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1、2024新高考数学基础知识梳理与课本优秀题目巩固-模块15-圆锥曲线1、椭圆 温馨提示 1. 椭圆标准方程的形式是: 左 边是“平方” + “平方”, 右边 是 1 .2. 椭圆的标准方程中, x2 与 y2 对应的分母哪一个大, 则焦 点在哪一个轴上, 简记为 “焦点位置看大小, 焦点随 着大的跑”.3. 方程 x2a2+y2b2=1ab0 与 y2a2+x2b2=1ab0 表示的椭圆 大小、形状都相同, 只是焦 点的位置不同 (图形位置不 同).4. 只有以椭圆的中心为原点, 焦点所在直线为坐标轴建 立平面直角坐标系, 这样得 到的椭圆方程才是椭圆的 标准方程.当 A=B 时,该方程为圆
2、的方程。模块十五：圆雉曲线 椭圆的定义 1. 椭圆的定义 我们把平面内与两个定点 F1,F2 的距离的和等于常数 (大 +F1F2 的点的轨迹叫做椭圆. 这两个定点叫做椭圆的焦点, 两焦点间的距离叫做椭圆的焦距. 焦距的一半称为半焦距. 2. 椭圆定义的集合描述设点 M 是椭圆上的任意一点,点 F1,F2 是椭圆的焦点,则由 椭圆的定义知,椭圆可以视为动点 M 的集合 P=MMF1+ MF2= 常数,常数 F1F20.2 椭圆的方程 1. 椭圆的标准方程 定义PF1+PF2=2a2aF1F20图形标准方程x2a2+y2b2=1ab0y2a2+x2b2=1ab0焦点F1c,0,F2c,0F10,
3、c,F20,ca,b,c 的关系a2b2=c22. 椭圆的一般方程 当 ABC0 时,方程 Ax2+By2=C 可以变形为 x2CA+y2CB=1 ,由此可以看出方程 Ax2+By2=C 表示椭圆的充要条件是 ABC0 ,且 A,B,C 同号, AB ,此时称方程 Ax2+By2=C 为椭圆的一般方程. 求椭圆方程时可以将方程设为 Ax2+By2=1A0,B0,AB ,这 样可以避免对焦点位置的讨论. 无法确定椭圆的焦点位置时, 可 3.共焦点的椭圆系方程考虑这种形式。1) 与椭圆 x2a2+y2b2=1ab0 有公共焦点的椭圆方程为 x2a2+y2b2+=1ab0,b2;椭圆的范围 1. 从
4、椭圆的方程或图形中可 以直接看出它的范围.2. 在处理椭圆的一些参数问 题或最值问题时要注意 x,y 的取值范围.知识拓展 若 F1,F2 是椭圆的焦点, P 是椭圆上与 F1,F2 不共线的 一点,在 F1PF2 中,设 PF1 =r1,PF2=r2,PF1F2= , PF2F1= ,则 e=sin+sin+sin .名师点睛 1. 圆和椭圆是两种不同的曲 线, 圆不是椭圆的特殊情况.2. 椭圆的扁平程度仅由离心 率 e 的大小确定,与椭圆的 焦点位置无关. 2) 与椭圆 y2a2+x2b2=1ab0 有公共焦点的椭圆方程为 y2a2+ x2b2+=1ab0,b2 . 见到“离心率相同的椭圆
5、”时注意 4. 相同离心率的椭圆系方程讨论焦点在 x 轴还是 y 轴.与椭圆 x2a2+y2b2=1ab0 有相同离心率的椭圆方程为 x2a2+y2b2 =k1k10 ,焦点在 x 轴上) 或 y2a2+x2b2=k2k20 ,焦点在 y 轴上).3 椭圆的几何性质 标准方程x2a2+y2b2=1ab0y2a2+x2b2=1ab0范围xa,ybxb,ya对称性关于 x 轴、 y 轴对称，关于原点中心对称顶点坐标a,0,0,bb,0,0,a半轴长长半轴长为 a ,短半轴长为 b,ab离心率e=ca椭圆的离心率 1. 椭圆的焦距与长轴长的比 ca 叫做椭圆的离心率,用 e 表示,即 e=ca.2.
6、 离心率的取值范围: 0e1 .3. 离心率对椭圆形状的影响:1) e 越接近 1,c 就越接近 a ,从而 b 就越 小, 椭圆就越扁.2) e 越接近 0,c 就越接近 0,从而 b 就越 接近 a ,椭圆就越圆.4. e 与 a,b 的关系: e=ca=a2b2a2=1b2a2 .解析 要使椭圆 C 上存在点 P ,使 F1PF2=120 ,只需点 P 在椭圆 C 的短轴的端点处时, 满足 F1PF2120 .根据椭圆的对称性,在 Rt POF2 中, OPF2 60 .则 tanOPF2=OF2OP3 ,即 cb3 ,则 c3b ,所以 c2 3a2c2 ,即 4c23a2 ,所以椭
7、圆的离心率 e=ca32 . 又 0e b0 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,若椭圆 C 上存在点 P ,使 F1PF2=120 ,求椭圆 C 的离心率 的取值范围.6 关于椭圆的几个重要结论 1.弦长公式 可以直接求出两交点坐标,利用两点间距离设直线与椭圆交于 Ax1,y1,Bx2,y2 两点,则 公式求 AB . AB=1+k2x1x22=1+k2x1+x224x1x2 或 AB= 1+1k2y1y22=1+1k2y1+y224y1y2(k 为直线斜率, k 0) . 2. 焦点三角形1) P 为椭圆 x2a2+y2b2=1ab0 上异于长轴端点的点, F1,F2 为两 个焦点,则
8、F1PF2 称作焦点三角形. 若 F1PF2= ,则 F1PF2 的面积 SF,PF1=b2tan2 .2) P 是椭圆上不同于长轴两端点的任意一点, F1,F2 为椭圆的两 焦点,则 PF1F2 的周长为 2a+c .3) 过焦点 F1 的弦 AB 与椭圆另一个焦点 F2 构成的 ABF2 的周 长为 4a .3. 椭圆的切线椭圆 x2a2+y2b2=1ab0 上一点 Px0,y0 处的切线方程为 x0xa2 +y0yb2=1 . 可由圆 x2+y2=r2r0 上一点 Px0,y0 处的 切线方程 x0x+y0y=r2 类比得到.知识拓展设 A、B 是椭圆 x2b2+y2a2=1 ab0 上
9、关于原点对称的 两点,点 P 是该椭圆上不同于 A,B 的任一点,若直线 PA,PB 的斜率分别为 k1,k2 ,则 k1k2 =a2b2 .4. 点与椭圆的位置关系对于椭圆 x2a2+y2b2=1ab0 ,我们有: (1) Px0,y0 在椭圆内 部 x02a2+y02b21 ; (3) Px0,y0 在椭圆上 x02a2+y02b2=1 . 可由点 Px0,y0 与圆 x2+y2=r2r0 的位置5. 椭圆中斜率乘积为定值的问题1) 椭圆 x2a2+y2b2=1ab0 长轴的两个端点与椭圆上除这两个顶 点外的任一点连线的斜率之积为 b2a2 ;2) 设 A,B 是椭圆 x2a2+y2b2=
10、1ab0 上关于原点对称的两点,点 P 为该椭圆上不同于 A,B 的任一点,若直线 PA,PB 的斜率分别为 k1,k2 ,则 k1k2=b2a2 .2、双曲线 双曲线的定义 1.双曲线的定义一般地,平面内与两个定点 F1,F2 的距离的差的绝对值等 于非零常数 (小于 F1F2 ) 的点的轨迹叫做双曲线 (如图所示). 两个定点 F1,F2 叫做双曲线的焦点; F1F2=2c 叫做双曲线的 焦距.双曲线上任一点到焦点的距离不相等温馨提示当 PF1PF2=2a 时,点 P 的轨迹为靠近 F2 的双曲线 的一支.当 PF1PF2=2a 时,点 P 的轨迹为靠近 F1 的双曲 线的一支.注: (1
11、)若 2a=2c ,则轨迹是以 F1,F2 为端点的两条射线; (2)若 2a2c ,则轨迹不存在; (3)若 2a=0 ,则轨迹是线段 F1F2 的垂直平分线.2.双曲线定义的集合描述双曲线是点集。设点 M 是双曲线上任意一点,点 F1,F2 是双曲线的焦点,则 由双曲线的定义可知,双曲线可以视为动点 M 的集合 P=M MF1MF2= 常数,常数大于 0 且小于 F1F2 .2 双曲线的标准方程和几何性质 温馨提示 标准方程x2a2y2b2=1a0,b0y2a2x2b2=1a0,b0范围xa,yRya,xR焦点F1c,0,F2c,0F10,c,F20,c顶点A1a,0,A2a,0A10,a
12、,A20,a对称性关于x轴、y轴对称,关于原点对称线段 A1A2 叫做双曲线的实轴,它的长 A1A2= 实、虚 2a ; 线段 B1B2 叫做双曲线的虚轴,它的长 B1B2 轴长 =2b(a 叫做双曲线的实半轴长,b 叫做双曲线的 虚半轴长)焦距焦距 F1F2 为 2c,c 是半焦距离心率e=ca=1+b2a2e1渐近线 方程y=baxy=abx1. 双曲线的标准方程中, x2 与 y2 的系数哪一个为正,焦点 就在哪一个轴上, 简记为 “焦点跟着正项走”.2. 只有以双曲线的中心为原 点, 且以两定点所在直线、 两定点的连线段的中垂线 为坐标轴建立平面直角坐 标系, 这样得到的双曲线的 方程
13、才是双曲线的标准 方程.将标准方程中右边“1”变 为“O”即可得到双曲线的 渐近线方程。知识拓展 如图,设 F1、F2 是双曲线 的焦点, P 是双曲线上与 F1 、 F2 不共线的一点,在 F1PF2 中,设 PF1=r1,PF2=r2 , PF1F2=,PF2F1= , F1PF2= ,则 r1sin=r2sin= 2csin,+= ,所以 r1r2sinsin=2csine=2c2a =sin+sinsin .3 双曲线的离心率 1. 定义 双曲线的焦距与实轴长的比 ca 叫做双曲线的离心率,用 e 表 示,即 e=ca .2. e 的范围: e1 . 由 ca 得 e1.ba 越大,直
14、线 y=bax 的倾斜角越 y3. e 的几何意义: e 是表示双曲线张口大小的一个量, e 越大,张口越大.ba=c2a2a=ca21=e21 ,当e1,+ 时, ba0,+ ,具 e 增大, ba 也增大,渐近线与实轴的夹角也增大.若一个双曲线的实轴与虚 轴分别是另一个双曲线的 虚轴和实轴，则这两个双曲， 线是共轭的,其中一个双曲 线是另一个双曲线的共轭 双曲线。证明结论 2 不妨设点 P 在第一象限, 在 PF1F2 中,令 PF1=m , PF2=n,F1PF2= . 由双曲 线定义知 mn=2a ,平方得 m2 +n22mn=4a21 . 由余弦定理 得 F1F22=PF12+PF2
15、2 2PF1PF2cos ,即 4c2=m2 +n22mncos2 ,由(2)-(1)得 4c24a2=2mn1cos ,即 2b2=mn1cos,mn= 2b21cos ,又 SF,PF2=12mnsin =122b21cossin=b2 . 2sin2cos22sin22=b2tan2 ,即 SF,PF1=b2tan2. 两种特殊的双曲线 焦点在 y 轴上时，方程为 y2x2=a2 ，也 1. 等轴双曲线可以统一设成 x2y2=0 .实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线,其中焦点在 x 轴上的等轴双曲线的方程为 x2y2=a2a0 ,离心率 e=2 ,渐近 线方程为 y=x ,它们互相垂直
16、.2.共轭双曲线双曲线 x2a2y2b2=1a0,b0 的共轭双曲线方程为 y2b2x2a2=1 a0,b0 ,它们有共同的渐近线,其方程为 y=bax ,它们的离 心率 e1,e2 满足关系式 1e12+1e22=1 .双曲线的通径 过双曲线的焦点且与双曲线实轴垂直的直线被双曲线截得 的线段,称为双曲线的通径. 通径长为 2b2a .关于双曲线的几个重要结论 1.弦长公式设直线与双曲线交于 Ax1,y1,Bx2,y2 两点,则 AB=1+k2x1x22=1+k2x1+x224x1x2 或AB=1+1k2y1y22=1+1k2y1+y224y1y2(k 为直线 的斜率, k0 ). 2. 焦点
17、三角形已知 F1,F2 是双曲线 x2a2y2b2=1a0,b0 的两个焦点, P 为 双曲线上一点 (异于顶点),则 F1PF2 称作焦点三角形. 若 F1PF2= ,则 F1PF2 的面积 SF,PF2=b2tan2 .3. 基础三角形: 如图所示,在 AOB 中, OA=a,AB=b , OB=c,tanAOB=ba .4. 双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于虚半轴长.5. 双曲线的切线可由椭圆的切线方程类比得到.双曲线 x2a2y2b2=1a0,b0 上一点 Px0,y0 处的切线方程 是 x0xa2y0yb2=1 .6. 双曲线划分平面区域对于双曲线 x2a2y2b2=1a0,b
18、0 ,我们有:Px0,y0 在双曲线内部(与焦点共区域) x02a2y02b21 ;Px0,y0 在双曲线外部(与焦点不共区域) x02a2y02b20,b0 右支上不同于实轴端点的任 意一点, F1、F2 分别为双曲线的左、右焦点, I 为 PF1F2 内切 圆的圆心,则圆心 I 的横坐标恒为定值 a .3、抛物线 抛物线的定义 1.抛物线的定义 定点不在定直线上.平面内与一个定点 F 和一条定直线 lFl 的距离相等的 点的轨迹叫做抛物线,定点 F 叫做抛物线的焦点,定直线 l 叫做 抛物线的准线.2. 抛物线定义的集合描述 设点 M 是抛物线上任意一点,抛物线的焦点为 F ,准线为 l
19、, 温馨提示 点 M 到准线 l 的距离为 d ,则由抛物线的定义知,抛物线可以视1. 抛物线的定义的实质可归为动点 M 的集合 P=MMF=d,d0 . 抛物线是一个点集. 结为 “一动三定”: 一个动 点,设为 M ; 一个定点 F 叫2 抛物线的有关概念 * 做抛物线的焦点; 一条定直名称弦连接抛物线上任意两点的线段, 叫做抛物线的弦焦点弦过抛物线焦点的弦，叫做抛物线 的焦点弦通径过焦点且垂直于抛物线对称轴的 弦叫做抛物线的通径焦半径抛物线上一点 P 和焦点的连线, 叫做点 P 的焦半径焦准距抛物线的焦点到它的准线的距 离，叫做焦准距线 l 叫做抛物线的准线; 一 个定值,即点 M 与点
20、 F 的距 离与点 M 到直线 l 的距离之 比等于 1 .2. 注意定点 F 不在定直线 l 上,否则动点 M 的轨迹不是 抛物线,而是过点 F 垂直于 直线 l 的一条直线. 例如与 点 F1,0 和到直线 l : x=1 的距离相等的点的轨 迹是 x 轴.3 抛物线的标准方程与几何性质- p 对抛物线开口大小的影响1. 对于抛物线 y2=2pxp0 来说, p 值越大, y 也越大, 抛物线的开口也越大.2. 对于抛物线 x2=2pyp0 来说, p 值越大, x 也越大, 抛物线的开口也越大.y2=2px p0y2=2px p0x2=2py p0x2=2py p0图形顶点O0,0范围x
21、0,yRx0,yRy0,xRy0,xR对称轴x 轴y 轴p 的几何意义: 抛物线焦 点到准线的距离。对于 抛物线 y2=2pxp0,p 值 越大, 抛物线的开口越 大.Fp2,0Fp2,0F0,p2F0,p2准线x=p2x=p2y=p2y=p2离心率e=1焦准距通径长2pM(x0, y0 的 焦半径MF=x0+p2MF=p2x0MF=y0+p2MF= p2y0抛物线的焦点弦的性质 以抛物线 y2=2pxp0 为例,设 AB 是抛物线的过焦点的一 条弦 (焦点弦), F 是抛物线的焦点, Ax1,y1,Bx2,y2,A、B 在 准线上的射影为 A1、B1 ,则有以下结论:1)x1x2=p24,y
22、1y2=p2;2) 若直线 AB 的倾斜角为 ,且 A 位于 x 轴上方, B 位于 x 轴下 方,则 AF=p1cos,BF=p1+cos ;3) AB=x1+x2+p=2psin2为直线AB的倾斜角 ,抛物线的通径 长为 2p ,通径是最短的焦点弦;4) SAOB=p22sin为直线AB的倾斜角 ;5) 1AF+1BF=2p ,为定值;6) 以 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切;7) 以 AF (或 BF ) 为直径的圆与 y 轴相切;8) 以 A1B1 为直径的圆与直线 AB 相切,切点为 F,A1FB1=90 ; 9)A,O,B1 三点共线, B,O,A1 三点也共线.5 关于抛物线
23、的几个重要结论 * 1.弦长公式 设直线与抛物线交于 Ax1,y1,Bx2,y2 两点,则- 求过抛物线 y2=2pxp0 上一点的切线方程由点 Px1,y1y10 在 抛物线 y2=2pxp0 上,得 y12 =2px1 ,设过点 Px1,y1 的切 线方程为 yy1=kxx1 ,将 x =y22p 代入得 ky22py+2py1 2pkx1=0 ,由 =2p24k 2py12pkx1=0 得 ky1p2 =0,k=py1y10 ,从而切 线方程为 yy1=py1xx1 ,化 简得 yy1y12=pxpx1 ,又 y12= 2px1,yy12px1=pxpx1 ,即 yy1=px+x1 .2
24、. 点与抛物线的位置关系对于抛物线 y2=2pxp0 ,我们有 Px0,y0 在抛物线内部 y022px0;Px0,y0 在抛物 线上 y02=2px0 . 3. 抛物线的切线过抛物线 y2=2pxp0 上的点 Px1,y1 的切线方程是 y1y =px+x1 . 抛物线 y2=2pxp0 的斜率为 k 的切线方程是 y=kxAB=1+k2x1x22=1+k2x1+x224x1x2 或AB=1+1k2y1y22=1+1k2y1+y224y1y2(k 为直线 的斜率, k0 ). +p2kk0 .4. 若抛物线 y2=2pxp0 在点 P1x1,y1 和 P2x2,y2 处的两条(焦点弦),分别
25、过 A,B 作抛物线的切线,交于点 P ,连接 PF , 则有以下结论:1) 点 P 的轨迹是一条直线,即抛物线的准线 l:y=P2 ;2) 两切线互相垂直,即 PAPB ;3) PFAB ;4) 点 P 的坐标为 xA+xB2,p2 .【知识拓展】 切线交于点 Mx0,y0 ,则 x0=y1y22p,y0=y1+y22 .5. 如左图所示, AB 是抛物线 x2=2pyp0 的过焦点的一条弦1、圆雉曲线综述:联立方程设交点, 韦达定理求弦长; 变量范围判别式, 曲线定义不能忘;弦斜中点点差法, 设而不求计算畅; 向量参数恰当用, 数形结合记心间.2 、直线与圆锥曲线的位置关系 (1)直线的设
26、法: (1) 若题目明确涉及斜率,则设直线: y=kx+b ,需考虑直线斜率是否存在,分类讨论;(2) 若题目没有涉及斜率或直线过 a,0 则设直线: x=my+a ,可避免对斜率进行讨论(2) 研究通法: 联立 y=kx+bFx,y=0 得: ax2+bx+c=0判别式: =b24ac ,韦达定理: x1+x2=ba,x1x2=ca(3) 弦长公式: AB=x1x22+y1y22=1+k2x1x2=1+k2x1+x224x1x2=1+1k2y1+y224y1y23、硬解定理 设直线 y=kx+ 与曲线 x2m+y2n=1 相交于 Ax1,y1、Bx2,y2由: y=kx+nx2+my2=mn
27、 ,可得: n+mk2x2+2kmx+m2n=0判别式: =4mnn+mk22 韦达定理: x1+x2=2kmn+mk2,x1x2=m2nn+mk2由: x1x2=x1+x224x1x2 ,代入韦达定理: x1x2=n+mk2 *4 4 、点差法:若直线 l 与曲线相交于 M、N 两点,点 Px0,y0 是弦 MN 中点, MN 的斜率为 kMN , 则: 在椭圆 x2a2+y2b2=1ab0 中,有 kMNy0x0=b2a2 ;在双曲线 x2a2y2b2=1ab0 中,有 kMNy0x0=b2a2 ;在抛物线 y2=2pxp0 中,有 kMNy0=p . 证明: (椭圆)设 M、N 两两点的
28、坐标分别为 x1,y1、x2,y2 ,则有 x12a2+y12b2=1,1x22a2+y22b2=1.2(1) - (2),得 x12x22a2+y12y22b2=0 .y2y1x2x1y2+y1x2+x1=b2a2 .又 kMN=y2y1x2x1,y1+y2x1+x2=2y2x=yx.kMNyx=b2a2 . 5、平移构造齐次式: (圆锥曲线斜率和与积的问题)(1) 题设: 过圆雉曲线上的一个定点 P 作两条直线与圆锥曲线交于 A、B ,在直线 PA 和 PB 斜率之和或者斜率之 积为定值的情况下,直线 AB 过定点或者 AB 定斜率的问题. (2)步骤: (1)将公共点 平移到坐标原点 (
29、点平移: 左加右减上减下加)找出平移单位长. (2)由(1)中的平移单位长得出平移后的圆雉曲线 C ,所有直线方程统一写为: mx+ny=1 (3)将圆雉曲线 C 展开,在一次项中乘以 mx+ny=1 ,构造出齐次式.(4)在齐次式中,同时除以 x2 ,构建斜率 k 的一元二次方程,由韦达定理可得斜率之积(和).【课本优质习题汇总】 新人教 A 版选择性必修一 P112 5. 比较下列每组中椭圆的形状, 哪一个更接近于圆? 为什么?(1) 9x2+y2=36 与 x216+y212=1 ; (2) x2+9y2=36 与 x26+y210=1 .新人教 A 版选择性必修一 P1156. 如图,
30、圆 O 的半径为定长 r,A 是圆 O 内一个定点, P 是圆 O 上任意一(第 6 题)点. 线段 AP 的垂直平分线 l 和半径 OP 相交于点 Q ,当点 P 在圆上运动 时,点 Q 的轨迹是什么? 为什么?新人教 A 版选择性必修一 P115 9. 如图, DPx 轴,垂足为 D ,点 M 在 DP 的延长线上,且 DMDP(第 9 题)=32 . 当点 P 在圆 x2+y2=4 上运动时,求点 M 的轨迹方程,并说 明轨迹的形状.10. 一动圆与圆 x2+y2+6x+5=0 外切,同时与圆 x2+y26x91=0 内切, 求动圆圆心的轨迹方程, 并说明它是什么曲线.新人教 A 版选择
31、性必修一 P116 11. 如图,矩形 ABCD 中, AB=2a,BC=2bab0.E,F,G,H 分别是矩 形四条边的中点, R,S,T 是线段 OF 的四等分点, R,S,T 是线段 CF 的四等分点. 证明直线 ER 与 GR、ES 与 GS、ET 与 GT 的交点 L,M,N 都在椭圆 x2a2+y2b2=1(a b0) 上.(第 11 题)新人教 A 版选择性必修一 P11613. 已知椭圆 x225+y29=1 ,直线 l:4x5y+40=0 . 椭圆上是否存在一点,使得:(1) 它到直线 l 的距离最小? 最小距离是多少?(2) 它到直线 l 的距离最大? 最大距离是多少?14
32、. 已知椭圆 x24+y29=1 ,一组平行直线的斜率是 32 .(1) 这组直线何时与椭圆有两个公共点?(2) 当它们与椭圆有两个公共点时, 证明这些直线被椭圆截得的线段的中点在同一条直 线上.新人教 A 版选择性必修一 P121 3. 已知方程 x22+my2m+1=1 表示双曲线,求 m 的取值范围.4. 双曲线 x2a2y212=1a0 的两个焦点分别是 F1 与 F2 ,焦距为 8;M 是双曲线上的一点,且 MF1=5 ,求 MF2 的值. 新人教 A 版选择性必修一 P1275. 如图,圆 O 的半径为定长 r,A 是圆 O 外一个定点, P 是圆 O 上任意(第 5 题)一点.
33、线段 AP 的垂直平分线 l 与直线 OP 相交于点 Q ,当点 P 在圆 O 上运动时,点 Q 的轨迹是什么? 为什么?新人教 A 版选择性必修一 P127 10. 设动点 M 与定点 Fc,0c0 的距离和 M 到定直线 l:x=a2c 的距离的比是 caab0 与双曲线 x2a2y2b2=1 的离心率分别为 e1,e2 ,双曲线的渐近线 的斜率小于 255 ,求 e1 和 e2 的取值范围.新人教 A 版选择性必修一 P128 13. 已知双曲线 x2y22=1 ,过点 P1,1 的直线 l 与双曲线相交于 A,B 两点, P 能否是线段 AB 的中点? 为什么?14. 已知双曲线 x2
34、4y216=1 与直线 l:y=kx+mk2 有唯一的公共点 M ,过点 M 且与 l 垂直的直线分别交 x 轴、 y 轴于 Ax,0,B0,y 两点. 当点 M 运动时,求点 Px,y 的轨迹方程, 并说明轨迹是什么曲线. 如果推广到一般双曲线, 能得到什么相应的结论?新人教 A 版选择性必修一 P138 4. 两条直线 y=kx 和 y=kx 分别与抛物线 y2=2pxp0 相交于不同于原点的 A,B 两点, k 为 何值时,直线 AB 经过抛物线的焦点?5. 已知圆心在 y 轴上移动的圆经过点 A0,5 ,且与 x 轴、 y 轴分别交于 Bx,0,C0,y 两个动 点,求点 Mx,y 的
35、轨迹方程.新人教 A 版选择性必修一 P138 5. 如图, M 是抛物线 y2=4x 上的一点, F 是抛物线的焦点,以 Fx 为始边、 FM 为终边的角 xFM=60 ,求 FM .(第 5 题)(第 6 题)6. 如图,直线 y=x2 与抛物线 y2=2x 相交于 A,B 两点,求证: OAOB . 新人教 A 版选择性必修一 P1399. 从抛物线 y2=2pxp0 上各点向 x 轴作垂线段,求垂线段的中点的轨迹方程,并说明它是 什么曲线.新人教 A 版选择性必修一 P139 11. 已知 A,B 两点的坐标分别是 1,0,1,0 ,直线 AM,BM 相交于点 M ,且直线 AM 的斜
36、率与直线 BM 的斜率的差是 2,求点 M 的轨迹方程.新人教 A 版选择性必修一 P139 12. 已知抛物线的方程为 y2=4x ,直线 l 绕其上一点 P2,1 旋转,讨论直线 l 与抛物线 y2=4x 的公共点个数,并回答下列问题:(1) 画出图形表示直线 l 与抛物线的各种位置关系,从图中你发现直线 l 与抛物线只有一个公 共点时是什么情况?(2) y2=4x 与直线 l 的方程组成的方程组解的个数与公共点的个数是什么关系?13. 设抛物线 y2=2pxp0 的焦点为 F ,从点 F 发出的光线经过抛物线上的点 M (不同于抛 物线的顶点) 反射, 证明反射光线平行于抛物线的对称轴.
37、 新人教 A 版选择性必修一 P145(2) 与圆 x2+y2=1 及圆 x2+y28x+12=0 都外切的圆的圆心在 ( ).(A) 椭圆上 (B) 双曲线的一支上(C) 抛物线上 (D) 圆上3. 当 从 0 到 180 变化时,方程 x2+y2cos=1 表示的曲线的形状怎样变化?新人教 A 版选择性必修一 P145 5. 设抛物线的顶点为 O ,经过焦点且垂直于对称轴的直线交抛物线于 B,C 两点,经过抛物线上 一点 P 且垂直于轴的直线与轴交于点 Q . 求证: PQ2=BCOQ .6. 已知等边三角形的一个顶点位于抛物线 y2=2pxp0 的焦点,另外两个顶点在抛物线上, 求这个等
38、边三角形的边长.新人教 A 版选择性必修一 P145 7. 已知 P 是椭圆 16x2+25y2=1600 上的一点,且在 x 轴上方, F1,F2 分别是椭圆的左、右焦 点,直线 PF2 的斜率为 43 ,求 PF1F2 的面积.8. 如图,从椭圆 x2a2+y2b2=1ab0 上一点 P 向 x 轴作垂线,(第 8 题)垂足恰为左焦点 F1 . 又点 A 是椭圆与 x 轴正半轴的交点,点 B 是椭圆与 y 轴正半轴的交点,且 AB/OP,F1A=10+5 , 求椭圆的方程.9. 已知 A,B 两点的坐标分别是 1,0,1,0 . 直线 AM , BM 相交于点 M ,且它们的斜率之和是 2
39、,求点 M 的轨迹方程. 新人教 A 版选择性必修一 P14612. 在抛物线 y2=4x 上求一点 P ,使得点 P 到直线 y=x+3 的距 离最短.13. 当 m 变化时,指出方程 m1x2+3my2=m13m 表示的曲线的形状.新人教 A 版选择性必修一 P146 16. 过抛物线 y2=2pxp0 的焦点 F 作直线与抛物线交于 A,B 两点,以 AB 为直径画圆, 观察它与抛物线的准线 l 的关系,你能得到什么结论? 相应于椭圆、双曲线如何? 你能证明 你的结论吗?新人教 B 版选择性必修一 P141(4) 已知椭圆的方程为 m2x2+4m2y2=1 ,其中 m 为大于零的实常数,
40、求这个椭圆 的焦点坐标与离心率.(5) 设动点 M 到定点 F2,0 的距离与它到直线 l:x=92 的距离之比为 23 ,求点 M 的轨迹方程.新人教 B 版选择性必修一 P143(3) 已知椭圆 x2a2+y2b2=1ab0 的左焦点为 F ,直线 l:x=a2c . 设 P 是椭 圆上的一点,求 P 到 F 的距离与 P 到直线 l 的距离之比.(1) 设动点 M 到定点 Fc,0 的距离与它到直线 l:x=a2c 的距离之比为 ca , ac0 ,求点 M 的轨迹方程,并用得到的轨迹方程解释 2.5.2 中例 3 得到 的结果.(2) 已知点 B6,0 和 C6,0 ,过点 B 的直线
41、 l 和过点 C 的直线 m 相交于点 A ,设直线 l 的斜率为 k1 ,直线 m 的斜率为 k2 ,如果 k1k2=49 ,求点 A 的 轨迹方程, 并说明此轨迹是何种曲线.(3) 已知点 A1,1 ,而且 F1 是椭圆 x29+y25=1 的左焦点, P 是椭圆上任意一 点,求 PF1+PA 的最小值和最大值.新人教 B 版选择性必修一 P155(2) 已知双曲线的一个焦点是 5,0 ,一条渐近线方程为 3x4y=0 ,求这个双曲 线的标准方程和离心率.(3) 当实数 0 时,方程 x2a2y2b2= 表示的都是双曲线,这些双曲线的共同点是 什么?新人教 B 版选择性必修一 P156已知
42、双曲线两顶点间的距离是 6 , 两焦点的连线被两顶点和中心四等分, 求双曲 线的标准方程.(5) 求证: 双曲线的焦点到其渐近线的距离等于半虚轴长.新人教 B 版选择性必修一 P157(3) 设动点 M 到定点 F3,0 的距离与它到直线 l:x=43 的距离之比为 32 ,求点 M 的轨迹方程.(4) 已知双曲线 x2a2y2b2=1a0,b0 的左焦点为 F ,直线 l:x=a2c . 设 P 是双曲线上的一点,求 P 到 F 的距离与 P 到直线 l 的距离之比.(5) 已知 F1,F2 是双曲线 x29y216=1 的两个焦点,点 M 在双曲线上,如果 MF1 MF2 ,求 MF1F2
43、 的面积.(1) 如果过点 6,0 的直线与过点 6,0 的直线相交于点 M ,而且两直线斜率 的乘积为 a ,其中 a0 .(1) 求点 M 的轨迹方程;(2) 讨论 M 的轨迹是何种曲线.(2) 设动点 M 到定点 Fc,0 的距离与它到直线 l:x=a2c 的距离之比为 ca , 其中 ca0 ,求点 M 的轨迹方程,并用得到的轨迹方程解释 2.6.2 中例 3 得到的结果.新人教 B 版选择性必修一 P162(5) 已知点 M 到点 F4,0 的距离比它到直线 l:x+6=0 的距离小 2,求点 M 的 轨迹方程.新人教 B 版选择性必修一 P166(3) 从抛物线 y2=2pxp0 上各点向 x 轴作垂线段,求垂线段中点的轨迹方程, 并说明轨迹是什么曲线.(4) 已