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1、解一元二次方程第1页回顾与复习1 11.我们已经学过了几个解一元二次方程 方法?2.什么叫分解因式?把一个多项式分解成几个整式乘积形式叫做分解因式.直接开平方法配方法x2=a(a0)(x+m)2=n(n0)公式法第2页分解因式方法有那些?（1）提取公因式法:（2）公式法:（3）十字相乘法:am+bm+cm=m(a+b+c).a2-b2=(a+b)(a-b),a22ab+b2=(ab)2.x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b).回顾与复习2 2第3页实际问题实际问题 依据物理学规律，假如把一依据物理学规律，假如把一个物体从地面个物体从地面 10 m/s 速度竖直速度竖直上抛，那么经过上抛
2、，那么经过 x s 物体离地面物体离地面高度（单位：高度（单位：m）为）为 设物体设物体经过经过 x s 落回地面，这时它落回地面，这时它离地面高度为离地面高度为 0，即，即 依据这个规律求出物体经过多少秒落回地面？依据这个规律求出物体经过多少秒落回地面？（准确到（准确到 0.01 s）提醒提醒第4页解：解：配方法配方法公式法公式法解：解：a=4.9，b=10，c=0 b24ac=(10)244.90=100第5页因式分解因式分解 假如假如a b=0，那么那么 a=0或或 b=0。两个因式乘积为两个因式乘积为 0，说明什么，说明什么或或降次，化为两个一次方程降次，化为两个一次方程解两个一次方程
3、，得出原方程根解两个一次方程，得出原方程根这种解法是不是这种解法是不是很简单？很简单？探究探究第6页能够发觉，上述解法中，由到过程，不是用开方降次，而是先因式分解使方程化为两个一次式乘积等于0形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法以上解方程 方法是怎样使二次方程降为一次？第7页 以上解方程以上解方程方法是怎样使二次方程降为一次方法是怎样使二次方程降为一次?能够发觉能够发觉,上述解法中上述解法中,由由到到过程过程,不是用开不是用开平方降次平方降次,而是先因式分解使方程化为两个一次式乘而是先因式分解使方程化为两个一次式乘积等于积等于0形式形式,再使这两个一次式分别等
4、于再使这两个一次式分别等于0,从而实从而实现降次现降次.这种解法叫做这种解法叫做因式分解法因式分解法.w提醒提醒:1.1.用用分解因式法分解因式法条件条件是是:方程左边易于分解方程左边易于分解,而右边等而右边等于零于零;2.2.关键关键是熟练掌握因式分解知识是熟练掌握因式分解知识;3.3.理论理论依旧是依旧是“ab=0,则则a=0或或b=0 ”第8页w分解因式法解一元二次方程步骤是分解因式法解一元二次方程步骤是:2.将方程将方程左边左边因式分解为因式分解为AB;3.依据依据“ab=0,则则a=0或或b=0”,转化为两个一元一次方程转化为两个一元一次方程.4.分别解这分别解这两个两个一元一次方程
5、，它们根就是原方程根一元一次方程，它们根就是原方程根.1.将方程将方程右边等于右边等于0;能够试用各种方法解本例中两个方程.第9页例3 解以下方程：解：（1）因式分解，得于是得x20或x1=0,x1=2，x2=1.(2)移项、合并同类项，得因式分解，得 (2x1)(2x1)=0.于是得2x1=0或2x1=0,(x2)(x1)=0.能够试用各种方法解本例中两个方程.第10页1.解以下方程：解：因式分解，得（1）x2+x=0 x(x+1)=0.得 x=0 或 x+1=0，x1=0 ,x2=1.解：因式分解，得练习第11页解：化为普通式为因式分解，得x22x+1=0.(x1)(x1)=0.有 x 1
6、=0 或 x 1=0，x1=x2=1.解：因式分解，得(2x+11)(2x 11)=0.有 2x+11=0 或 2x 11=0，第12页解：化为普通式为因式分解，得6x2 x 2=0.(3x 2)(2x+1)=0.有 3x 2=0 或 2x+1=0，解：变形有因式分解，得(x 4)2 (5 2x)2=0.(x 4 5+2x)(x 4+5 2x)=0.(3x 9)(1 x)=0.有 3x 9=0 或 1 x=0，x1=3 ,x2=1.第13页2.把小圆形场地半径增加5m得到大圆形场地，场地面积增加了一倍，求小圆形场地半径解：设小圆形场地半径为r依据题意 (r+5)2=2r2.因式分解，得于是得答
7、：小圆形场地半径是第14页w分解因式法解一元二次方程步骤是:1.将方程左边因式分解，右边等于0;2.依据“最少有一个因式为零”,转化为两个一元一次方程.3.分别解两个一元一次方程，它们根就是原方程根.第15页 用因式分解法解一元二次方程步骤用因式分解法解一元二次方程步骤 1.方程右边化为方程右边化为_。2.将方程左边分解成两个将方程左边分解成两个_乘积。乘积。3.最少最少_因式为零，得到两个一元一次因式为零，得到两个一元一次方程。方程。4.两个两个_就是原方程根。就是原方程根。零一次因式有一个一元一次方程解AB=0（A、B 表示两个因式）表示两个因式）A=0 或或 B=0第16页课前练习课前练
8、习（2）（3）x24=0（4）(3x1)25=0（1）2x24x 2=0第17页（1）2x24x 2=0 x1=解：因式分解，得解：因式分解，得 2(x1)2x1=0=0或或x2=1x1=0分解因式方法有那些?（1）提取公因式法:（2）公式法:am+bm+cm=m(a+b+c).a2-b2=(a+b)(a-b),a22ab+b2=(ab)2.第18页（2）解：移项，得解：移项，得因式分解，得因式分解，得x2=0或或3x5=0 x1=2，x2=（3）x24=0解：因式分解，得解：因式分解，得(x2)x2=0 x1=2，(x2)=0或或x2=0 x2=2第19页（4）(3x1)25=0=0 或或解
9、：因式分解，得解：因式分解，得第20页你学过一元二次方程哪些解法你学过一元二次方程哪些解法?因式分解法因式分解法开平方法开平方法配方法配方法公式法公式法你能说出每一个解法特点吗你能说出每一个解法特点吗?第21页方程左边是完全平方式方程左边是完全平方式,右边是非负右边是非负数数;即形如即形如x x2 2=a=a(a0)(a0)第22页1.1.化化1:1:把二次项系数化为把二次项系数化为1 1;2.2.移项移项:把常数项移到方程右边把常数项移到方程右边;3.3.配方配方:方程两边同加方程两边同加一次项系数一次项系数 二分之一平方二分之一平方;4.4.变形变形:化成化成5.5.开平方开平方，求解求解
10、“配方法配方法”解方程基本步骤解方程基本步骤一除、二移、三配、四化、五解一除、二移、三配、四化、五解.第23页用用公式法公式法解一元二次方程解一元二次方程前提前提是是:1.1.必需是普通形式一元二次方程必需是普通形式一元二次方程:ax ax2 2+bx+c=0(a0).+bx+c=0(a0).2.b2.b2 2-4ac0.-4ac0.第24页1.1.用因式分解法用因式分解法条件条件是是:方程左边能够方程左边能够 分解分解,而右边等于零而右边等于零;2.2.理论理论依据依据是是:假如两个因式积等于零假如两个因式积等于零 那么最少有一个因式等于零那么最少有一个因式等于零.因式分解法解一元二次方程普
11、通因式分解法解一元二次方程普通步骤步骤:一移一移-方程右边方程右边=0;=0;二分二分-方程左边因式分解方程左边因式分解;三化三化-方程化为两个一元一次方程方程化为两个一元一次方程;四解四解-写出方程两个解写出方程两个解;第25页请用四种方法解以下方程请用四种方法解以下方程:4(x 4(x1)1)2 2=(2x=(2x5)5)2 2先考虑开平方法先考虑开平方法,再用因式分解法再用因式分解法;最终才用公式法和配方法最终才用公式法和配方法;第26页3.3.公式法公式法：总结：方程中有括号时，应总结：方程中有括号时，应先用整体思想先用整体思想考虑有没考虑有没有简单方法，若看不出适当方法时，则把它去括
12、号有简单方法，若看不出适当方法时，则把它去括号并整理为普通形式再选取合理方法。并整理为普通形式再选取合理方法。第27页 x x2 2-3x+1=0 3x-3x+1=0 3x2 2-1=0 -1=0 -3t -3t2 2+t=0 x+t=0 x2 2-4x=2 -4x=2 2x 2x2 2x=0 5(m+2)x=0 5(m+2)2 2=8=8 3y 3y2 2-y-1=0 2x-y-1=0 2x2 2+4x-1=0 +4x-1=0 (x-2)(x-2)2 2=2(x-2)=2(x-2)适合利用直接开平方法适合利用直接开平方法 ；适合利用因式分解法适合利用因式分解法 ；适合利用公式法适合利用公式法
13、 ；适合利用配方法适合利用配方法 .第28页 普通地，当一元二次方程一次项系数为普通地，当一元二次方程一次项系数为0 0时时（axax2 2+c=0+c=0），应选取），应选取直接开平方法直接开平方法；若常数项为若常数项为0 0（axax2 2+bx=0+bx=0），应选取），应选取因式分解法；因式分解法；若一次项系数和常数项都不为若一次项系数和常数项都不为0(0(axax2 2+bx+c=0+bx+c=0），），先化为普通式，看一边整式是否轻易因式分解，若先化为普通式，看一边整式是否轻易因式分解，若轻易，宜选取因式分解法，不然选取轻易，宜选取因式分解法，不然选取公式法公式法；不过当二次项系数
14、是不过当二次项系数是1 1，且一次项系数是偶数时，且一次项系数是偶数时，用配方法也较简单。用配方法也较简单。我发觉第29页用最好方法求解以下方程用最好方法求解以下方程1)1)（3x-23x-2）-49=0 -49=0 2 2)（3x-43x-4）=（4x-34x-3）3)4y=13)4y=1 y y第30页选择适当方法解以下方程选择适当方法解以下方程:第31页选取适当方法解一元二次方程选取适当方法解一元二次方程1.解一元二次方程方法有：解一元二次方程方法有：因式分解法因式分解法 直接开平方法直接开平方法 公式法公式法 配方法配方法 5x 5x2 2-3 x=0-3 x=0 3x 3x2 2-2
15、=0-2=0 x x2 2-4x=6-4x=6 2x 2x2 2-x-3=0-x-3=0 2x 2x2 2+7x-7=0+7x-7=0 2.引例：给以下方程选择较简便方法引例：给以下方程选择较简便方法（利用因式分解法）（利用因式分解法）（利用直接开平方法）（利用直接开平方法）（利用配方法）（利用配方法）（利用公式法）（利用公式法）（利用公式法）（利用公式法）（方程一边是（方程一边是0，另一边整式轻易因式分解），另一边整式轻易因式分解）（()()2 2=C C0=C C0）(化方程为普通式）化方程为普通式）（二次项系数为（二次项系数为1，而一次项系为偶数），而一次项系为偶数）第32页 公式法即使
16、是万能，对任何一元二次方程都适用，公式法即使是万能，对任何一元二次方程都适用，但不一定是最简单，所以在解方程时我们首先考虑能否但不一定是最简单，所以在解方程时我们首先考虑能否应用应用“直接开平方法直接开平方法”、“因式分解法因式分解法”等简单方法，等简单方法，若不行，再考虑公式法（适当也可考虑配方法）若不行，再考虑公式法（适当也可考虑配方法）2、用适当方法解以下方程、用适当方法解以下方程 -5x-5x2 2-7x+6=0-7x+6=0 2x 2x2 2+7x-4=0+7x-4=0 4(t+2 )4(t+2 )2 2=3=3 x x2 2+2x-9999=0+2x-9999=0 （5 5）3t(
17、t+2)=2(t+2)3t(t+2)=2(t+2)第33页小结：小结：ax2+c=0 =ax2+bx=0 =ax2+bx+c=0 =公式法（配方法）公式法（配方法）2、公式法即使是万能，对任何一元二次方程都适用，但不一定、公式法即使是万能，对任何一元二次方程都适用，但不一定 是最简单，所以在解方程时我们首先考虑能否应用是最简单，所以在解方程时我们首先考虑能否应用“直接开平方直接开平方法法”、“因式分解法因式分解法”等简单方法，若不行，再考虑公式法（适等简单方法，若不行，再考虑公式法（适当也可考虑配方法）当也可考虑配方法）3、方程中有括号时，应先用整体思想考虑有没有简单方法，若看、方程中有括号时，应先用整体思想考虑有没有简单方法，若看不出适当方法时，则把它去括号并整理为普通形式再选取合理方不出适当方法时，则把它去括号并整理为普通形式再选取合理方法。法。1、直接开平方法直接开平方法因式分解法因式分解法第34页