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1、第1页/共5页 学科网（北京）股份有限公司高二年级调研测试高二年级调研测试 数学数学 本试卷共本试卷共 4 页，页，19 小题，满分小题，满分 150 分，考试用时分，考试用时 120 分钟分钟 注意事项：注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上将条形码横贴答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上将条形码横贴在答题卡上在答题卡上“条形码粘贴处条形码粘贴处”2回答选择题时，选出每小题答案后，用回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔在答题卡上对应题目的答案标号涂黑如铅笔在答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号需改动，用
2、橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号 3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案不准使用铅笔和涂改相应位置上如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案不准使用铅笔和涂改液不按以上要求作答无效液不按以上要求作答无效 4考生必须保持答题卡的整洁考试结束后，将试卷和答题卡一并交回考生必须保持答题卡的整洁考试结束后，将试卷和答题卡一并交回 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给
3、出的四个选项中，只有一项分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的是符合题目要求的 1.计算012456CCC+=（）A.20B.21C.35D.362.已知样本数据121x+，221x+，21nx+的平均数为 5，则131x+，231x+，31nx+的平均数为（）A.6B.7C.15D.163.下表是大合唱比赛 24个班级的得分情况，则 80百分位数是（）得分7 8 9 10 11 13 14 频数4 2 4 6 2 4 2 A.13.5B.10.5C.12D.134.已知a，b为两条不同直线，为三个不同平面，则下列说法正确的是（）A.若ab，b，则/a B.若/a，b，则/a b
4、C./，/，则/D.若，则/5.已知,A B C三点不共线，O为平面ABC外一点，下列条件中能确定,M A B C四点共面的是（）江苏省宿迁市2024年高二下学期6月期末考试数学试题 第2页/共5页 学科网（北京）股份有限公司 A OMOAOBOC=+B.3OMOAOBBC=C.1123OMOAOBOC=+D.32OMOAOBBC=6.已知随机事件A，B，3()10P A=，1()2P B=，1(|)3P B A=，则(|)P A B=（）A.15 B.16 C.320 D.110 7.已知9290129(21)xaa xa xa x+=+，则682424682222aaaa+的值为（）A.2
5、55 B.256 C.511 D.512 8.某工厂有甲、乙、丙 3个车间生产同一种产品，其中甲车间的产量占总产量的20%，乙车间占35%，丙车间占45%已知这 3 个车间的次品率依次为5%，4%，2%，若从该厂生产的这种产品中取出 1 件为次品，则该次品由乙车间生产的概率为（）A 331000 B.1033 C.1433 D.311 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分在每小题给出的四个选项中，有多项符分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得合题目要求全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得分，部分选对的
6、得部分分，有选错的得 0 分分 9.下列选项中叙述正确的有（）A.在施肥量不过量的情况下，施肥量与粮食产量之间具有正相关关系 B.在公式1xy=中，变量y与x之间不具有相关关系 C.相关系数10.6r=时变量间的相关程度弱于20.8r=时变量间的相关程度 D.某小区所有家庭年收入x（万元）与年支出y（万元）具有相关关系，其线性回归方程为0.8ybx=+若20 x=，16y=，则0.76b=10.已知点(2,3,3)A，(2,5,1)B，(1,4,0)C，平面经过线段AB的中点D，且与直线AB垂直，下列选项中叙述正确的有（）A.线段AB的长为 36 B.点(1,2,1)P在平面内 C.线段AB的
7、中点D的坐标为(0,4,1)D.直线CD与平面所成角的正弦值为2 23 11.甲袋中有 2 个红球、3个黄球，乙袋中有 3 个红球、2 个黄球，同时从甲、乙两袋中取出 2 个球交换，分.第3页/共5页 学科网（北京）股份有限公司 别记交换后甲、乙两个袋子中红球个数的数学期望为()E X、()E Y，方差为()D X、()D Y，则下列结论正确的是（）A.()()5E XE Y+=B.()()E XE Y C.()()D XD Y D.()()D XD Y=三、填空题：本题共三、填空题：本题共 3小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 15 分分 12.已知随机变量X服从正态分布()295,
8、N，若(80)0.3P X=，则(95110)PX=，故相关系数10.6r=时变量间的相关程度弱于20.8r=时变量间的相关程度，故 C 正确.对于 D，因为回归直线过(),x y，故16200.8b=+，故0.76b=，故 D正确.故选：ACD.10.已知点(2,3,3)A，(2,5,1)B，(1,4,0)C，平面经过线段AB的中点D，且与直线AB垂直，下列选项中叙述正确的有（）A.线段AB的长为 36 的是 第6页/共18页 学科网（北京）股份有限公司 B.点(1,2,1)P在平面内 C.线段AB的中点D的坐标为(0,4,1)D.直线CD与平面所成角的正弦值为2 23【答案】BCD【解析】
9、【分析】由空间两点间的距离公式即可得到线段AB的长，判断 A；由AB平面，垂足为点D，PDAB，即可判断 B；由中点坐标公式可得点D的坐标，判断 C；设直线CD与平面所成的角为，sincos,AB CDAB CDAB CD=，通过坐标运算可得，判断 D.【详解】因为点(2,3,3)A，(2,5,1)B，所以()()()()()2222253136AB=+=,故 A错误；设D点的坐标为(),x y z，因为D为线段AB的中点，所以22353 10,4,1222xyz+=，则D的坐标为(0,4,1)，故 C 正确；因为点(1,2,1)P，则()1,2,0PD=，又()4,2,4AB=，则()()1
10、,2,04,2,40PD AB=，所以PDAB ，即PDAB，又AB平面，垂足为点D，即D平面，所以PD 平面，故 B正确；由(1,4,0)C，(0,4,1)D，得()1,0,1CD=，设直线CD与平面所成的角为，则4042 2sincos,36 2AB CDAB CDAB CD+=，故 D 正确.故选：BCD.11.甲袋中有 2 个红球、3个黄球，乙袋中有 3 个红球、2 个黄球，同时从甲、乙两袋中取出 2 个球交换，分别记交换后甲、乙两个袋子中红球个数的数学期望为()E X、()E Y，方差为()D X、()D Y，则下列结论正确的是（）A.()()5E XE Y+=B.()()E XE
11、Y 第7页/共18页 学科网（北京）股份有限公司 C.()()D XD Y D.()()D XD Y=【答案】ABD【解析】【分析】依题意可知不管如何交换红球个数始终只有 5 个，易知5XY+=，利用期望值和方差性质可得 A，D 正确，C 错误；易知随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3,4，写出对应的概率并得出分布列，可得()2.4E X=，()()52.6E YE X=，可得 B正确.【详解】根据题意，记甲、乙两个袋子中红球个数分别为,X Y，不管如何交换红球个数始终只有 5个，易知5XY+=，对于 A，由期望值性质可得()()()55E XEYE Y=，即()()5E XE Y+=，所
12、以 A正确；对于 B，易知随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3,4；当从甲袋中取出 2个红球，乙袋中取出 2 个黄球后交换，可得()()22222255CC105CC100P XP Y=，当从甲袋中取出 1个红球，1个黄球，乙袋中取出 2个黄球后交换，或者从甲袋中 2 个红球，乙袋中取出 1个红球，1 个黄球后交换，可得()()11112223232222225555C CC CCC12314CCCC10025P XP Y=+=；当从甲袋中取出 1个红球，1个黄球，乙袋中取出 1个红球，1 个黄球；或者从甲袋中取出 2 个红球，乙袋中取出取出 2个红球；或者从甲袋中取出 2个黄球，乙袋中取
13、出取出 2 个黄球后交换，可得()()1111222223233322222222555555C CC CCCCC422123CCCCCC10050P XP Y=+=；当从甲袋中取出 2个黄球，乙袋中取出 1 个红球，1个黄球；或者从甲袋中取出 1个红球，1 个黄球，乙袋中取出取出 2个红球后交换，可得()()21111232323322225555CC CC CC36932CCCC10025P XP Y=+=；当从甲袋中取出 2个黄球，乙袋中取出 2 个红球后交换，可得()()22332255CC941CC100P XP Y=，随机变量X的分布列为 第8页/共18页 学科网（北京）股份有限公
14、司 X 0 1 2 3 4 P 1100 325 2150 925 9100 所以期望值()132199012342.4100255025100E X=+=，可得()()52.6E YE X=，即()()E XE Y，可得 B 正确；对于 C，D，由方差性质可得()()()()()251D YDXD XD X=，即可得()()D XD Y=，所以 C错误，D正确.故选：ABD【点睛】关键点点睛：根据题意可得随机变量满足5XY+=，利用期望值和方差性质可判断出 AD选项，再求出随机变量X的分布列可得结论.三、填空题：本题共三、填空题：本题共 3小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 15 分
15、分 12.已知随机变量X服从正态分布()295,N，若(80)0.3P X=，则(95110)PX=_【答案】0.2#15【解析】【分析】根据正态分布的对称性结合已知条件求解即可.【详解】因为随机变量X服从正态分布()295,N，(80)0.3P X=，所以(95110)(8095)0.5(80)0.2PXPXP X=,故答案为：0.2 13.如图，用四种不同颜色给图中的,A B C D E五个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色则不同的涂色方法共有_种 【答案】72【解析】【分析】由图形可知点E比较特殊，所以按照分类分步计数原理从点E开始涂色计算可得结果.第9页/
16、共18页 学科网（北京）股份有限公司【详解】根据题意按照,A B C D E的顺序分 5步进行涂色，第一步，点E的涂色有14C种，第二步，点A的颜色与E不同，其涂色有13C种，第三步，点B的颜色与,A E都不同，其涂色有12C种，第四步，对点C涂色，当,A C同色时，点C有 1种选择；当,A C不同色时，点C有 1种选择；第五步，对点D涂色，当,A C同色时，点D有 2种选择；当,A C不同色时，点D有 1种选择；根据分类分步计数原理可得，不同的涂色方法共有()111432C C C1 2 1 172+=种.故答案为：72 14.如图，已知三棱锥PABC的底面是边长为 2的等边三角形，60AP
17、B=，D为AB中点，PACD，则三棱锥PABC的外接球表面积为_ 【答案】203#203【解析】【分析】设PAB外接圆的圆心为E，三棱锥PABC的外接球的球心为O，连接OE，ABC的外接圆的圆心为G，连接OG，OB，可证四边形OGDE为矩形，利用解直角三角形可求外接球半径，故可求其表面积.【详解】因为ABC为等边三角形，D为AB中点，故CDAB，而PACD，PAABA=，,PA AB 平面PAB，所以CD 平面PAB.设PAB外接圆的圆心为E，三棱锥PABC的外接球的球心为O，连接,OE BE，设ABC的外接圆的圆心为G，连接OG，OB，则OE 平面PAB，OGCD 故/OE CD，故,O G
18、 D E共面，而DE平面PAB，故CDDE，故四边形OGDE为矩形.第10页/共18页 学科网（北京）股份有限公司 又112 32sin332ABBEAPB=，而1333OEDGCD=，故外接球半径为224115333OBBEOE=+=+=，故外接球的表面积为1520493=，故答案为：203 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 5小题，共小题，共 77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚分解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚 15.在()*123,Nnxnnx+的展开式中，第 2，3，4项的二项式系数依次成等差数列（1）证明展开式中不存在常数项；（2）求展开式中所有的有理项【答案】（
19、1）证明见解析；（2）7128x，4672x，280 x，214x.【解析】【分析】（1）根据题意可求得7n=，利用二项展开式的通项可得展开式中不存在常数项；（2）由二项展开式的通项令x的指数为整数即可解得合适的k值，求出所有的有理项.【小问 1 详解】易知第 2，3，4 项的二项式系数依次为123C,C,Cnnn，可得132C+C2Cnnn=，即()()()121262n nnn nn+=，整理得()()270nn=，解得7n=或2n=（舍）；所以二项式为712xx+，假设第1k+项为常数项，其中Nk，第11页/共18页 学科网（北京）股份有限公司 即可得()17772771C22Ckkkk
20、kkkxxx=为常数项，所以1702kk=，解得14N3k=，不合题意；即假设不成立，所以展开式中不存在常数项；【小问 2 详解】由（1）可知，二项展开式的通项()17772771C22Ckkkkkkkxxx=可得，其中的有理项需满足17Z2kk，即37Z2k，且7k；当30,77Z2kk=，此时有理项为707772 C128xx=；当32,74Z2kk=，此时有理项为524472 C672xx=；当34,71Z2kk=，此时有理项为3472 C280 xx=；当36,72Z2kk=，此时有理项为16272142 C xx=；综上可知，展开式中所有的有理项为7128x，4672x，280 x，
21、214x.16.某校天文社团将 2名男生和 4名女生分成两组，每组 3人，分配到A，B两个班级招募新社员（1）求到A班招募新社员的 3名学生中有 2 名女生的概率；（2）设到A，B两班招募新社员的男生人数分别为a，b，记Xab=，求X的分布列和方差【答案】（1）35 （2）85【解析】【分析】（1）由古典概型的概率求解122436C C3C5P=；（2）由题意，X的可能取值为2,0,2，算出对应概率()2P X=，()0P X=，()2P X=，即可列出 第12页/共18页 学科网（北京）股份有限公司 X的分布列，再求出()E X，进而由公式求出方差【小问 1 详解】到A班招募新社员的 3 名
22、学生中有 2名女生的概率为122436C C3C5P=.【小问 2 详解】由题意，X的可能取值为2,0,2，则()032436C C12C5P X=，()122436C C30C5P X=，()212436C C12C5P X=，所以X的分布列为 X 2 0 2 P 15 35 15 则()1312020555E X=+=，所以()()()()22213182000205555D X=+=.17.如图，正三棱柱111ABCABC中，D为AB的中点 （1）求证：1BC 平面1ACD；（2）当1AAAB的值为多少时，1AB 平面1ACD?请给出证明【答案】（1）证明见答案.（2）22【解析】【分析
23、】（1）连接1AC,交1AC于点O，连接DO，能证出1/BCDO，则能证出1BC 平面1ACD.第13页/共18页 学科网（北京）股份有限公司（2）先把1AB 平面1ACD当做条件，得出11ABAD，得出1AAAB的值，过程要正面分析.【小问 1 详解】连接1AC,交1AC于点O，连接DO，因为O是1AC的中点，D为AB的中点，所以DO是1ABC的中位线，即1/BCDO,1BC 平面1ACD，DO 平面1ACD，所以1BC 平面1ACD.【小问 2 详解】122AAAB=时，1AB 平面1ACD，证明如下：因为122AAAB=，11tan2A AB=，111tan2AADABAD=，1111A
24、 ABDAB=，1112DABAAD+=，1112A ABAAD+=，即11ABAD.因为三棱柱111ABCABC为正三棱柱，ABC为正三角形，且1AA 平面ABC，1,CDAB CDAA，1ABAAA=，AB平面11ABB A，1AA 平面11ABB A，CD平面11ABB A，因为1AB 平面11ABB A，所以1ABCD，1ADCDD=，1,AD CD 平面1ACD，1AB平面1ACD.第14页/共18页 学科网（北京）股份有限公司 122AAAB=.18.会员足够多的某知名户外健身俱乐部，为研究不高于40岁和高于40岁两类会员对服务质量的满意度 现随机抽取 100名会员进行服务满意度调
25、查，结果如下：年龄段 满意度 合计 满意 不满意 不高于 40 岁 50 20 70 高于 40岁 25 5 30 合计 75 25 100 （1）问：能否认为，会员不高于 40 岁和高于 40 岁年龄结构对服务满意度有关；（2）用随机抽取的 100 名会员中的满意度频率代表俱乐部所有会员的满意度概率从所有会员中随机抽取 3人，记抽取的 3人中，对服务满意的人数为X，求X的分布列和数学期望 参考公式：22()()()()()n adbcab cd ac bd=+（其中nabcd=+）参考数据：()20Px 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0 x 2
26、.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）不能认为会员不高于 40岁和高于 40岁年龄结构对服务满意度有关.（2）分布列见解析；94.【解析】【分析】（1）首先根据列联表中的数据结合公式计算2值，然后对照表格得到结论；（2）由表格可知，对服务满意的人的概率为34，且33,4XB，根据二项分布公式即可求解【小问 1 详解】由列联表可知：第15页/共18页 学科网（北京）股份有限公司 2217100(50 525 20)100.5872552.072730630=，所以不能认为会员不高于 40 岁和高于 40 岁年龄结构对服务满意度有关.【小
27、问 2 详解】由表格可知，对服务满意人的概率为34，且33,4XB，则0,1,2,3X=，可得：()303110C464P X=，()2133191C4464P X=，()22331272C4464P X=，()3333273C464P X=，故X的分布列如图：X 0 1 2 3 P 164 964 2764 2764 可得()39344E X=.19.如图，在三棱台ABCDEF中，2ABBCAC=，1ADDFFC=，N为DF的中点，二面角DACB的大小为 （1）求证：ACBN；（2）若2=，求三棱台ABCDEF的体积；（3）若A到平面BCFE的距离为62，求cos的值【答案】（1）证明见解析
28、；（2）78 （3）3cos5=的 第16页/共18页 学科网（北京）股份有限公司【解析】【分析】（1）利用三棱柱性质，根据线面垂直的判定定理可得AC 平面BMN，可证明结论；（2）由二面角定义并利用棱台的体积公式代入计算可得结果；（3）建立空间坐标系，求出平面BCFE的法向量，利用点到平面距离的向量求法即可得出cos的值.【小问 1 详解】取AC的中点为M，连接,NM BM；如下图所示：易知平面/ABC平面DEF，且平面ABC平面DACFAC=，平面DEF 平面DACFDF=；所以/AC DF，又因为1ADFC=，可得四边形DACF为等腰梯形，且,M N分别为,AC DF的中点，所以MNAC
29、，因为2ABBCAC=，所以BMAC，易知BMMNM=，且,BM MN 平面BMN，所以AC 平面BMN，又BN 平面BMN，所以ACBN；【小问 2 详解】由二面角定义可得，二面角DACB的平面角即为BMN，当2=时，即2BMN=，因此可得MN 平面ABC，可知MN即为三棱台的高，由1,2ADDFFCAC=可得32MN=；易知三棱台的上、下底面面积分别为3,34DEFABCSS=，因此三棱台ABCDEF的体积为133373334428V=+=第17页/共18页 学科网（北京）股份有限公司【小问 3 详解】由（1）知，BMAC，MNAC，二面角DACB的平面角即为()0,BMN=；以M为坐标原
30、点，分别以,MA MB所在直线为,x y轴，过点M作垂直于平面ABC的垂线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系：可得()()()()331,0,0,1,0,0,0,3,0,0,cos,sin,0,0,022ACBNM，易知11,0,022NFMC=，可得13,cos,sin2223F；则()1331,3,0,cos,sin222CBCF=设平面BCFE的一个法向量为(),nx y z=，所以30133cossin0222n CBxyn CFxyz=+=+=，令1y=，则1 cos3,sinxz=，可得1 cos3,1,sinn=；显然()2,0,0AC=，由A到平面BCFE的距离为62，可得62AC nn=，即22 3621 cos3 1sin=+，可得21 cos4sin=；第18页/共18页 学科网（北京）股份有限公司 整理得25cos2cos30=，解得3cos5=或cos1=；又()0,，可得3cos5=.【点睛】方法点睛：求解点到平面距离常用方法：（1）等体积法：通过转换顶点，利用体积相等可得点到面的距离；（2）向量法：求出平面的法向量，并利用点到平面距离的向量求法公式计算可得结果；