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1、2024新高考数学基础知识梳理与课本优秀题目巩固-模块05-函数的图象与函数的零点五：函数的图象与函数的零点 1、函数的图象与变换 (1) 五点作图 函数化简 定义域 讨论性质 (奇偶性、单调性) 算零点、最值点 光滑曲线作图.(2) 函数图象变换 (1) 平移变换: 自变量 “左加右减”: y=fx . 左 (右) 平移 a 个单位 ,y=fxa左右平移因变量 “上加下减” : y=fx 上 (下) 平移 b 个单位, y=fxb上下平移(2) 伸缩变换: y=fx横坐标变为原来的倍y=f1x(3) 对称变换: “对称谁, 谁不变, 对称原点都要变”y=fx关于x轴对称,y=fxy=fx关于
2、y轴对称,y=fxy=fx关于原点对称y=fxy=fx关于x=a对称y=f2ax(4)翻折变换:y=fxy=fx 保留 x 轴上方部分,并将下方部分沿 x 轴对称翻折到上方对称翻折y=fxy=fx 保留 y 轴右边部分,并将右边部分沿 y 轴对称翻折到左边(3) 一次函数的图象和性质解析式fx=kx+b参数k 代表直线的斜率,含义是直线的倾斜程度. k=tan=y1yo b 代表直线的纵截距,含义是直线与 y 轴相交的点的纵坐标.k0,b0k0,b0k0k0,b0k0 图像向右平移 a 个单位,向上平移 b 个单位可以转化为 y=kxa+bk0(7) 一次分式函数的图象 形如 fx=cx+da
3、x+b 这样的函数称为 “一次分式函数”.(1) 在函数的分子上配出分母的形式: fx=caax+b+ccbaax+b(2) 列项: fx=ca+ccbaax+b .(3) 令 k=ccba,t=ca ,则函数 fx=t+kax+b ,其图像如下:(4) 由图可得 fx=cx+dax+b 的性质:fx 定义域 fx 值域fx 单调性(8) 二次函数的翻折变换 (按要求画出相关图象)以 y=2x2+2x1 与 y=2x2+2x1、y=2x2+2x1 图象间的关系为例:(1) 函数 y=2x2+2x1 的图象是将函数 y=2x2+2x1 在 x 轴上方的图象保留,再将 x 轴下方的图象作关于 x
4、轴对称得到.(2) 函数 y=2x2+2x1 对 x 取绝对值的图象,是将函数 y=2x2+2x1 在 y 轴右侧的图象保持不变, y 轴左侧的图象去掉,再将 y 轴右侧的图象作关于 y 轴对称得到.(9) 函数 y=x+axa0 的图象与性质（阅读人教 A 课本必修一 P92）解析式 图 像fx=ax+bxa0,b0a0,b0,b0a0ba渐近线y=x 或 y=x定义域x/x0值 域单调增 区间无单调减 区间无x0 时, fx=ax+bx2ab;x0 时, fx=ax+bx2ab. 不等式 性 质 均值不等式可以应用在对勾函数中, 用来求解最值, 但是在使用时要注意到均值不 等式的应用条件:
5、“一正、二定、三相等”2、函数的零点与方程的根 (1) 函数的零点对于一般函数 y=fx ,我们把使 fx=0 的实数 x 叫做函 数 y=fx 的零点.(2) 零点的意义函数 y=fx 的零点就是方程 fx=0 的实数解,也就是函 数 y=fx 的图象与 x 轴公共点的横坐标,其关系如图.函数 y=fx 的图象与 x 轴有公共点方程 fx=0 有实数解 函数 y=fx 有零点(3) 零点的分类 1) 变号零点: 零点附近两侧的函数值异号, 如图 a.图a 图b2) 不变号零点: 零点附近两侧的函数值同号, 如图 b.(4) 零点存在性定理 1) 定理函数零点存在定理 如果函数 y=fx 在区
6、间 a,b 上的图象是一条连续不断的曲 线,且有 fafb0 ,那么,函数 y=fx 在区间 a,b 内至少有一个零点,即存在 ca,b ,使得 fc=0 ,这个 c 也就是方程 fx=0 的解.2) 对零点存在性定理的理解 名帅点睛 1) 定理中函数 y=fx 在区间 a,b 内有零点必须同时满足: 函1. 若函数 fx 在区间 a,b 上 的图象是连续不断的, 且两 端点处的函数值 fa,fb 异号,则函数 y=fx 的图象 至少与 x 轴有一个交点,即 方程 fx=0 在区间 a,b 至少有一个实数解.2. 函数零点存在定理只能判 断出零点是否存在, 不能判 断出零点的个数.fx=1x
7、,易知 f1f10 ,但 fx 在 a,b 内有零点 x1,x2 .4) 若 fx 在 a,b 上的图象是连续不断的,且是单调函数, fa fb0 ,则 fx 在 a,b 上有唯一的零点. 数 fx 在区间 a,b 上的图象是一条连续不断的曲线, fa fb0 ,这两个条件缺一不可.2) 符合该定理的条件能确定 fx 在 a,b 内至少有一个变号零3) 用二分法求方程的近似解 用二分法求函数零点近似值的方法仅适用于函数的- “精确度” 与 “精确到”精确度: 精确度是指近似 数的误差不超过某个数 ,这 个数就是精确度. 比如: 设 x 是 精确值, x 是其一个近似值, 如果 xx ,那么 x
8、 是 x 的 一个近似值,精确度为 .精确到: 按四舍五入的原 则得到精确值 x 的精确到某 一位的近似值 x ,比如: = 3.1415926 ,若取 x=3.14 , 则3.14 是精确到 0.01 的 的 近似值.变号零点. 步骤如下:第一步: 确定零点 x0 的初始区间 a,b ,验证 fafb0 .第二步: 求区间 a,b 的中点 c .第三步:计算 fc ,并进一步确定零点所在的区间:1) 若 fc=0 (此时 x0=c ),则 c 就是函数的零点;2) 若 fcfa0 (此时 x0a,c ),则令 b=c ;3) 若 fcfb0 (此时 x0c,b ),则令 a=c .第四步:
9、判断是否达到精确度 : 若 ab0,b1); 5. 对数函数模型: fx=mlogax+n(m,n,a 为常数, a0,a1,m0) ; (4) 当 x0 时, fxmin=fk=2k .6. 幂函数模型: fx=axn+ba,b,n为常数,a0 ;7. “对勾” 函数模型: fx=x+kxk为常数,且k0 ;8. 分段函数模型.【课本优质习题汇总】 新人教 A 版必修一 P8611. 已知函数 fx 是定义域为 R 的奇函数,当 x0 时, fx=x1+x . 画出函数 fx 的图象,并求出函数的解 析式.新人教 A 版必修一 P10112. 试讨论函数 y=x1x 的定义域、值域、单调性、
10、奇偶性,并画出函数图象.新人教 A 版必修一 P155 1. 下列函数图象与 x 轴均有交点,其中不能用二分法求其零点的是_. (填写上所有符合 条件的图号)(1)(2)(3)(4)新人教 A 版必修一 P155 8. 已知函数 fx=x23x2,gx=2fx2 ,(第 9 题)(1) 求函数 y=gx 的解析式;(2) 利用信息技术,画出函数 y=gx 的图象;(3) 求函数 y=gx 的零点 (精确度为 0.1 ).9. 如图,某池塘里浮萍的面积 y (单位: m2 ) 与时间 t (单位: 月) 的关系为 y=at . 关于下列说法:(1) 浮萍每月的增长率为 1 ;(2) 第 5 个月
11、时,浮萍面积就会超过 30m2 ;(3) 浮萍每月增加的面积都相等;(4) 若浮萍蔓延到 2m2,3m2,6m2 所经过的时间分别是 t1,t2,t3 ,则 t1+t2=t3 . 其中正确的说法是 ( ). ：(A) (1)(2) (B) (1)(2)(3) (C) (1)(2)(4) (D) (1)(2)(3)(4)新人教 B 版必修一 P108 (4) 向一个圆台形的容器 (如图所示) 中倒水, 且任意相等的时间间隔内所倒 的水体积相等,记容器内水面的高度 y 随时间 t 变化的函数为 y=ft , 则以下函数图象中,可能是 y=ft 的图象的是 D .(A)(B)(C)(D)(第 4 题
12、)新人教 B 版必修一 P117(1) 研究函数 fx=x22x1 的性质,并作出函数图象. 新人教 B 版必修一 P126(4) 判断命题 “已知函数 fx 的图象是连续不断的,且函数 fx 的两个相邻 的零点是 1,2 ,若 x01,2,fx00 ,则 x1,2,fx0 ” 的真假.新人教 B 版必修一 P126(3) 加工爆米花时, 爆开且不湖的粒数的百分比称为(第 3 题)“可食用率”. 在特定条件下,可食用率 p 与加工 时间 t (单位: min ) 满足函数关系 p=at2+bt+c ( a,b,c 是常数),图中记录了三次实验的数据. 根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加
13、 工时间为 ( ).(A) 3.50min (B) 3.75min(C) 4.00min (D) 4.25min 新人教 B 版必修一 P126(1) 在经济学中,函数 fx 的边际函数 Mfx 定义为 Mfx=fx+1 fx . 某公司每月最多生产 100 台报警系统装置,生产 xN* ) 的 收入函数为 Rx=3000x20x2 (单位: 元),其成本函数 Cx=500x+ 4000 (单位: 元), 利润是收入与成本之差.(1) 求利润函数 Px 及边际利润函数 MPx ;(2) 利润函数 Px 与边际利润函数 MPx 是否具有相同的最大值?(2) 某公司最近 4 年对某种产品投入的宣传
14、费 x 万元与年销售量 yt 之间的关系 如下表所示.x14916y168.6236.6304.6372.6(1) 根据以上表格中的数据判断: y=ax+b 与 y=cx+d 哪一个更适宜 作为 y 与 x 的函数模型?(2) 已知这种产品的年利润 z 万元与 x,y 的关系为 z=2y10x ,则年宣 传费 x 为多少时年利润最大?新人教 B 版必修一 P13910. 求证: 函数 fx=2x5x2+1 在区间 2,3 上至少有一个零点.新人教 B 版必修一 P1398. 已知函数 y=fx 是二次函数, y=gx 是一次函数,它们的部分图象如 图所示.(第 8 题)(1) 分别写出 fx=
15、4,fx4 的解集;(2) 分别写出 fx=gx,fxgx,fxgx 的解集.模块六：幂函数、指数函数与对数函数 1、幂函数 (1) 函数 y=x ( 为常数) 叫做幂函数,其中 x 是自变量.幂函数特征 (1) 系数为 ; (2) x 中底数自变量,指数是常数; (3) 后面不加任何项,如 y=3x,y=xx+2 , y=x2+2 都不是幂函数(2) 五个常见幂函数的图象 当 =1,2,3,12,1 时,我们得到五个幂函数 y=x,y=x2,y= x3,y=x12,y=x1 ,通过描点作图得到五个幂函数在同一平面直角 坐标系中的图象, 如图所示. 温馨提示 在直线 x=1 右侧的函数图象,
16、从上到下, 指数逐渐减 小, 即 “指大图高”; 在区间 (0, 1) 内, y=x12,y=x1 的图象在 y =x 的图象上方, y=x2,y=x3 在 y=x 的图象的下方.(3) 五个常见幂函数的性质 幂函数 性质y=xy=x2y=x3y=x12y=x1定义域值域奇偶性单调性定点(3) 幂函数 y=x ( 为常数) 的性质1) 幂函数 y=x ( 为常数) 在 0,+ 上都有定义,并且图象都过点 1,1 ;2) 0 时,幂函数的图象过原点,并且在区间 0,+) 上是增函数;3) 0,r,sR;(2) ars=a0,r,sR;(3) abr=a0,b0,rR .(3) 指数幂运算 乘法公
17、式 aa=aas=ars.当 a0,b0 时, a12+b12 1) 有理数指数幂除上述运算性质之外,还有: (1) arars ( a0 ,a11b13=ab,ab=(a13r,sQ); (2)abr=arbra0,b0,rQ.b+a+a+b+b+,a+b13)2=a+b2a13b13 . 2) 在有理数指数幂的运算性质中,规定 a0 的原因:(1)若 a=0,0 的负数指数幂无意义, 当 r0 时, abr=arbr 无 意义, a0 .(2)若 a0 时, ab0 ; (2) 当 a0 时, a0= 1,而当 a=0 时, a0 无意义; (3)若 ar=asa0,且a1 ,则 r=s
18、; (4)乘法公式仍适用于分数指数幂.3、指数函数 (1) 指数函数的概念: 一般地,函数 y=axa0,且a1 叫做指数函数 (exponential function),其中指 数 x 是自变量,定义域是 R .(2) 指数函数的图象与性质0a1图象性 质定义域值域过定点单调性函数值的 变化范围当 x1当 x0 时, 0y0 时, 0y0 时, y1特别说明: 指数函数 y=axa0且a1 的图象与函数 y=1ax 的图象关于 y 轴对称.(3) 底数对指数函数图象的影响A abcd .1. 无论是 a1 还是 0a1 时, a 越大,图象越靠近 y 轴; 0a0 且 a1,M0,N0 ,
19、则(1) logaMN=(3) logaMn=(4) 恒等式: alogab=;logambn= .(5) 换底公式: logab=(6) 其他变形1) logablogba=1a0,且a1,b0,且b1 :2) logablogbclogcd=logad(a0 ,且 a1,b0 ,且 b1,c0 ,且c1,d0 ;3) loganbn=nmlogaba0,且a1,b0,m0,nR .logambn=lgbnlgam=nlgbmlga=nmlgblga=nmlogab.5、对数函数 (1) 对数函数的概念:一般地,函数 y=logaxa0,且a1 叫做对数函数 (logarithmic fun
20、ction),其中 x 是自变量,定义域是 0,+ .(2) 对数函数 y=logaxa0且a1 的图象与性质记忆口诀 0a1图象性 质定义域0,+值域过定点单调性函数值的 变化范围当 0x0当 0x1 时, y1 时, y1 时, y0对数增减有思路, 函数图 象看底数;底数只能大于 0 , 等于 1 来也不行;底数若是大于 1 , 图象从 下往上增;底数 0 到 1 之间, 图象从 上往下减;无论函数增和减, 图象都 过 1,0 点.利用图象直接得到。特别说明: (1) 函数 y=logaxa0且a1 的图象与函数 y=log1x 的图象关于 x 轴对称. (3) 底数对对数函数 y=lo
21、gaxa0且a1 的图象的影响1) 当 a1 时,对数函数的图象 “上升”;当 0a0,且a1 与对数函数 y=logaxa0,且a1 互 为反函数, 它们的定义域与值域正好互换.注: 互为反函数的两个函数的图象关于直线 y=x 对称.7、指数不等式与对数不等式 (1) 解指数不等式(1)同底的指数形式: 利用单调性afxagxa1fxgx或0a1fxlogagxa1fx0gx0fxgx或0a0gx0fx0,t1 ,换元法(2) 解对数方程(1) 同底的对数方程: logafx=logagx ,等价转化为: fx0gx0fx=gx 特别地, logafx=b ,等价为:fx0fx=ab(2)不
22、同底的指数形式: 化为同底,(3) flogafx=0 型: 换元法【课本优质习题汇总】 新人教 A 版必修一 1107. (1) 已知 10m=2,10n=3 ,求 103m2n2 的值;(2) 已知 a2x=3 ,求 a3x+a3xax+ax 的值.新人教 A 版必修一 1108. 已知 a12+a12=3 ,求下列各式的值:(1) a+a1 ; (2) a2+a2 .新人教 A 版必修一 119 8. 按复利计算利息的一种储蓄,本金为 a (单位: 元),每期利率 为 r ,本利和为 y (单位: 元),存期数为 x .(1) 写出本利和 y 关于存期数 x 的函数解析式;(2) 如果存
23、人本金 1000 元,每期利率为 2.25% ,试计算 5 期 后的本利和.新人教 A 版必修一 1209. 已知函数 y=a12x+b 的图象过原点,且无限接近直线 y=2 但又不与该直线相交.(1) 求该函数的解析式, 并画出图象;(2) 判断该函数的奇偶性和单调性.10. 已知 fx=ax,gx=1axa0,且a1 ,(1) 讨论函数 fx 和 gx 的单调性.(2) 如果 fxgx ,那么 x 的取值范围是多少? 新人教 A 版必修一 1276. 求满足下列条件的各式的值:(1) 若 xlog34=1 ,求 4x+4x 的值;(2) 若 fx=3x ,求 flog32 的值.新人教 A
24、 版必修一 1279. 我们可以把 1+1%365 看作每天的 “进步” 率都是 1% ,一年后是 1.01365 ; 而把 11%365 看作每天的 “落后” 率都是 1% ,一年后是 0.99365 . 利用计算工具计算并回答下列问题:(1) 一年后 “进步” 的是 “落后” 的多少倍?(2) 大约经过多少天后 “进步” 的分别是 “落后” 的 10 倍、 100 倍、 1000 倍?10. 酒驾是严重危害交通安全的违法行为. 为了保障交通安全,根据国家有关规定: 100mL 血液 中酒精含量达到 2079mg 的驾驶员即为酒后驾车, 80mg 及以上认定为醉酒驾车. 假设某 驾驶员喝了一
25、定量的酒后,其血液中的酒精含量上升到了 1mg/mL . 如果在停止喝酒以后, 他血液中酒精含量会以每小时 30% 的速度减少,那么他至少经过几个小时才能驾驶?新人教 A 版必修一 14112. 已知 loga121,12a1,a120, 求使方程 fx=k 的实数解个数分别为 1,2,3 时 k 的 相应取值范围.新人教 A 版必修一 1606. 设 fx=exex2,gx=ex+ex2 ,求证:(1) gx2fx2=1 ; (2) f2x=2fxgx ;(3) g2x=gx2+fx2 .新人教 A 版必修一 161 10. 把物体放在冷空气中冷却,如果物体原来的温度是 1C ,空气的温度是
26、 0C ,那么 tmin 后 物体的温度 (单位: C) 可由公式=0+10ekt求得,其中 k 是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数. 现有 62C 的物体,放在15C 的空气中冷却, 1min 以后物体的温度是 52C .(1) 求 k 的值 (精确到 0.01);(2) 若要将物体的温度降为 42C,32C ,求分别需要冷却的时间 (精确到 0.1min ).新人教 A 版必修一 16111. 已知函数 fx=logax+1,gx=loga1xa0,且a1 ,(1) 求函数 fx+gx 的定义域;(2) 判断函数 fx+gx 的奇偶性,并说明理由.12. 对于函数 fx=a22x+
27、1aR ,(1) 探索函数 fx 的单调性;(2) 是否存在实数 a 使函数 fx 为奇函数?新人教 B 版必修二 14(3) 已知 0a0 且 a1 ,比较fx1+fx22与fx1+x22的大小, 并证明.新人教 B 版必修二 30(6) 已知 0m0 时, fx=log12x .(1) 求 x0 且 a1 ,比较fx1+fx22与fx1+x22的大小, 并证明.新人教 B 版必修二 38(2) 求证: 方程3x+4x=5x只有一个实数解.新人教 B 版必修二 535. 已知 2a=5b=m,1a+1b=2 ,求 m 的值.6. 判断函数 fx=ax+1xax1a0且a1 的奇偶性,并证明.
28、7. 已知 fx5=lgx ,求 f2 的值.8. 已知函数 fx=2x12,x1,log2x+1,x1, 且 fa=3 ,求 f6a 的值.9. 已知函数 fx=lnex+1ax 是偶函数,求 a 的值.10. 已知函数 fx=3x 与 gx 的图象关于 y=x 对称,求 gx 的解析式.11. 求函数 fx=e2x2ex 的最值.新人教 B 版必修二 54 1. 不使用计算器和计算机软件,比较 log25,20.5,log415 的大小.2. 判断函数 y=lgx+x2+1 的奇偶性,并证明.3. 已知 lga,lgb 是方程 x24x+1=0 的两个根,求 lgba2 的值.4. 设函数 y=fx 的图象与 y=2x+a 的图象关于直线 y=x 对称,且 f2+ f4=1 ,求 a 的值.5. 已知函数 fx 与 gx 满足 gx=flgx .(1) 如果 y=fx 的定义域是 1,3 ,求 gx 的定义域;(2) 如果 gx 的定义域是 0.1,100 ,求 fx 的定义域.6. 已知函数 fx=4x2x+1a,x1,2 的最小值为 ga .(1) 求 g2 的值;(2) 求函数 ga 的解析式.