(-4,3,0),BC=(0,3,1),所以点所以点B B 到直线到直线A AC C 的距离的距离例题解析例题解析解.(2)(3)(4)请学生回答，老 师书写，最后指出不足地方李老师寄语：每天努力一点点和每天放松一点点的区别如 1.01365=37.8 0.99365=0.03例题解析例题解析1.如图所示，在长方体ABCD-ABCD 中，AD=AA=1,AB=2,点 E 是 棱AB
4、的中点，则 点E 到平面ACD 的距离为()练 习 巩 固C.A.D.B.2.在空间直角坐标系中有长方体ABCD-ABCD,A B=1,BC=2,AA=3,则 点B 到直线AC 的距离为()练习巩固练习巩固A.B.C.D.1回顾夹角的定义和范围问题：(1)线线(2)向量的夹角(3)线面(4)二面角(5)两个平面的夹角重要重要角的分类向量求法范围两条异面直线所成的角设两异面直线l,l所成的角为,其方向向量分别为u,v,则cos 直线与平面所成的角设直线AB与平面所成的角为,直线AB的方向向量为u,平面的法向量为n,则sin两个平面的夹角设平面a与平面的夹角为,平面a,的法向量分别为n,n2,则c
5、os空间角的向量法解法空间角的向量法解法点，EF与B D 相交于点H.(1)求证：BD平面ABD;(2)求证：平面EGF/平面ABD;(3)求平面EGF 与平面ABD 的距离例3如图，在直三棱柱ABC-ABC=4,点E 在棱BB上，EB=1,D,F,G中，ABC=90,BC=2,CC分别为CC,C,AC 的中例题解析例题解析解析(1)证明：如图所示建立空间直角坐标系，所以BD=(0,2,2),AB=(-a,0,0),BD=(0,2,一2).所以BDAB=0+0+0=0,BDBD=0+4-4=0.所以BDAB,BDBD,所以BDAB,BDBD,又ABBD=B,所以BD平面 ABD.例 题 解 析
6、设 AB=a,则A(a,0,0),B(0,0,0),C(0,2,0),F(0,1,0),E(0,0,1),A(a,0,4),B(0,0,4),D(0,2,2),例题解析例题解析(2)证明：由(1)可得AB=(-a,0,0),BD=(0,2,一2),EF=(0,1,一1),所以AB=2GF,BD=2EF,所以GF/AB,EF/BD.所以GF/AB,EF/BD.又GFEF=F,ABBD=B,所以平面 EGF/平面ABD.(3)解：由(1)(2)知，BD是平面EGF 和平面ABD的法向量.因为平面 EGF/平 面ABD,所 以 点E 到平面ABD 的距离就是两平面的距离，设为d.因为EB=(0,0,
7、3),BD=(0,2,2),即两平面间的距离例 题 解 析1.已知向量m,n 分别是直线l 与平面的方向向量、法向量，若cos m,n=,则1与所成的角为B.60 C.150 D.120练 习 巩 固解析 设l与所成的角为,=60,故选B.2.已知平面的法向量u=(1,0,-1),平面的法向量v=(0,-1,1),则平面a与的夹角为 平面与的夹角练 习 巩 固3.如图，在三棱柱OAB-OAB 中，平面OBBO 平面OAB,OOB=60,AOB=90,且OB=00=2,OA=3,求异面直线AB 与AO 所成角的余弦练 习 巩 固值.解 以O 为坐标原点，OA,OB 的方向为x轴，y 轴的正方向.
8、建立如图所示的空间直角坐标系，则O(0,0,0),O(0,1,3),A(3,0,0),A(3,1,3),B(0,2,0),AB=(-3,1,一 3),OA=(3,-1,一 3).异面直线AB 与 AO 所成角的余弦值为练 习 巩 固4.在空间直角坐标系Oxyz中，已知 A(1,-2,0),B(2,1,6),则向量AB与平面 xOz的法向量的夹角的正弦值为 故向量AB与平面xOz的法向量的夹角的正弦值解析 设平面xOz的法向量为n=(0,1,0),AB=(1,3,6),练 习 巩 固5.如图，在正方体ABEF-DCEF 中，M,N(1)求直线MN 与直线AC 的夹角余弦值(2)求直线EN与平面MNB 的夹角余弦值(3)平面MNA与平面MNB 的夹角的余弦值练习巩固练习巩固分别为AC,BF 的中点，求课重小结课重小结你学到了什么你学到了什么?作业作业1:1:报纸第报纸第2 2期期2 2版版作业作业2:2:P33练习练习123123作业作业3:3:预习下一节预习下一节作业布置作业布置