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1、一元二次方程一元二次方程第1页没有未知数，不是方程没有未知数，不是方程不是等式，不是方程不是等式，不是方程一元一次方程一元一次方程二元一次方程二元一次方程不是等式，不是方程不是等式，不是方程(1)235(2)3x2(3)5x318(4)x-2y5一元一次方程、二元一次方程、分式方程一元一次方程、二元一次方程、分式方程分式方程分式方程第2页 只含有只含有一个未知数一个未知数，而且未知数，而且未知数最高次是最高次是1 1次次整整式式方程叫一元一次方程。方程叫一元一次方程。一元一元一次一次第3页问题问题1 一块四面镶有宽度相等花边地毯以一块四面镶有宽度相等花边地毯以下列图，它长为下列图，它长为8m，
2、宽为，宽为5m假如地毯假如地毯中央长方形图案面积为中央长方形图案面积为18m2，则花边多，则花边多宽宽?解：假如设花边宽为解：假如设花边宽为 x m,那那么地毯中央长方形图案长为么地毯中央长方形图案长为 m,宽为宽为 m,依据题意依据题意,可得方程：可得方程：(8-2x)(5-2x)(8-2x)(5-2x)=18.整理整理,得得 第4页8m10m解解:设设梯子底端滑动梯子底端滑动x米米,则由题意可得方则由题意可得方程：程：问题问题2 一个长为一个长为10m梯子斜靠在墙上，梯子斜靠在墙上，梯子顶端距地面垂直距离为梯子顶端距地面垂直距离为8m.假如梯假如梯子顶端下滑子顶端下滑1m,那么梯子底端滑动
3、多少那么梯子底端滑动多少米？米？(6+x)2+72=102，整理可得：整理可得：?1m6mxm第5页问题问题3 学校图书馆去年年底有图书学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到万册，预计到明年年底增加到7.2万万册。求这两年年平均增加率。册。求这两年年平均增加率。去年底：去年底：5今年底：今年底：5+5x5(1+x)明年底：明年底：5(1x)5(1x)x 5(1x)(1x)5(1x)2解：设这两年年平均增加率为解：设这两年年平均增加率为x,依据题意得方程：依据题意得方程：5(1x)27.2整理整理,得：得：第6页特征特征:(1)都是整式方程都是整式方程 (2)只含有一个未知数只含有
4、一个未知数 (3)未知数最高次数是未知数最高次数是2观察这几个方程，有什么共同特征？观察这几个方程，有什么共同特征？第7页只含有一个未知数，而且未知数最高次只含有一个未知数，而且未知数最高次数是数是2整式方程叫做整式方程叫做一元二次方程一元二次方程。一元二次方程通常可写成以下普通形式：一元二次方程通常可写成以下普通形式：ax2+bx+c=0（a0)特征：方程左边按特征：方程左边按x x降幂排列，右边降幂排列，右边0 0(1)都是都是整式整式方程方程 (2)只含有只含有一个一个未知数未知数 (3)未知数最高次数是未知数最高次数是2第8页ax2+bx+c=0二次项二次项一次项一次项常数项常数项二次
5、项二次项系数系数一次项系数一次项系数a0一元二次方程项和各项系数第9页ax2+bx+c=0（a0)问：为何二次项系数问：为何二次项系数a不能为不能为0？假如？假如a=0会出现什么情况？会出现什么情况？b、c能不能为能不能为0？能不能同时为？能不能同时为0？一元二次方程普通形式：一元二次方程普通形式：第10页不是不是是是不是不是不是不是判断以下方程中哪些是一元二次方程？判断以下方程中哪些是一元二次方程？并说明理由并说明理由(1)(5)(7)是是是是(a、b、c为常数为常数)不是不是不是不是第11页方程方程二次项二次项系数系数一次项一次项系数系数常数项常数项21-330-51-301、指出以下一元
6、二次方程二次项系数、指出以下一元二次方程二次项系数、一次项系数和常数项：一次项系数和常数项：第12页3x2-x-2=02x2-7x+3=0 x2-5x=02x2-5x-11=0温馨提醒：某一项系数包含它前面温馨提醒：某一项系数包含它前面符号。符号。2、将以下一元二次方程化为普通形式，、将以下一元二次方程化为普通形式，并分别指出它们二次项系数、一次项系数并分别指出它们二次项系数、一次项系数和常数项：和常数项：第13页解：移项：解：移项：ax2-2bx+a-2x2=0合并同类项：合并同类项：(a-2)x2-2bx+a=0所以，当所以，当a2时是一元二次方程；时是一元二次方程；当当a=2，b0时是一
7、元一次方程；时是一元一次方程；3、关于关于x方程方程ax2-2bxa2x2,在什么条在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方程为一元一次方程？下此方程为一元一次方程？变式练习变式练习(1):(k+3)x|k|-1|k|-1-5x60 是是关关于于x一元二次一元二次方程方程,则则k=.变式练习变式练习(2):关于关于x一元二次一元二次方程方程(m-1)x2 2+5xm2-10 常数项是常数项是0,则则m=.3-1第14页什么叫方程根？什么叫方程根？能够使方程左右两边相等未知数值，叫方能够使方程左右两边相等未知数值，叫方程程根根。解：把解：把x=2代入
8、原方程得：代入原方程得：(m-1)22+32-5m+4=0解这个方程得：解这个方程得：m=64、已知关于、已知关于x一元二次方程一元二次方程(m-1)x2+3x-5m+4=0有一根为有一根为2，求，求m。变式练习变式练习:a是方程是方程x2-2x-30 一个根一个根,则则3a2-6a=.9第15页化为普通形式化为普通形式 2x2 13x+11=0依据实际情况确定依据实际情况确定x大致取值范围。大致取值范围。x可能大于可能大于4吗？吗？x可能大于可能大于2.5吗？吗？不可能等于不可能等于0,没有实际意义没有实际意义x可能小于可能小于0吗？吗？那么那么x范围是范围是 0 x2.5解：设花边宽为解：
9、设花边宽为xm，依据题意得，依据题意得，5cm8cmx8-2x5-2x问题问题1中：中：（8-2x)(5-2x)=18第16页用预计方法求一元二次方程用预计方法求一元二次方程近似根。近似根。有些实际问题在处理时候，可依据实际有些实际问题在处理时候，可依据实际情况情况确定大约取值范围，所以我们情况情况确定大约取值范围，所以我们可用可用迫近方法迫近方法求近似根。求近似根。第17页在在x范围内取整数值范围内取整数值,分别代入方程，假如有分别代入方程，假如有一个数能够使方程左边等于一个数能够使方程左边等于0,则这个数就是方则这个数就是方程一个解程一个解.2x2 13x+11=0(0 x2.5)x012
10、2x2 13x+11110-7当当x=1时，时，2x2 13x+11=0，所以方程解为所以方程解为x=1若在若在x许可范围内取整数值，没有一许可范围内取整数值，没有一 个数能够使方程左边等于个数能够使方程左边等于0怎么办？怎么办？列表列表第18页问题问题2中，梯子底端滑动距离中，梯子底端滑动距离x(m)满足方程满足方程 (x+6)2+72=102，即即 x2+12x-15=0问问:你能猜出梯子底端滑动距离你能猜出梯子底端滑动距离x(m)大大致范围吗？致范围吗？x00.511.52x2+12x-15-15-8.75-25.2513所以，所以，1x1.5x1.11.21.31.4x2+12x-15
11、-0.590.842.293.76深入计算：深入计算：所以所以x整数部分是整数部分是1，十分位是，十分位是1x整数部分是几？十分位是几？整数部分是几？十分位是几？第19页小试牛刀：小试牛刀：1.由方程由方程ax2+bx+c=0(a0)可得下表，则可得下表，则x取值范围大约是取值范围大约是()x5.235.245.255.26ax2+bx+c-0.03-0.010.010.02A.5.23x5.24 B.5.24x5.25 C.5.25x5.26 D.5.24x5.26x0.511.522.533.55x2-24x+2817.25 9 3.25 0-0.7515.25从上表中你能得出方程从上表中
12、你能得出方程5x2-24x+28根是几根是几吗？假如能，写出方程根，假如不能，请吗？假如能，写出方程根，假如不能，请写出方程根取值范围写出方程根取值范围B第20页1 1、一个长方形周长为、一个长方形周长为3030厘米，面积为厘米，面积为5454厘米，设宽为厘米，设宽为x x厘米。厘米。解解(1)(1)设长方形宽为设长方形宽为x x厘米厘米,则长为则长为(15-x)(15-x)厘米厘米.x(15-x)=54x(15-x)=54(2)(2)x x表示长方形实际宽表示长方形实际宽,不可能小于不可能小于0 0 (3)(3)不可能不可能,因为长与宽和是因为长与宽和是15,x15,x可能大于可能大于15.
13、15.(1)(1)依据题意列方程。依据题意列方程。(2)x(2)x可能小于可能小于0 0吗？说出理由吗？说出理由.(3)x(3)x可能大于可能大于1515吗？说出理由吗？说出理由.(4)(4)能否想一个方法求得长方形长能否想一个方法求得长方形长x?x?x x15-x15-x第21页x x1 12 23 34 45 56 67 7x x2 2-15x+54-15x+544028181040-2当当x=6x=6时，时，x x2 2-15x+54=0-15x+54=015-15-x xx x(4(4）怎样估算长方形长）怎样估算长方形长x?x?化简化简x x2 2-15x+54=0-15x+54=0依
14、据题意依据题意x x范围是范围是 0 x7.5 0 x7.5答答:长方形宽为长方形宽为6 6厘米厘米列表列表第22页2 2、有一个两位数、有一个两位数,个位数字与十位数字之和等于个位数字与十位数字之和等于6,6,而且这两个而且这两个数字积等于这个两位数数字积等于这个两位数 1/3,1/3,求这个两位数求这个两位数.设设:这个两位数这个两位数十位数字十位数字是是x,x,则个位数字是则个位数字是(6-x)(6-x)x(6-x)=1/3(10 x+6-x)化成普通形式为化成普通形式为:x:x2 2-3x+2=0-3x+2=0依据题意得依据题意得x x范围是范围是:0 x 6:0 x 6x123456
15、x x2 2-3x+2-3x+200261220当当x=1 x=1 或或 x=2 x=2时，时，x x2 2-3x+2=0-3x+2=0当当x=1 x=1 时这个两位数是时这个两位数是1515当当x=2x=2时这个两位数是时这个两位数是2424列表列表第23页3 3、一名跳水运动员进行、一名跳水运动员进行1010米跳台跳水训练米跳台跳水训练,在正常情况下在正常情况下,运动运动员必须在距水面员必须在距水面5 5米米以前完成要求翻腾动作以前完成要求翻腾动作,而且调整好入水姿而且调整好入水姿势势,不然就轻易出现失误不然就轻易出现失误,假设运动员起跳后运动时间假设运动员起跳后运动时间t(s)t(s)为
16、和为和运动员距水面高度运动员距水面高度h(m)h(m)满足关系满足关系:h=10+2.5t-5th=10+2.5t-5t2 2,那么他最多那么他最多有多长时间完成要求动作有多长时间完成要求动作?解解:要完成要求动作最多时间是要完成要求动作最多时间是h=5h=5时时即即:5=10+2.5t-5t:5=10+2.5t-5t2 2 化为普通形式化为普通形式2t2t2 2-t-2=-t-2=0 0t01232t2t2 2 t-2t-2-2-1413列表列表所以所以1 t 21 t 2列表列表t1.11.21.31.42t2t2 2 t-2t-2-0.68-0.32 0.080.52所以所以1.2 t
17、1.31.2 t 1.3答答:他完成动作时间最多不超出他完成动作时间最多不超出1.31.3秒秒第24页解：设长方形绿地宽为解：设长方形绿地宽为x米，则米，则长为（长为（x10）米，可得方程：）米，可得方程：1、设未知数、设未知数长长宽面积宽面积x（x10）=900，整理可得：整理可得：（1）问题问题1 绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为开辟面积为900平方米一块长方形绿地，而且长比宽多平方米一块长方形绿地，而且长比宽多10米，那么绿地长和宽各为多少？米，那么绿地长和宽各为多少？2、找相等关系、找相等关系3、列方程、列方程4、解方程、解方程
18、第25页分析：因为方程是一元二次方程，故未知数分析：因为方程是一元二次方程，故未知数x最最高次数高次数 m+12，解之得，解之得，m=1或或m=1，又因二次项系数又因二次项系数m10，即即m1，所以所以m=1。温馨提醒：注意陷井温馨提醒：注意陷井二次项系数二次项系数a0！5、已知关于、已知关于x方程是一元二次方程，求方程是一元二次方程，求m值。值。第26页问题问题2 绿苑小区住宅设计，准备在每绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为两幢楼房之间，开辟面积为900平方米平方米一块长方形绿地，而且长比宽多一块长方形绿地，而且长比宽多10米，米，那么绿地长和宽各为多少？那么绿地长和宽各为多少？第27页