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1、2024新高考数学基础知识梳理与课本优秀题目巩固-模块07-导数及其应用模块七：导数及其应用 1、函数的平均变化率 一般地,若函数 y=fx 的定义域为 D ,且x1,x2D,x1x2,y1=fx1,y2=fx2,则称x=x2x1为自变量的改变量; 称y=y2y1(或f=fx2fx1)为相应的因变量的改变量; 称yx=y2y1x2x1或fx=fx2fx1x2x1为函数 y=fx 在以 x1,x2 为端点的闭区间上的平均变化率,其中 “以 x1,x2 为端点的闭区间”,在 x1x2 时指 的是 2平均变化率的实际意义是,在以 x1,x2 为端点的闭区间上,自变量每 增加 1 个单位,因变量平均将
2、增加 yx 个单位. 因此,如果自变量增加 h 个 单位, 那么因变量将增加 个单位. 个单位.说明: 在 x10 ; 在 x1x2 时 x0 吗?(2) 函数 y=fx 的导函数是 fx . 若函数单调递增,则 : 若函数单调递减,则(3) fx 的大小表示函数值的变化快慢,图象的陡缓:6、导数与函数的极值 (1) 函数的极值 一般地,设函数 y=fx 的定义域为 D ,设 x0D ,如果对于 x0 附近 的任意不同于 x0 的 x (1),都有(1) fxfx0 ,则称 x0 为函数 fx 的一个极小值点,且 fx 在 x0 处取极小值.说明: 极大值点与极小值点都称为极值点, 极大值与极
3、小值都称为极值.(2) 导数与极值 如果 x0 是函数 y=fx 的极值点,且 fx 在 x0 处可导,则必有: fx0一般地,设函数 fx 在 x0 处可导,且 fx0=0 .(1) 如果对于 x0 左侧附近的任意 x ,都有 fx0 ,对于 x0 右侧附 近的任意 x ,都有 fx0 ,那么此时 x0 是 fx 的极大值点.(2) 如果对于 x0 左侧附近的任意 x ,都有 fx0 ,那么此时 x0 是 fx 的极小值点.(3) 如果 fx 在 x0 的左侧附近与右侧附近均为正号 (或均为负号), 则 x0 一定不是 y=fx 的极值点.说明: (1)若 fx0 存在,则 “ fx0=0
4、” 是 “ x0 是函数 y=fx 的极值点” 的条件.(2)区间端点不是极值点, 一个函数在定义域内可以有多个极大值和极小值, 极大值不一定大于极小值;(3)在区间上单调函数没有极值;7、导数与函数的最大值和最小值 (1) 最值定理 一般地,如果在区间 a,b 上函数 y=fx 的图象是一条连续不断的曲线,那么它 必有最大值和最小值.(2) 极值与最值的关系 一般地,如果函数 y=fx 在定义域内的每一点都可导,且函数存在 极值,则函数的最值点一定是某个极值点; 如果函数 y=fx 的定义域为 a,b 且存在极值,函数 y=fx 在 a,b 内可导,那么函数的最值点 要么是区间端点 a 或
5、b ,要么是极值点.(3) 求函数 y=fx 在区间 a,b 上的最大值与最小值的步骤:(1) 求函数 y=fx 在区间 a,b 内的极值;(2) 将函数 y=fx 的各极值与端点处的函数值 fa,fb 比较,其中最大的一个 是最大值, 最小的一个是最小值.8、重要母函数的图象和性质 解析式fx=xexfx=xexfx=exx图 像定义域,+,+,00+解析式fx=xlnxfx=xlnxfx=lnxx图 像fx=lnxx定义域0,+0,11,+0,+9、常用于求或恒成立、或有解、或无解命题中的参数取值范围:设函数 fx 的值域为 a,b 或 a,b 或 (a,b 或 a,b) 中之一种,则(1
6、)若 fx 恒成立 (即 fx 无解),则 fxmin ;(3) 若 fx 有解 (即存在 x 使得 fx 成立),则 fxmin ;(4)若 fx 有解 (即存在 x 使得 fx 成立),则 fxmax ;(5)若 =fx 有解 (即 fx 无解),则 yy=fx ;(6)若 =fx 无解 (即 fx 有解),则 Uyy=fx .【导数中的重要方法总结】 1 、切线问题: (1) 已知切点 x0,fx0 ,求切线方程的解题步骤:(1) 求导数值 fx ; (2) 切线方程为: yfx0=fxxx0 .(2) 过点 a,b 的切线方程求解步骤:(1) 设切点 x0,fx0 ; (2)切线斜率为
7、: fx0bx0a=fx0x0(3) 方程为: yfx0=fxxx0 ;(3) 求 y=fx 与 y=gx 的公切线的步骤:(1)设切点 x1,fx1,x2,gx2 ; (2)求导列关系式 k=fx1gx2x1x2=fx1=gx2(3)根据上面的关系式解出 x1 或 x2 ; (4) 回代入(2)中求出 k ,如 k=fx1 ;(5)利用点斜式求出切线,如 yfx1=fx1xx1 . 2、参数取值范围:(1) 函数定义域: 解决函数问题, 定义域优先.(2) 分离参量: 利用分离参量的思路将题目给的参数移到一边. ahx(3) 恒成立和成立问题:(1)恒成立: fxa 恒成立 fxmaxa 恒
8、成立 fxmina ;(2)成立: fxa 成立 fxmina 成立 fxmaxa(4) 导函数零点可求: 导函数零点可求时, 运用常规方法可求得函数最值, 进而可得参数 取值范围. 步骤: fx 定义域 fx 求 fx 零点 列表 判断增减性 得最值. 3、导函数零点不可求的处理方法: 需要单独设分子为新函数, 求导推出原函数单调性. (1)分类讨论法 (证明不等式成立): 通过对原函数或者导函数进行因式分解, 对局部函数 进行研究, 找出参数分界值, 在分段区间上证明题意成立, 从而印证该区间参数可以取到 单调性讨论: 分离出参量后, 构造新函数, 求新函数最值, 若新函数的导函数零点不可
9、求 往往需要对分式分子进行求导 (整式直接进行二阶求导), 若得到的式子不能比较直观的 判断正负则继续求导, 直到得到的式子能比较直观判断正负, 进而推出前面几阶导数的 增减和正负, 直到可以确定原函数增减性. (2)分离参量法:(1) 隐零点: 通过虚设零点进行等量代换求解函数的最值.“虚设代换 法: 导函数 fx 的零点无法求出显性的表达时,可以利用设而不求的思想.(1) 在证明零点存在后,假设零点为 xa ,则可得到一个关于 xo 的方程 fxo=0(2) 根据 fx 的单调性,得出 xo 两侧的正负,进面得出原函数的单调性和极值 fxo ;(3) 将(1)式中关于 xo 的方程整体或局
10、部代入 fxo ,从而求得 fxo ,然后解决相关问题. 注意: 使用 fxo=0 进行 指幂代换 (或 对幂代换 ),尽最转化为幂函数进行讨论. (2) 洛必达法则: 在驻点不可求时, 往往需要讨论函数的增减性, 这时, 函数的最值往往 在间断点处取得, 所以需要通过极限计算的方法求出函数的最值. 求极限时, 函数的极 限如果满足未定式 00、 . 则需通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值.即:limfxgx=limfxgx 4、证明单变量不等式 (1) 核心考点: 主要思路是把问题转化为函数最值问题,譬如证明 fxgx :策略一: 移项,构造函数,证明 fxgxmin0 ;策略二:
11、 放缩,证明 fxlxgx ,一般 lx 为切线;策略三: 变形,证明 fxmingxmax ,该法并非通法,但有时对证明有意想不到的效果.(2) 函数放缩化曲为直: 在处理函数不等式或者求解函数近似解中, 由于原函数比较复 杂, 常用化曲为直的方法进行放缩, 以曲线上某点处的切线进行放缩, 前提条件是放缩对 象具有凹凸性 (二阶导恒大于或小于 0 ).常见的化曲为直有:基础指数切线放缩: exx+1对数切线放缩: lnxx1引深(1) ex1x、exex (切横 x=1 ) (2) ex+ax+a+1 (用 x+a 替 换 x ,切点横坐标是 x=a ), (3) xexx+lnx+1 .
12、(用 x+ lnx 替换 x ,切点横坐标满足 x+ lnx=0). (4) exe24x2x2x0 (用 x2 替换 x ,切点横坐标是 x=2 ); 有 exnexnx0 的构造模型.(1) lnxxe . (用 xe 替换 x ,切点横坐标 是 x=e) (2) lnx11x . (用 1x 替换 x ,切点横 坐标 x=1) ,或者记为 xlnxx1 . (3) lnxx2x.lnxxx1 . (4) lnx+1x ,由 lnxx1 向左平移 一个单位,或者将 exx+1 两边取对数 而来. 5、证明双变量不等式 (1) 利用变量之间的关系转化 (消元或捆绑换元) 为单变量的不等式证明
13、;(1)当 x1x2 时,令 t=x2x1,t0,+ ; (2)当 0x1x2 ,令 t=t1t20,1 .(2) 分拆变量, 证明极值点偏移(1) 极值点偏移: 对 fx 有 fx1=fx2x1x2,x0 是函数 fx 的极值点,且 x0x1,x2若 x1+x22x0 称为极值点左偏.(2)分拆变量利用单调性证明极值点偏移的思路 (以 x1+x22x0 为例):i、将所证不等式中的变量分到不等式的两边 x1gx0=0 ;v 、利用 fx 单调性反推变量大小,从而 fx1=fx2f2x0x2x1+x20xfx0;xfxfx0fxx0当 x0 时, xfx+nfx0xnfx0;xfxnfx0fx
14、xn0(2) fx+fx0exfx0;fxfx0fxex0fx+fxaexfxa0;fxfxafx+aex0sinxfx+cosxfx0x2,2tanxfx+fx0sinxfx0sinxfxcosxfx0x2,2,tanxfxfx0fxsinx0cosxfxsinxfx0fxtanxfx0cosxfxcosxfx+sinxfx0x2,2,fx+tanxfx0fxcosx0【课本优质习题汇总】 新人教 A 版选择性必修二 P70(第 2 题)2. 函数 fx 的图象如图所示,下列数值排序正确的是 ( ).(A) f1f2f30 (B) f1f2f30(C) 0f1f2f20f3 新人教 A 版选
15、择性必修二 P816. 已知函数 fx 满足 fx=f4sinxcosx ,求 fx 在 x=4 处的导数.7. 设函数 fx=1ex 的图象与 x 轴相交于点 P ,求该曲线在点 P 处的切线方程.8. 已知函数 fx=x22+2x3lnx ,求 fx 的导数,并求出 fx0 的解集.新人教 A 版选择性必修二 P8211. 设曲线 y=e2ax 在点 0,1 处的切线与直线 2xy+1=0 垂直,求 a 的值.新人教 A 版选择性必修二 P942. 证明不等式: x1lnx,x0,+ . 新人教 A 版选择性必修二 P987. 将一条长为 l 的铁丝截成两段,分别弯成两个正方形. 要使两个
16、正方形的面积和最小,两段铁 丝的长度分别是多少?8. 将一个边长为 a 的正方形铁片的四角截去四个边长均为 x 的小正方形,做成一个无盖方盒.(1) 试把方盒的容积 V 表示为 x 的函数;(2) x 多大时,方盒的容积 V 最大?新人教 A 版选择性必修二 P98 9. 用测量工具测量某物体的长度,由于工具的精度以及测量技术的原因,测得 n 个数据a1,a2,a3,an.证明: 用 n 个数据的平均值x=1ni=1nai表示这个物体的长度,能使这 n 个数据的方差fx=1ni=1nxai2最小.新人教 A 版选择性必修二 P99 11. 已知某商品进价为 a 元/件,根据以往经验,当售价是
17、bb43a 元/件时,可卖出 c 件. 市 场调查表明,当售价下降 10% 时,销量可增加 40% . 现决定一次性降价,售价为多少时,可 获得最大利润?12. 利用函数的单调性, 证明下列不等式, 并通过函数图象直观验证:(1) ex1+x,x0 ; (2) lnxx0 . 新人教 A 版选择性必修二 P1033. 已知函数 y=fx 的图象是下列四个图象之一,且其导函数 y=fx 的图象如图所示,则该 函数的图象是 ( ).(第 3 题)(A)(D)(B) (C)6. 一杯 80C 的热红茶置于 20C 的房间里,它的温度会逐渐下降,温度 T单位: C 与时间 t (单 位: min) 之
18、间的关系由函数 T=ft 给出.(1) 判断 ft 的正负,并说明理由.(2) f3=4 的实际意义是什么? 如果 f3=65C ,你能画出函数 ft 在 t=3 时图象的 大致形状吗?新人教 A 版选择性必修二 P10411. 如图,直线 l 和圆 P ,当 l 从 l0 开始在平面上按逆时针方向绕点 O 匀速转动 (转动角度不超 过 90 ) 时,它扫过的圆内阴影部分的面积 S 是时间 t 的函数. 这个函数的图象大致是 ( ).(第 11 题)(A)(B)(C)(D)新人教 A 版选择性必修二 P10417. 作函数 y=ex2x1x1 的大致图象.18. 已知函数 fx=exlnx+m
19、 . 当 m2 时,求证 fx0 .19. 已知函数 fx=ae2x+a2exx .(1) 讨论 fx 的单调性; (2) 若 fx 有两个零点,求 a 的取值范围.新人教 B 版选择性必修三 P67(第 5 题)6 已知甲、乙两人百米赛跑路程与时间的关系如图所示.(1) 甲、乙两人的平均速度各是多少?(2) 在接近终点时, 甲乙两人谁的速度更快?新人教 B 版选择性必修三 P90(3) 已知曲线 y=x243lnx+1 的一条切线的斜率为 12 ,求切点的横坐标.(4) 求 fx=x23x+1ex 的导数,并求出曲线 y=fx 的平行于 x 轴的切 线的切点坐标.新人教 B 版选择性必修三
20、P91(5) 设 l 是曲线 y=1x 的一条切线,证明 l 与坐标轴所围成的三角形的面积与切点 无关.(6) 求满足下列条件的直线 l 的方程.(1) 过原点且与曲线 y=lnx 相切;(2) 斜率为 e 且与曲线 y=ex 相切.(7) 设曲线 y=2x3 在 a,2a3 处的切线与直线 x=a,y=0 所围成的三角形面 积为 13 ,求 a 的值.(3) 已知函数 fx=4x2 ,且曲线 y=fx 在点 1,f1 处的切线方程为 l , 直线 m 平行于直线 l 且过点 0,6 .(1) 求出直线 l 与 m 的方程;(2) 指出曲线 y=fx 上哪个点到直线 m 的距离最短,并求出最短
21、距离.(9) 已知 fx=x ,求 f9.05 的近似值.新人教 B 版选择性必修三 P91(3) 已知抛物线 C1:y=x2+2x 和 C2:y=x2+a ,如果直线 l 同时是 C1 和 C2 的切线,称 l 是 C1 和 C2 的公切线,则 a 取什么值时, C1 和 C2 有且仅有一条 公切线? 写出此公切线的方程.新人教 B 版选择性必修三 P102(1) 已知函数 fx=x3x2x1 的图象与直线 y=c 有 3 个不同的交点,求 实数 c 的取值范围.(5) 已知 exkx+1 恒成立,求 k 的取值范围.(3) 已知函数 y=kx1 与 y=lnx 的图象有且只有一个公共点,求
22、 k 的取值范围.新人教 B 版选择性必修三 P102(1) 利用导数求一元二次函数 y=ax2+bx+ca0 的单调区间与最值.(2) 若函数 fx=x3+ax2+bx+1 在 x=1 时有极值,试求函数 fx 的极值, 并求函数 fx 在区间 3,32 上的最值.新人教 B 版选择性必修三 P108(1) 已知正方形 ABCD 的边长为 1,而 E,F,G,H 分别是 AB,BC,CD , DA 上的点,且四边形 EFGH 也是正方形,求四边形 EFGH 面积的最小值.(2) 在等腰梯形 ABCD 中,已知上底 CD=40 ,腰 AD=40 ,则 AB 为多少时等腰 梯形的面积最大?(3)
23、 已知等腰三角形的周长为 2p ,将该三角形围绕底边旋转一周形成几何体,则 三角形的各边长分别是多少时所得几何体的体积最大?(4) 要做一个容积为 216mL 的圆柱形封闭容器,高与底面直径分别为何值时,所 用材料最省?(5) 若 x1,x2,xn 是一组已知数据,令sx=xx12+xx22+xxn2,用导数求 x 取何值时 sx 取得最小值.新人教 B 版选择性必修三 P1135. 已知 a0 且 fx=ax+a2x+22a ,若 fx2lnx 在 1,+) 上恒成立,求实数 a 的取值范围.6. 若函数 fx=x212lnx+1 在其定义域内的一个子集 a1,a+1 内存 在极值,求实数
24、a 的取值范围.7. 已知 fx=exax ,(1) 求 fx 与 y 轴的交点 A 的坐标;(2) 若 fx 的图象在点 A 处的切线斜率为 -1,求 fx 的极值.8. 已知 x 轴为函数 fx=x3+ax+14 的图象的一条切线,求实数 a 的值.新人教 B 版选择性必修三 P1139. 求曲线 y=ln1+x1x 在 x=0 处的切线方程.10. 函数 fx=xsinx,x, 的图象大致是 .(A)(B)(C)(D)11. 设函数 fx=x33x,xa,2x,xa.(1) 若 a=0 ,求 fx 的最大值;(2) 若 fx 无最大值,求实数 a 的取值范围.12. 要在半径为 0.5m
25、 的圆桌中心正上方安装一个吊灯,已知桌面上灯光的强 度可以用 y=ksinr2 表示,其中 r 是灯与桌面上被照点的距离, 是光线与桌面的夹 角. 为使桌边最亮, 吊灯应离桌面多高?13. 设函数 fx=x2+1ax ,其中 a0 ,若函数 fx 在 0,+) 上 是减函数,试求实数 a 的取值范围.新人教 B 版选择性必修三 P11414. 证明: 当 x0 时, ln1+x0 是 fx 有 3 个不同零点的必要不充分条件.2. 若函数 fx 在 R 上可导,且满足 fxxfx0 ,判断 3f1 与 f3 的大小.新人教 B 版选择性必修三 P1143. 设函数 fx=xeax+bx ,曲线
26、 y=fx 在 2,f2 处的切线方程为 y= (e-1) x+4 .(1) 求实数 a,b 的值;(2) 求 fx 的单调区间.4. 已知函数 fx=ax33x2+1 ,若 fx 存在唯一的零点 x0 ,且 x00 ,求 a 的取值范围.5. 已知函数 fx=ex2x1ax+a ,其中 a1 ,若存在唯一的整数 x0 使 得 fx00 .正角一条射线绕其端点_旋转 形成的角类比负数, 0 。负角一条射线绕其端点 _旋转 形成的角零角一条射线没有进行任何旋转形成的角AB零角的始边与终边重合, =0 .注: 设角 由射线 OA 绕端点 O 旋转而成,角 由射线 OA 绕端点 O 旋转而成. 如果
27、它们的旋转方向相 同且旋转量相等,那么就称 = .(3) 角的加法、减法1) 角的加法设 , 是任意两个角. 我们规定,把角 的终边旋转角 ,这时终边所对应的角是 + .2) 相反角的概念我们把射线 OA 绕端点 O 按不同方向旋转相同的量所成的 两个角叫做互为相反角. 角 的相反角记为 .3) 角的减法像实数减法的 “减去一个数等于加上这个数的相反数”一 样,我们有 =+ . 这样,角的减法可以转化为角的 加法. 类比“减去一个数等于加上这个数的相反数”.2、终边相同的角: 所有与角 终边相同的角,连同角 在内,可构成一个 温馨提示 3. 当角的始边相同时, 相等的 角的终边一定相同, 而终
28、边 相同的角不一定相等. 终边 相同的角有无数个, 它们相 差 360 的整数倍. 终边不同 则表示的角一定不同.集合 1. 为任意角,“ kZ ” 这一条 件不能漏.2.k360 与 中间用“ + ” 连即任一与角 终边相同的角,都可以表示成角 与整数个周接, k360 可理解成 k . 角的和. 360+ .3、象限角与轴线角 (1) 象限角的表示:(i) 第一象限角: . (弧度表示) (注: 锐角是第一象限角, 反之不成立)(ii) 第二象限角: （弧度表示）(注: 钝角是第二象限角, 反之不成立)(iii) 第三象限角: (弧度表示)(iv) 第四象限角: (弧度表示)(2) 轴线角
29、的表示:角 终边的位置角 的集合表示集合中角之间的差 都为 360 的整数倍角 终边的位置角 的集合表示特点 集合中角之间的差 都为 180%的整数倍 集合中角之间的差 为 90 的整数倍在 x 轴的非负半 轴上 在 x 轴的非正半=k360,k Z =k360+在 x 轴上=k180,k Z轴上180,kZ在 y 轴上=k180+90,在 y 轴的非负半=k360+90 ,kZ轴上 在 y 轴的非正半 轴上kZ =k360+ 270,kZ在坐标轴上=k90,k Z4、角度制与弧度制: (1) 角度制:我们知道,角可以用度为单位进行度量,1 度的角等于周角的 1360 . 这种用度作为单 位来
30、度量角的单位制叫做角度制.(2) 弧度制:1) 1 弧度的角: 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角.2) 弧度制: 以弧度作为单位来度量角的单位 制. 用符号 rad 表示,读作弧度.我们把半径为 1 的圆叫做单位圆. 如图,在单位圆 O 中, AB 的长等于 1,AOB 就是 1 弧度的角.3) 在半径为 r 的圆中,弧长为 l 的弧所对的圆心角为 rad ,则 =lr注: 一般地, 正角的弧度数是一个正数, 负角的弧度数是一个负数, 零角的弧度数是 0 . 5、角度与弧度的换算:填写下列特殊角的度数与弧度数的对应表:度03045120135150360弧度3232角的概念推广后,在弧度制下,
31、角的集合与实数集 R 之间建立起一一对应的关系: 每一个角都有唯一的一个实数 (等于这 个角的弧度数) 与它对应; 反过来, 每一个实数也都有唯一的一 个角 (即弧度数等于这个实数的角) 与它对应 (图 5.1-12).6、弧长公式、扇形的面积公式在应用弧长公式 l=R 易错提醒 时,要注意 的单位是 “弧 是以“度”为单位的角, 那么必如图,设扇形的半径为 R ,弧长为 l ,圆心角为 00 .则: (i) sin=(ii) cos=(iii) tan=(3) 三角函数值在各象限中的符号:表 5.2-1costan三角函数定义域sincostan(4) 特殊角的三角函数值角度03045609
32、0120135150180270360弧度064602233456322sincostan还需实记的值: 1512:sin15=624cos15=6+24tan15=239、诱导公式:公式一sin2k+=cos2k+=tan2k+=公式二sin+=cos+=tan+=公式三sin=cos=tan=公式四sin=cos=tan=公式五sin2=cos2=公式六sin2+=cos2+=10、同角三角函数的基本关系1) 平方关系: sin2+cos2=1 ; 同一个角 的正弦、余弦的平2) 商数关系: tan=sincos2+kkZ . 方和等于 1 .(说明: 利用三角函数的定义, 自行推导同角三角函数的基本关系式)1、平方关系的推导:2、商数关系的推导 11、三角函数的图象与性质y=sinxy=cosxy=tanx图 象定义域值 域最 值既无最大也无最小周期性奇偶性单增区间单减区间无对称轴无对称中心k2,012、五点作图法:三角函数五个关键点y=sinx,x0,2 y=cosx,x0,213、三角函