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1、2024新高考数学基础知识梳理与课本优秀题目巩固-模块13-空间向量模块十三: 空间向量 1、空间向量的有关概念 1. 与平面向量一样, 在空间中, 我们把具有大小和方向的量叫做 空间向量.2. 空间向量的长度 (模): 空间向量的大小叫做向量的长度或模,如图,其模记为 a 或 AB .3.空间向量的表示方法 (1)即利用黑体 a ,手写用 a ; (2) 空间向量1) 用有向线段表示. 也可用有向线段表示, 有向线段的长度2) 用字母 a,b 等表示. 表示空间向量的模.1) 长度为 0 的向量叫做零向量,记为 0 .2) 模为 1 的向量称为单位向量.3) 方向相同且模相等的向量称为相等向
2、量.在空间中,同向且等长的 有向线段表示同一向量 或相等向量。4) 与向量 a 长度相等而方向相反的向量,称为 a 的相反向量,记 为 a . 类似实数 a 的相反数为 a .2、空间向量的线性运算 1.空间向量的加减法及数乘运算: 空间任意两个向量都可以平 向量加法模的性质aba+ba +b .当 a,b 同向时,右等号成 立; 当 a,b 反向时,左等号成 立; 当 a,b 中有零向量时,两 等号均成立. 当 a,b 不共线时, 上式的几何意义是三角形任 意一边小于另两边之和, 大于 另两边之差.移到同一平面内, 成为同一平面内的向量. 如图 1 , 已知空间向 量 a,b ,我们可以把它
3、们移到同一平面 内,以任意点 O 为起 点,作向量 OA=a,OB=b . 类似于平面向量,定义空间向量的加 法、减法及其数乘运算 (如图 2、3).图1图2图31) a+b=OA+AB=OB;2)ab=OAOC=CA ;3) 当 0 时, a 与向量 a 的方向相同; 当 ) c ,即 abc=1c,abc= abccosb,c ,即 abc= 2a .1. 由 ab=bcb0 不能得到 a=c .2. 向量数量积运算只适合交换律、加乘分配律及数乘结合律, 但不适合乘法结合律,即 abc 不一定等于 abc . 这 是因为 abc 表示一个与向量 c 共线的向量,而 a(b . c)表示一个
4、与向量 a 共线的向量3. 空间向量没有除法运算. 对于两个非零向量 a,b 及实数 c , 由 ab=c 不能得到 a=cb 及 b=ca .5、空间向量基本定理(1) 空间向量基本定理如果三个向量 a,b,c 不共面,那么对任意一个空间向量 p , 归纳总结1. 空间任何三个不共面的向 量都可构成空间的一个基 底, 因此空间的基底有无穷 多个.2. 空间的基底是不共面向量, 故都不是 0 .3. 基底选定后, 空间中的任何 向量均可由基底唯一表示.存在唯一的有序实数组 x,y,z ,使得 p=xa+yb+zc . (1)证明 设向量 a,b,c 不共面 (如图),过点O 作 OA=a,OB
5、=b,OC=c,OP=p ,过点 P 作 直线 PP 平行于 OC 交平面 OAB 于点 P ,在 平面 OAB 内,过 P 作直线 PA/OB,PB/ OA ,分别与直线 OA、OB 相交于点 A、B ,于是存在三个实数 x,y , z ,使 OA=xOA=xa,OB=yOB=yb,PP=zc,OP=OA+OB+PP =xOA+yOB+zOC ,即 OP=p=xa+yb+zc . (1)如果 p=xa+yb+zc=xa+yb+zc ,可推出 x=x,y=y,z=z ,这 也证明了表达式(1)是唯一的.由此可知,如果三个向量 a,b,c 不共面,那么所有空间向量组成的集合就是 pp= xa+y
6、b+zc,x,y,zR . 这个集合可看作由向量 a,b,c 生成的,我们把 a,b , c 叫做空间的一个基底 (base), a,b,c 都叫做基向量 (base vectors). 空间任意三个 不共面的向量都可以构成空间的一个基底.(2) 正交分解 如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直, 且长度都 为 1,那么这个基底叫做单位正交基底,常用 i,j,k 表示. 三个向量互相垂直，且都是单位向量.由空间向量基本定理可知,对空间中的任意向量 a ,都可以 分解为三个向量 xi,yj,zk ,使 a=xi+yj+zk . 像这样,把一个空间向 量分解为三个两两垂直的向量, 叫做把空间向量
7、进行正交分解.6、空间向量及其运算的坐标表示（右手直角坐标系） (1) 空间直角坐标系 类似地,在空间选定一点 O 和一个单位正交基底 i,j,k (图 1.3-2). 以点 O 为原点,分别以 i,j,k 的方向为正方向、以 它们的长为单位长度建立三条数轴: x 轴、 y 轴、 z 轴,它们都叫 做坐标轴. 这时我们就建立了一个空间直角坐标系 Oxyz,O 叫做图 1.3-2原点, i,j,k 都叫做坐标向量,通过每两条坐标轴的平面叫做坐 标平面,分别称为 Oxy 平面, Oyz 平面, Ozx 平面,它们把空间 分成八个部分.画空间直角坐标系 Oxyz 时,一般使 xOy=135 (或 4
8、5 ), yOz=90 .(2) 空间向量的坐标表示 一般地,如果空间向量的基底 e1,e2,e3 中, e1,e2,e3 都是单位向 量, 而且这三个向量两两垂直, 就称这组基底为单位正交基底; 在单位正交 基底下向量的分解称为向量的单位正交分解,而且,如果 p=xe1+ye2+ ze3 ,则称有序实数组 x,y,z 为向量 p 的坐标,记作p=x,y,z,其中 x,y,z 都称为 p 的坐标分量.(3) 空间向量的坐标运算设a=a1,a2,a3,b=b1,b2,b3,与平面向量运算的坐标表示一样, 我们有:a+b=a1+b1,a2+b2,a3+b3,ab=a1b1,a2b2,a3b3,a=
9、a1,a2,a3,R,ab=a1b1+a2b2+a3b3.当 b0 时, a/ba=ba1=b1,a2=b2,a3=b3R ;abab=0a1b1+a2b2+a3b3=0;a=aa=a12+a22+a32;cosa,b=abab=a1b1+a2b2+a3b3a12+a22+a32b12+b22+b32.(4) 空间向量的夹角与距离公式 1. 夹角公式设非零向量 a=x1,y1,z1,b=x2,y2,z2 ,则 cosa,b=x1x2+y1y2+z1z2x12+y12+z12x22+y22+z22.2.距离公式在空间直角坐标系中,已知 Ax1,y1,z1,Bx2,y2,z2 ,则 A ,B 两点
10、间的距离 dAB=x2x12+y2y12+z2z12 .7、空间向量的应用 (1) 空间中点、直线、平面的向量表示 如图 1.4-1,在空间中,我们取一定点 O 作为基点,那么空间中任意一点 P 就可以用向量 OP 来表示. 我们把向 量 OP 称为点 P 的位置向量.一般地,如果 l 是空间中的一条直线, v 是空间中的一个非零向量,且 表示 v 的有向线段所在的直线与 l 平行或重合,则称 v 为直线 l 的一个方向 向量. 此时,也称向量 v 与直线 l 平行,记作 v/l .用向量表示直线 l ,就是要利用点 A 和直线 l 的方向向图 1.4-2量表示直线上的任意一点.如图 1.4-
11、2, a 是直线 l 的方向向量,在直线 l 上取 AB= a ,设 P 是直线 l 上的任意一点,由向量共线的条件可知, 点 P 在直线 l 上的充要条件是存在实数 t ,使得AP=ta,即AP=tAB.进一步地,如图 1.4-3,取定空间中的任意一点 O ,可图 1.4-3以得到点 P 在直线 l 上的充要条件是存在实数 t ,使OP=OA+ta,(1)将 AB=a 代人(1)式,得OP=OA+tAB(2)(1)式和(2)式都称为空间直线的向量表示式. 由此可知,空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定. 你能证明这个结论吗?我们知道,平面 可以由 内两条相交直线确定. 如图 1.
12、4-4,设两条直线相交于点 O ,它们的方向向量分别为 a 和 b,P 为平面 内任意一点,由平面向量基本定理可知, 存在唯一的有序实数对 x,y ,使得OP=xa+yb.这样,点 O 与向量 a,b 不仅可以确定平面 ,还可以具体表示出 内的任意一点. 这种表示在解决几何问题时有重要作用.图 1.4-4图 1.4-5进一步地,如图 1.4-5,取定空间任意一点 O ,可以得 到,空间一点 P 位于平面 ABC 内的充要条件是存在实数 x , y ,使OP=OA+xAB+yAC(3)你能证明这个结论吗?我们把(3)式称为空间平面 ABC 的向量表示式. 由此可(2) 平面的法向量 如图 1.4
13、-6,直线 l . 取直线 l 的方向向量 a ,我们称向量 a 为平面 的法向量 (normal vector). 给定一个点 A 和一个向量 a ,那么过点 A ,且以向量 a 为法向量的平面 完全确定,可以表示为集合 PaAP=0 .图 1.4-6如果另有一条直线 m ,在直线 m 上任取向 量 b,b 与 a 有什么关系?(3) 空间直线、平面位置关系判定 如图 1.4-8,设 u1,u2 分别是直线 l1,l2 的方向向量. 由方向向量的定义可知,如 果两条直线平行, 那么它们的方向向量一定平行; 反过来, 如果两条直线的方向向量平 行, 那么这两条直线也平行. 所以l1/l2u1/
14、u2R,使得u1=u2.图 1.4-8图 1.4-9图 1.4-10类似地,如图 1.4-9,设 u 是直线 l 的方向向量, n 是平面 的法向量, l 则l/unun=0.如图 1.4-10,设 n1,n2 分别是平面 , 的法向量,则/n1/n2R,使得n1=n2.一般地, 直线与直线垂直, 就是两直线的方向向量垂直; 直线与平面垂直, 就是直线 的方向向量与平面的法向量平行; 平面与平面垂直, 就是两平面的法向量垂直.如图 1.4-13(1),设直线 l1,l2 的方向向量分别为 u1,u2 ,则l1l2u1u2u1u2=0.图 1.4-13如图 1.4-13(2),设直线 l 的方向
15、向量为 u ,平面 的法向量为 n ,则lu/nR, 使得 u=n .如图 1.4-13(3),设平面 , 的法向量分别为 n1 ,n2 ,则n1n2n1n2=0.(4) 利用空间向量研究空间距离与夹角 (1)空间中的距离 如图 1.4-16,向量 AP 在直线 l 上的投影向量为 AQ ,则图 1.4-16APQ 是直角三角形. 因为 A,P 都是定点,所以 AP,AP 与 u 的夹角 PAQ 都是确定的. 于是可求 AQ . 再利用勾股定理, 可以求出点 P 到直线 l 的距离 PQ .设 AP=a ,则向量 AP 在直线 l 上的投影向量 AQ=auu .在 Rt APQ 中,由勾股定理
16、,得PQ=AP2AQ2=a2au2.如图 1.4-17,已知平面 的法向量为 n,A 是平面 内的定点, P 是平面 外一点. 过点 P 作平面 的垂线 l ,交平面 于点 Q ,则 n 是直线 l 的方向向量,且点 P 到平面 的距离就是 AP 在直线 l 上的投影向量 QP 的长度. 因此PQ=APnn=APnn=APnn.类似地, 请同学们研究如何求两个平行平面的距离.(2)空间中的夹角 一般地, 两条异面直线所成的角, 可以转化为两条异面直线的方向向量的夹角来求 得. 也就是说,若异面直线 l1,l2 所成的角为 ,其方向向量分别是 u,v ,则cos=cosu,v=uvuv=uvuv
17、.类似地, 直线与平面所成的角, 可以转化为直线的方向向量与平面的法向量的夹角. 如图 1.4-20,直线 AB 与平面 相交于点 B ,设直线 AB 与平面 所成的角为 ,直线 AB 的方向向量为 u ,平面 的法向量为 n ,则sin=cosu,n=unun=unun.图 1.4-20图 1.4-21如图 1.4-21,平面 与平面 相交,形成四个二面角, 我们把这四个二面角中不大于 90 的二面角称为平面 与平 面 的夹角.类似于两条异面直线所成的角,若平面 , 的法向量 分别是 n1 和 n2 ,则平面 与平面 的夹角即向量 n1 和 n2 的夹角或其补角. 设平面 与平面 的夹角为
18、,则cos=cosn1,n2=n1n2n1n2=n1n2n1n2.三垂线定理 如果平面内的一条直线与平面的一条斜线在该平面内的射 影垂直, 则它也和这条斜线垂直.三垂线定理的逆定理 如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂 直，则它也和这条斜线在该平面内的射影垂直.【课本优质习题汇总】 新人教 A 版选择性必修一 P93. 如图,在平行六面体 ABCDABCD 中, AB=4,AD=3,AA=5,BAD=90,BAA= DAA=60 . 求:(1) AAAB ; (2) AB 的长; (3) AC 的长.(第 2 题)(第 3 题)(第 4 题)4. 如图,线段 AB,BD 在平面 内, B
19、DAB,AC ,且 AB=a,BD=b,AC=c ,求 C,D 两 点间的距离.新人教 A 版选择性必修一 P94. 如图,已知四面体 ABCD 的所有棱长都等于 a,E,F,G 分别是(第 4 题)棱 AB,AD,DC 的中点. 求:(1) ABAC ; (2) ADDB ; (3) GFAC ;(4) EFBC ; (5) FGBA ; (6) GEGF .新人教 A 版选择性必修一 P10 6. 如图,已知 E,F,G,H 分别为四面体 ABCD 的棱 AB,BC,CD,DA 的中点,求证: E , F,G,H 四点共面.(第 6 题)新人教 A 版选择性必修一 P10 9. 如图,在四
20、面体 OABC 中, OABC,OBAC . 求证: OCAB .(第 9 题)(第 10 题)10. 如图,在四面体 OABC 中, OA=OB,CA=CB,E,F,G,H 分别是 OA,OB,BC , CA 的中点. 求证: 四边形 EFGH 是矩形.新人教 A 版选择性必修一 P141. 已知四面体 OABC,OB=OC,AOB=AOC= . 求证: OABC .新人教 A 版选择性必修一 P156. 如图,平行六面体 ABCDA1B1C1D1 的底面 ABCD 是菱形,且 C1CB=C1CD=BCD= 60,CD=CC1 ,求证: CA1 平面 C1BD .(第 6 题)新人教 A 版
21、选择性必修一 P15 7. 如图,在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1 中, E,F 分别为(第 7 题)DD1,BD 的中点,点 G 在 CD 上,且 CG=14CD .(1) 求证: EFB1C ;(2) 求 EF 与 C1G 所成角的余弦值.8. 已知四面体中三组相对棱的中点间的距离都相等, 求证: 这个四面 体相对的棱两两垂直.新人教 A 版选择性必修一 P35 2. 如图,在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1 中, E 为线段 DD1 的中点, F 为线段 BB1 的中点.(1) 求点 A1 到直线 B1E 的距离;(2) 求直线 FC1 到直线 AE 的距离
22、;(3) 求点 A1 到平面 AB1E 的距离;(4) 求直线 FC1 到平面 AB1E 的距离.(第 2 题)新人教 A 版选择性必修一 P38 4. 如图, ABC 和 DBC 所在平面垂直,且 AB=BC=BD,CBA(第 4 题)=DBC=120 . 求:(1) 直线 AD 与直线 BC 所成角的大小;(2) 直线 AD 与平面 BCD 所成角的大小;(3) 平面 ABD 和平面 BDC 的夹角的余弦值.新人教 A 版选择性必修一 P41 1. 如图,二面角 l 的棱上有两个点 A,B ,线段 BD 与 AC 分别在这个二面角的两个面内,并且都 垂直于棱 l . 若 AB=4,AC=6
23、,BD=8,CD=217 ,求平面 与平面 的夹角.(第 1 题)(第 2 题)2. 如图,在三棱雉 ABCD 中, AB=AC=BD=CD=3,AD=BC=2,M,N 分别是 AD,BC 的中 点. 求异面直线 AN,CM 所成角的余弦值.新人教 A 版选择性必修一 P44 13. 如图,已知正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 1,E 为 CD 的中点,求点 D1 到平面 AEC1 的距离.(第 13 题)(第 14 题)(第 15 题)14. 如图,正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 1,M 是棱 AA1 的中点, O 是 BD1 的中点. 求 证: OM 分别与异面直线
24、AA1,BD1 垂直,并求 OM 的长.15. 如图,已知正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 1,Q 为 B1C1 的中点,点 P 在棱 AA1 上, AP:AA1=1:3 . 求平面 ABCD 与平面 BQP 夹角的余弦值.新人教 A 版选择性必修一 P4417. 在空间直角坐标系中,已知向量 u=a,b,cabc0 ,点 P0x0,y0,z0,点Px,y,z.(1) 若直线 l 经过点 P0 ,且以 u 为方向向量, P 是直线 l 上的任意 一点,求证: xx0a=yy0b=zz0c ;(2) 若平面 经过点 P0 ,且以 u 为法向量, P 是平面 内的任意一 点,求证: ax
25、x0+byy0+czz0=0 .18. 在如图所示的试验装置中,两个正方形框架 ABCD,ABEF 的边长(第 18 题)都是 1,且它们所在的平面互相垂直. 活动弹子 M,N 分别在正方 形对角线 AC 和 BF 上移动,且 CM 和 BN 的长度保持相等,记 CM=BN=a0a2.(1) 求 MN 的长;(2) a 为何值时, MN 的长最小?(3) 当 MN 的长最小时,求平面 MNA 与平面 MNB 夹角的余弦值.新人教 A 版选择性必修一 P488. 如图,在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1 中, E,F,G 分别是 DD1,BD,BB1 的中点.(1) 求证: EFC
26、F ;(2) 求 EF 与 CG 所成角的余弦值;(3) 求 CE 的长.(第 8 题)(第 9 题)9. 如图,在直三棱柱 ABCA1B1C1 中, CA=CB=1,BCA=90,AA1=2,M,N 分别是 A1B1,A1A 的中点.(1) 求 BN 的长;(2) 求 cosBA1,CB1 的值;(3) 求证: A1BC1M .新人教 A 版选择性必修一 P4810. 如图,在平行六面体 ABCDABCD 中,底面 ABCD 是边长为 a 的正方形,侧棱 AA 的长 为 b ,且 AAB=AAD=120 . 求: (1) AC 的长; (2) 直线 BD 与 AC 所成角的余弦值.(第 10
27、 题)(第 11 题)(第 12 题)11. 如图,在长方体 ABCDA1B1C1D1 中,点 E,F 分别在 BB1,DD1 上,且 AEA1B , AFA1D .(1) 求证: A1C 平面 AEF ;(2) 当 AB=4,AD=3,AA1=5 时,求平面 AEF 与平面 D1B1BD 的夹角的余弦值.12. 如图,在四棱雉 SABCD 中,底面 ABCD 满足 ABAD,ABBC,SA 底面 ABCD ,且 SA=AB=BC=1,AD=0.5 .(1) 求四棱雉 SABCD 的体积;(2) 求平面 SCD 与平面 SAB 的夹角的余弦值.新人教 A 版选择性必修一 P4913. 如图,把
28、正方形纸片 ABCD 沿对角线 AC 折成直二面角, E ,(第 13 题)F 分别为 AD,BC 的中点, O 是原正方形 ABCD 的中心,求 折纸后 EOF 的大小.14. 在正四棱雉 SABCD 中, O 为顶点 S 在底面内的射影, P 为侧棱 SD 的中点,且 SO=OD . 求直线 BC 与平面 PAC 所 成的角.新人教 A 版选择性必修一 P4916. 如图,在棱长为 a 的正方体 OABCOABC 中, E,F 分别是棱 AB,BC 上的动点,且 AE=BF .(1) 求证: AFCE ;(2) 当三棱雉 BBEF 的体积取得最大值时,求平面 BEF 与平面 BEF 的夹角
29、正切值.(第 16 题)(第 17 题)17. 如图,两条异面直线 a,b 所成的角为 ,在直线 a,b 上分别取点 A,E 和点 A,F ,使 AAa ,且 AAb . 已知 AE=m,AF=n,EF=l ,求线段 AA 的长. 新人教 B 版选择性必修一 P12如果 a,b 都是空间向量，判断aba+ba+b是否成立, 并说明等号何时成立.(6) 已知 a=4 ,向量 e 为单位向量, a,e=23 ,求向量 a 在向量 e 方向上的投 影的数量.新人教 B 版选择性必修一 P17(4) 已知平行六面体 ABCD - ABCD 中,点 E 是上底面 ABCD 的中心,求下列 各题中 x,y
30、 的值:(1) AC=xAB+BC+CC ; (2) AE=AA+xAB+yAD .(5) 已知直三棱柱 ABCA1B1C1 中, ABC=60,AB=2,BC=CC1=1 ,求 AB1BC1 .新人教 B 版选择性必修一 P28(3) 已知空间直角坐标系中,平行六面体 ABCDA1B1C1D1 满足: A2,1,3 , B2,2,1,C3,4,2,D1,3,4 ,且平行六面体的体对角线的交 点为 M1,1,1 ,求 A1,B1,C1,D1 的坐标.新人教 B 版选择性必修一 P29(2) 已知 A,B,C 是空间中不共线的三点, O 是空间中任意一点,求证: P 在 平面 ABC 内的充要条
31、件是,存在满足 x+y+z=1 的实数 x,y,z ,使得OP=xOA+yOB+zOC.新人教 B 版选择性必修一 P54(第 3 题)(2) 已知正三棱雉 S - ABC 的所有棱长都为 1,求其侧面与底面所 成角的余弦值.(3) 如图,已知 AB 是圆的直径,且 AB=4,PA 垂直于圆所在的 平面,且 PA=23,M 是圆周上一点,且 ABM=30 ,求 二面角 ABMP 的大小.新人教 B 版选择性必修一 P60(第 5 题)(5) 如图所示,已知 Rt ACB 在平面 内, D 是斜边 AB 的中 点, OC ,且 O 到平面 的距离为 12cm,AC=6cm , BC=8cm ,求
32、线段 OA,OB,OD 的长.新人教 B 版选择性必修一 P60(4) 已知正四面体 ABCD 的棱长都为 1,点 M,N 分别是 AB,CD 的中点,求 M , N 这两点间的距离.新人教 B 版选择性必修一 P63(5) 如图所示,已知四棱雉 EABCD 中, ABCD 是直角梯形, ABC=BAD=90,BE 平面 ABCD,AB=BC=BE=2AD=6 .(1) 求点 B 到平面 CDE 的距离;(2) 求二面角 ACDE 的正切值.(第 5 题)新人教 B 版选择性必修一 P63(4) 已知三棱雉 SABC 中, SA 底面 ABC,ABC=90,SA=AB=4 , BC=3,E 是
33、 AB 的中点,点 F 在 BC 上且 FC=2BF . 求点 A 到平面 SEF 的距离.新人教 B 版选择性必修一 P668. 已知 O 为坐标原点, OABC 是四面体, A0,3,5,B2,2,0,C(0 , 5,0) ,直线 BD 与直线 CA 平行,并且与坐标平面 xOz 相交于点 D ,求点 D 的 坐标.9. 如图所示,已知三个平面 AOB,BOC,AOC 相交于点 O ,且 AOB= BOC=AOC=60 ,求直线 OA 与平面 BOC 所成角的余弦值.(第 9 题)新人教 B 版选择性必修一 P6610. 如图所示,三棱雉 ABCD 中,平面 ABC 与平面 DBC 互相垂
34、直,且 AB= BC=BD,CBA=CBD=120 . 求:(第 10 题)(1) AD 所在直线和平面 BCD 所成角的大小;(2) AD 所在直线与直线 BC 所成角的大小;(3) 二面角 ABDC 的正弦值.11. 已知 A ,直线 AB 与平面 所成的角为 30 ,直线 AC 与平面 所成的角 为 60,AB=6cm,AC=8cm ,且斜线段 AB,AC 在平面 内的射影相互垂直, 求 BC 的长.12. 已知 AB 垂直于平面 ,垂足为点 B ,且 AO 与 相交于点 O,AOB= 60 ,射线 OC 在 内,且 BOC=30,OA=6 ,求点 A 到直线 OC 的距离.新人教 B
35、版选择性必修一 P674. 如图所示,已知四棱雉 PABCD 中, PBAD ,侧面 PAD 为边长等于 2 的 正三角形,底面 ABCD 为菱形,侧面 PAD 与底面 ABCD 所成的二面角为 120 .(第 4 题)新人教 B 版选择性必修一 P675. 如图所示,在三棱雉 PABC 中, PAB 是等边三角形, PAC=PBC=90 .(1) 证明: ABPC ;(2) 若 PC=4 ,且平面 PAC 平面 PBC ,求三棱雉 PABC 的体积.(第 5 题)新人教 B 版选择性必修一 P686. 如图所示,四棱雉 SABCD 的底面是正方形,每条侧棱的长都是底面边长 的 2 倍, P
36、为侧棱 SD 上的点.(第 6 题)(1) 求证: ACSD ;(2) 若 SD 平面 PAC ,求二面角 PACD 的大小;(3) 在 (2) 的条件下,侧棱 SC 上是否存在一点 E ,使得 BE/ 平面 PAC . 若 存在,求 SE:EC 的值; 若不存在,试说明理由.(一) 直线与直线的方程 1、直线的倾斜角与斜率锐角直角钝角零角直线的倾斜角图形 温馨提示 1. 直线都存在唯一的倾斜角, 但不一定存在斜率, 倾斜角 为 90 的直线没有斜率.2. 直线的斜率和倾斜角都是 刻画直线倾斜程度的量, 斜 率侧重于代数角度, 倾斜角 侧重于几何角度.3. 由直线的斜率 k 的范围求倾 斜角
37、的范围时,要注意 的取值范围,即 090 或 90180 ,此时 k= tan 的图象是不连续的.模块十四：直线与圆的方程 1 直线的倾斜角 强调“两个方向”: x 轴的正向，直线向上的 1. 直线的倾斜角的定义 方向; 直线相对于 x 轴正向的倾斜程度.当直线 l 与 x 轴相交时,我们以 x 轴为基准, x 轴正向与直线 l 向上的方向之间所成的角 叫做直线 l 的倾斜角. 当直线 l 和 x 轴平行或重合时,规定它的倾斜角为 0 . 直线的倾斜角 的取值 范围为 0180 .2. 直线的倾斜角的意义1) 直线的倾斜角体现了直线相对于 x 轴正向的倾斜程度.2) 在平面直角坐标系中, 每一
38、条直线都有一 个确定的倾斜角.3) 如图所示, 倾斜角相同, 未必表示同一条直线.2 直线的斜率 一条直线有唯一的倾斜角, 但一个倾斜1.直线的斜率 角可以对应无数条直线.倾斜角不是 90 的直线,它的倾斜角 的正切值叫做这条直 线的斜率. 斜率通常用 k 表示,即 k=tan,0180 ,且 900. 当倾斜角 =90 时，直线的斜率不存在2. 直线的斜率公式 P1x1,y1,P2x2,y2k=y2y1x2x1 或 k=y1y2x1x2 x1x2 的直线的斜率公式: 3 斜率与倾斜角的关系注: “/”表示“逐渐增大”. 直线的方向向量图示P1P2 与 OP 都是直线的方向向量.若直线 l1,
39、l2 重合，仍然有 k1 =，这是利用斜率证明三 点共线的方法当 l1,l2 的斜率都不存在时, 两直线也平行。1、直线的方程 温馨提示 截距不是距离, 它可以是 正数, 可以是负数, 也可以是 零. 如图,直线 l1,l2,l3 在 y 轴 上的截距分别为 1,0,1 .4 直线的方向向量 * 直线 P1P2 上的向量 P1P2 以及与它平行的非零向量都是直 线 P1P2 的方向向量.直线 P1P2P1x1,y1,P2x2,y2 的方向向量 P1P2 的坐标为 x2x1,y2y1 .当直线 P1P2 与 x 轴不垂直时, x1x2 ,此时向量 1x2x1P1P2 也 是直线 P1P2 的一个
40、方向向量,它的坐标为 1x2x1x2x1,y2y1= 1,y2y1x2x1=1,k (其中 k 是直线 P1P2 的斜率). 若直线 l 的斜率 为 k ,它的一个方向向量的坐标为 x,y ,则 k=yx .5 两直线平行和垂直的判定 设两条不重合的直线 l1,l2 ,它们的斜率存在且分别为 k1,k2 .-1) l1/l2k1=k2; 当 l1,l2 一条斜率为 0,另一条斜率不存在2) l1l2k1k2=1 . 时,两直线也垂直.1 直线的方程 分 完备性. 纯粹性.如果以一个方程的解为坐标的点都在某条直线上, 且这条 直线上的点的坐标都是这个方程的解,那么这个方程叫做这条 直线的方程, 这条直线叫做这个方程的直线.2 直线方程的几种形式 纵截距.1. 截距: 直线 l 与 y 轴交点 0,b 的纵坐标 b 叫做直线 l 在 y