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1、 与距离类似，角度是立体几何中另一个重要的度量与距离类似，角度是立体几何中另一个重要的度量.下面我们用向量下面我们用向量方法研究直线与直线所成角、直线与平面所成角及平面与平面所成角方法研究直线与直线所成角、直线与平面所成角及平面与平面所成角.1.4.2 1.4.2 用空间向量研究夹角问题用空间向量研究夹角问题1 1、用向量法求线线角、用向量法求线线角 一般地，两条异面直线所成的角，可以转化为两条异面直线的方向向一般地，两条异面直线所成的角，可以转化为两条异面直线的方向向量的夹角来求得量的夹角来求得.也就是说，若异面直线也就是说，若异面直线l1，l2所成的角为所成的角为 ，其方向向量分别是其方向
2、向量分别是 ，则，则例例1 1：在棱长为：在棱长为1 1的正四面体（四个面都是正三角形）的正四面体（四个面都是正三角形）ABCDABCD中，中，M M、N N分别为分别为BCBC、ADAD的中点，求直线的中点，求直线AMAM与与CNCN夹角的余弦值夹角的余弦值(1)(1)几何法几何法解决此类问题，关键是通过平移求解过某一点作平行线，将异面直线所解决此类问题，关键是通过平移求解过某一点作平行线，将异面直线所成的角转化为平面角，最后通过解三角形求解主要以成的角转化为平面角，最后通过解三角形求解主要以“作，证，算作，证，算”来来求异面直线所成的角，同时，要注意异面直线所成角的范围求异面直线所成的角，
3、同时，要注意异面直线所成角的范围(2)(2)向量法向量法利用数量积或坐标方法将异面直线所成的角利用数量积或坐标方法将异面直线所成的角 转化为两直线的方向向量所转化为两直线的方向向量所成的角成的角 ，若求出的两向量的夹角为钝角，则异面直线的夹，若求出的两向量的夹角为钝角，则异面直线的夹角应为两向量夹角的补角，即角应为两向量夹角的补角，即 .求异面直线所成的角的两种方法求异面直线所成的角的两种方法2 2、用向量法求线面角、用向量法求线面角 设直线设直线AB与平面与平面相交于点相交于点B，直线，直线AB与平面与平面所成角为所成角为 ，直线直线AB的方向向量为的方向向量为 ，平面，平面的法向量为的法向
4、量为 ，则，则5.如图，在正方体ABEFDCEF中，M，N分别为AC，BF的中点，求（1）求直线MN与直线AC的夹角余弦值（2）求直线EN与平面MNB的夹角余弦值练练习习巩巩固固(1)(1)几何法几何法找直线在平面内的射影，充分利用面与面垂直的性质及解三角形知识可求找直线在平面内的射影，充分利用面与面垂直的性质及解三角形知识可求得夹角得夹角(或夹角的某一三角函数值或夹角的某一三角函数值)(2)(2)向量法向量法建立空间直角坐标系；建立空间直角坐标系；求直线的方向向量求直线的方向向量 ；求平面的法向量求平面的法向量 ；计算：设线面角为计算：设线面角为，则，则 .求直线与平面的夹角的方法与步骤求直
5、线与平面的夹角的方法与步骤3 3、用向量法求面面角、用向量法求面面角 若若平面平面、的法向量分别是的法向量分别是 ，则平面，则平面 与平面与平面 的夹角即为向的夹角即为向量量 和和 的夹角或其补角的夹角或其补角.设平面设平面 与平面与平面 的夹角为的夹角为 ，则，则5.如图，在正方体ABEFDCEF中，M，N分别为AC，BF的中点，求平面MNA与平面MNB的夹角的余弦值练练习习巩巩固固(1)(1)几何法几何法在二面角的棱上找一特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，把在二面角的棱上找一特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，把平面角放到三角形中求解平面角放到三角形中求解(2)(2)向量
6、法向量法建立空间直角坐标系；建立空间直角坐标系；求出两个半平面的法向量求出两个半平面的法向量 ，；设二面角的平面角为设二面角的平面角为，则，则 ；根据图形判断根据图形判断为钝角还是锐角为钝角还是锐角，从而求出，从而求出(或其三角函数或其三角函数).求平面与平面的夹角的方法与步骤求平面与平面的夹角的方法与步骤向量求法向量求法图形语言图形语言线线角线线角设两异面直线所成的角为设两异面直线所成的角为，它们的方向向量为，它们的方向向量为 ，则，则 小小 结：结：向量求法向量求法图形语言图形语言线面角线面角设直线设直线l 与平面与平面 所成的角所成的角为为，l 的方向向量为的方向向量为 ，平，平面面的法向量为的法向量为 ，则则向量求法向量求法图形语言图形语言面面角面面角设二面角设二面角l的平面角的平面角为为，平面，平面、的法向量为的法向量为 ，则，则