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1、考点11 幂函数与二次函数6种常见考法归类-【考点通关】备战2024年高考数学一轮题型归纳与解题策略(新高考地区专用)考点11 幂函数与二次函数6种常见考法归类考点一 幂函数的定义及其应用考点二 幂函数的定义域和值域考点三 幂函数的图象及应用（一）依据图象高低判定幂指数大小（二）图象的识别（三）幂函数图象过定点问题考点四 幂函数的性质及其应用（一）由幂函数的单调性求参数（二）由幂函数的单调性解不等式（三）由幂函数的单调性比较大小（四）幂函数奇偶性的应用（五）幂函数的单调性和奇偶性的综合应用（六）幂函数性质的综合应用考点五 幂函数的综合问题考点六 二次函数的图象与性质（一）二次函数的图象（二）二
2、次函数的单调性（三）二次函数在闭区间上的最值（四）二次方程根的分布（五）二次函数中的恒成立问题1、 幂函数的判断及应用判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为（是常数）的形式，即满足：（1）指数为常数；（2）底数为自变量；（3）系数为1只有同时满足这三个条件的函数才是幂函数，对于形如等函数都不是幂函数。2、常见的幂函数图像及性质函数图象 定义域值域奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性在上单调递增在上单调递减，在上单调递增在上单调递增在上单调递增在和上单调递减公共点3、 幂函数的图象及应用（1）幂函数图象的画法确定幂函数在第一象限内的图象：先根据的取值，确定幂函数在第一象限内的图象确定幂函数在其他象
3、限内的图象：根据幂函数的定义域及奇偶性确定幂函数f(x)在其他象限内的图象对于幂函数图象的掌握，需记住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x1，y1，yx所分区域根据0,01的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定（2）要牢记幂函数的图象，并能灵活运用由幂函数的图象，我们知道： 所有的幂函数在(0，)上都有定义，并且图象都过点(1,1)任何幂函数的图象与坐标轴最多只有一个交点（原点）；任何幂函数的图象都不经过第四象限当0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间0，)上是增函数特别地，当1时，幂函数的图象上抛；当01时，幂函数的图象右抛当1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指
4、数按从小到大的顺序排列在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴4、形如yx或yx(m，n为互质的正整数)类型函数的奇偶性判断形如yx或yx(m，n为互质的正整数)类型函数的奇偶性判断：当m，n都为奇数时，幂函数在定义域上为奇函数；当m为奇数，n为偶数时，幂函数在定义域上为非奇非偶函数；当m为偶数，n为奇数时，幂函数在定义域上为偶函数. 5、解决与幂函数有关的综合性问题的方法首先要考虑幂函数的概念，对于幂函数(R)，由于的取值不同，所以相应幂函数的单调性和奇偶性也不同同时，注意分类讨论思想的应用在比较幂
5、值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较6、二次函数及其应用(1)二次函数解析式的三种形式一般式：；顶点式：；其中，为抛物线顶点坐标，为对称轴方程.零点式：，其中，是抛物线与轴交点的横坐标.(2)二次函数的图象与性质：二次函数f(x)ax2bxc(a0)的图象是一条抛物线，它的对称轴、顶点坐标、开口方向、值域、单调性分别是：对称轴：x. 顶点坐标：. 开口方向：a0时，开口向上；a0时，开口向下. 值域：a0时，y；a0时，y . 单调性：当时，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增，当时，；当时，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减，当时，；.与轴相交的弦长当时
6、，二次函数的图像与轴有两个交点和，.7、二次函数在闭区间上的最值问题二次函数在闭区间上的最值：二次函数在闭区间上必有最大值和最小值. 它只能在区间的端点或二次函数的顶点处取得，可分别求值再比较大小，最后确定最值. 闭区间上二次函数最值的取得一定是在区间端点或顶点处.对二次函数，当时，在区间上的最大值是，最小值是，令：（1）若，则；（2）若，则；（3）若，则；（4）若，则.二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动. 不论哪种类型，解题的关键都是对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论. 要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区
7、间上的二次函数最值问题，先“定性”(作草图)，再“定量”(看图求解)，事半功倍. 8、有关二次函数的问题，关键是利用图像.（1）要熟练掌握二次函数在某区间上的最值或值域的求法，特别是含参数的两类问题动轴定区间和定轴动区间，解法是抓住“三点一轴”，三点指的是区间两个端点和区间中点，一轴指对称轴.即注意对对称轴与区间的不同位置关系加以分类讨论，往往分成：轴处在区间的左侧；轴处在区间的右侧；轴穿过区间内部（部分题目还需讨论轴与区间中点的位置关系），从而对参数值的范围进行讨论.（2）对于二次方程实根分布问题，要抓住四点，即开口方向、判别式、对称轴位置及区间端点函数值正负.9、 一元二次方程根的分布设x
8、1，x2是实系数一元二次方程ax2bxc0(a0)的两实根，则x1，x2的分布范围与系数之间的关系如表所示. 根的分布(mnp且m，n，p均为常数)图象满足的条件x1x2mmx1x2x1mx2f(m)0. mx1x2nmx1nx2pmx1x2n只有一根在区间(m，n)内f(m)f(n)0考点一 幂函数的定义及其应用1（2023春上海杨浦高三复旦附中校考阶段练习）已知幂函数的图像过点，则的值为_2【多选】（2023秋高三单元测试）已知函数为幂函数，则实数的可能性取值为（）A1B-2C3D-43（2023秋河北邯郸高三统考期末）已知幂函数满足，则的值为（）A2BCD考点二 幂函数的定义域和值域4（
9、2023全国高三专题练习）下列函数定义域为的是（）ABCD5（2023上海高三专题练习）函数的定义域为_6（2023全国高三专题练习）若幂函数的图象过点，则的值域为_7（2023全国高三专题练习）已知函数则函数值域是（）ABCD8（2023全国高三专题练习）幂函数中a的取值集合C是的子集，当幂函数的值域与定义域相同时，集合C为（）ABCD9（2023秋江西鹰潭高三贵溪市实验中学校考阶段练习）已知幂函数的定义域为R.(1)求实数的值；(2)若函数在上不单调，求实数的取值范围.10（2023北京高三专题练习）已知函数.（1）若函数的定义域为，求实数的取值范围；（2）若，都有成立，求实数的取值范围.
10、11（2023全国高三专题练习）已知函数，若函数的值域为，则实数的取值范围为_考点三 幂函数的图象及应用（一）依据图象高低判定幂指数大小12（2023全国高三专题练习）幂函数在第一象限的图像如图所示，则的大小关系是 （）ABCD13（2023秋上海浦东新高三上海市建平中学校考阶段练习）如图所示是函数（均为正整数且互质）的图象，则（）A是奇数且B是偶数，是奇数，且C是偶数，是奇数，且D是奇数，且14（2023全国高三专题练习）已知幂函数（且互质）的图象关于y轴对称，如图所示，则（）Ap，q均为奇数，且Bq为偶数，p为奇数，且Cq为奇数，p为偶数，且Dq为奇数，p为偶数，且（二）图象的识别15（2
11、023秋广东高三统考学业考试）函数的图像大致为（）ABCD16（2023全国高三专题练习）函数的大致图象是（）ABCD17（2023全国高三专题练习）函数的图象大致为（）ABCD18（2023秋四川遂宁高三校考阶段练习）函数的图像大致是（）ABCD19【多选】（2023秋辽宁高三校联考期中）函数的大致图象可能是（）ABCD（三）幂函数图象过定点问题20（2023秋河南开封高三校考阶段练习）函数的图象恒过定点A，且点A在幂函数的图象上，则_.21（2023全国高三专题练习）函数（，且）的图象恒过定点，在幂函数的图象上，则=_；22（2023秋福建漳州高三校考阶段练习）已知函数且的图象恒过定点，则
12、点的坐标为_考点四 幂函数的性质及其应用（一）由幂函数的单调性求参数23（2023秋高三课时练习）幂函数在上单调递减，则实数的值为_24（2023春四川广安高三校考阶段练习）已知幂函数在上单调递增(1)求m的值及函数的解析式；(2)若函数在上的最大值为3，求实数a的值25（2023全国高三专题练习）幂函数在上单调递增，则的图象过定点（）ABCD（二）由幂函数的单调性解不等式26（2023全国高三专题练习）若，试求的取值范围.27（2023全国高三专题练习）“”是“”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件28（2023全国高三专题练习）满足的实数m的取值范围是（）
13、.ABCD29（2023贵州毕节统考二模）已知，则实数a的取值范围为（）ABCD（三）由幂函数的单调性比较大小30（2023天津一模）已知，则（）ABCD31（2023宁夏石嘴山平罗中学校考模拟预测）已知，则a，b，c的大小关系是（）ABCD32（2023全国高三专题练习）已知幂函数的图象经过点与点，则（）ABCD33（2023春陕西西安高三西北工业大学附属中学校考阶段练习）已知幂函数的图象过点设，则，的大小关系是（）ABCD34【多选】（2023江苏校联考模拟预测）若函数，且，则（）ABCD（四）幂函数奇偶性的应用35（2023全国高三专题练习）下列函数中，值域是且为偶函数的是（）ABCD3
14、6（2023全国高三专题练习）若幂函数的图像关于y轴对称，则实数_37（2023全国高三专题练习）已知幂函数为偶函数，则实数的值为（）A3B2C1D1或238（2023全国高三专题练习）设，则使函数的定义域为，且该函数为奇函数的值为（）A或B或C或D、或39（2023全国高三专题练习）设)，则“函数的图象经过点（-1，-1）”是“函数为奇函数”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件（五）幂函数的单调性和奇偶性的综合应用40（2023全国高三专题练习）幂函数y（mZ）的图象如图所示，则实数m的值为_.41（2023全国高三专题练习）已知，若幂函数奇函数，且在上为严
15、格减函数，则_.42（2023全国高三专题练习）“幂函数在上为增函数”是“函数为奇函数”的（）条件A充分不必要B必要不充分C充分必要D既不充分也不必要43（2023全国高三专题练习）已知幂函数的图象过点，且，则a的取值范围是_44（2023全国高三专题练习）已知是幂函数，且在上单调递增，则满足的实数的范围为（）AB C D45（2023秋山东德州高三统考期末）函数同时满足对于定义域内的任意实数x，都有；在上是减函数，则的值为（）A8B4C2D146（2023高三课时练习）已知幂函数（m为正整数）的图像关于y轴对称，且在上是严格减函数，求满足的实数a的取值范围（六）幂函数性质的综合应用47【多选
16、】（2023秋广东梅州高三丰顺县丰顺中学校考期末）若幂函数的图象过，下列说法正确的有（）A且B是偶函数C在定义域上是减函数D的值域为48【多选】（2023全国高三专题练习）已知幂函数的图象经过点，则（）A函数为增函数B函数为偶函数C当时，D当时，49（2023全国高三专题练习）已知幂函数在区间上是减函数(1)求函数的解析式；(2)讨论函数的奇偶性和单调性；(3)求函数的值域考点五 幂函数的综合问题50（2023全国高三专题练习）已知幂函数在上单调递减，函数，对任意，总存在使得，则的取值范围为_.51（2023全国高三专题练习）已知幂函数在上单调递增，函数，使得成立，则实数的取值范围是（）ABC
17、D52（2023全国高三专题练习）若函数是幂函数，且其图象过点，则函数的单调递增区间为_.53【多选】（2023全国高三专题练习）已知函数是幂函数，对任意，且，满足.若，且的值为负值，则下列结论可能成立的有（）A，B，C，D，54（2023全国高三专题练习）已知函数是幂函数，直线过点，则的取值范围是（）ABCD55（2023全国高三专题练习）已知函数，（1）当时，求的值域；（2）若对，成立，求实数的取值范围；（3）若对，使得成立，求实数的取值范围考点六 二次函数的图象与性质（一）二次函数的图象56（2023四川绵阳四川省绵阳南山中学校考一模）函数，且与函数在同一坐标系内的图象不可能的是（）AB
18、CD57【多选】（2023全国高三专题练习）在下列四个图形中，二次函数与指数函数的图象可能是（）ABCD58（2023全国高三专题练习）已知函数（其中）的图象如图所示，则函数的图像是（）ABCD59（2023全国高三专题练习）已知函数，如果且，则它的图象可能是（）ABCD（二）二次函数的单调性60（2023全国高三专题练习）“函数在区间上不单调”是“”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分且必要条件D既不充分也不必要条件61（2023全国高三专题练习）函数的单调递减区间为（）ABCD62（2023秋山东菏泽高三统考期末）已知函数在上单调递增，则a的取值范围为（）ABCD63【多选】（20
19、23全国高三专题练习）下列是函数的单调减区间的是（ ）ABCD64（2023全国高三专题练习）已知函数f（x）在R上单调递增，则实数a的取值范围为_65（2023全国高三专题练习）若函数在区间上不是单调函数，则实数的取值范围_.66（2023河北高三学业考试）已知函数在区间上具有单调性，则实数的取值范围是（）ABCD（三）二次函数在闭区间上的最值67（2023全国高三专题练习）函数在区间上的最大值为求的解析式；68（2023全国高三专题练习）当时，求的最大值（a为常数，结果可用a来表示）69（2023高三课时练习）求函数，的最小值.70（2023江西统考模拟预测）已知函数.(1)求函数在区间上
20、的最大值；(2)若为整数，且关于的不等式恒成立，求整数的最小值.71（2023全国高三专题练习）已知二次函数满足，且(1)求的解析式；(2)求函数在区间，上的最大值72（2023全国高三专题练习）已知函数(1)若，求的最大值；(2)若的最大值为，求的最小值（四）二次方程根的分布73（2023春河北保定高三河北省唐县第二中学校考阶段练习）若一元二次方程（不等于0）有一个正根和一个负根，则实数的取值范围为（）ABCD74（2023全国高三专题练习）已知方程的两根分别在区间，之内，则实数的取值范围为_75（2023全国高三专题练习）方程在区间内有两个不同的根，的取值范围为_76（2023全国高三专题
21、练习）关于x的方程恰有一根在区间内，则实数m的取值范围是（）ABCD77（2023全国高三专题练习）关于的方程有两个不相等的实数根，且，那么的取值范围是（）ABCD78（2023全国高三专题练习）方程的两根都大于，则实数的取值范围是_（五）二次函数中的恒成立问题79（2023全国高三专题练习）已知为正的常数，若不等式对一切非负实数恒成立，则的最大值为_.80（2023春陕西西安高三西北工业大学附属中学校考阶段练习）“”是“对任意的正数，恒成立”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件81（2023全国高三专题练习）已知二次函数（a，且），(1)若函数的最小值为，求
22、的解析式，并写出单调区间；(2)在（1）的条件下，在区间上恒成立，试求的取值范围考点11 幂函数与二次函数6种常见考法归类考点一 幂函数的定义及其应用考点二 幂函数的定义域和值域考点三 幂函数的图象及应用（一）依据图象高低判定幂指数大小（二）图象的识别（三）幂函数图象过定点问题考点四 幂函数的性质及其应用（一）由幂函数的单调性求参数（二）由幂函数的单调性解不等式（三）由幂函数的单调性比较大小（四）幂函数奇偶性的应用（五）幂函数的单调性和奇偶性的综合应用（六）幂函数性质的综合应用考点五 幂函数的综合问题考点六 二次函数的图象与性质（一）二次函数的图象（二）二次函数的单调性（三）二次函数在闭区间上
23、的最值（四）二次方程根的分布（五）二次函数中的恒成立问题1、 幂函数的判断及应用判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为（是常数）的形式，即满足：（1）指数为常数；（2）底数为自变量；（3）系数为1只有同时满足这三个条件的函数才是幂函数，对于形如等函数都不是幂函数。2、常见的幂函数图像及性质函数图象 定义域值域奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性在上单调递增在上单调递减，在上单调递增在上单调递增在上单调递增在和上单调递减公共点3、 幂函数的图象及应用（1）幂函数图象的画法确定幂函数在第一象限内的图象：先根据的取值，确定幂函数在第一象限内的图象确定幂函数在其他象限内的图象：根据幂函数的定义域及奇偶性
24、确定幂函数f(x)在其他象限内的图象对于幂函数图象的掌握，需记住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x1，y1，yx所分区域根据0,01的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定（2）要牢记幂函数的图象，并能灵活运用由幂函数的图象，我们知道： 所有的幂函数在(0，)上都有定义，并且图象都过点(1,1)任何幂函数的图象与坐标轴最多只有一个交点（原点）；任何幂函数的图象都不经过第四象限当0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间0，)上是增函数特别地，当1时，幂函数的图象上抛；当01时，幂函数的图象右抛当1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列在区间(0,1)
25、上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴4、形如yx或yx(m，n为互质的正整数)类型函数的奇偶性判断形如yx或yx(m，n为互质的正整数)类型函数的奇偶性判断：当m，n都为奇数时，幂函数在定义域上为奇函数；当m为奇数，n为偶数时，幂函数在定义域上为非奇非偶函数；当m为偶数，n为奇数时，幂函数在定义域上为偶函数. 5、解决与幂函数有关的综合性问题的方法首先要考虑幂函数的概念，对于幂函数(R)，由于的取值不同，所以相应幂函数的单调性和奇偶性也不同同时，注意分类讨论思想的应用在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适
26、当的函数，借助其单调性进行比较6、二次函数及其应用(1)二次函数解析式的三种形式一般式：；顶点式：；其中，为抛物线顶点坐标，为对称轴方程.零点式：，其中，是抛物线与轴交点的横坐标.(2)二次函数的图象与性质：二次函数f(x)ax2bxc(a0)的图象是一条抛物线，它的对称轴、顶点坐标、开口方向、值域、单调性分别是：对称轴：x. 顶点坐标：. 开口方向：a0时，开口向上；a0时，开口向下. 值域：a0时，y；a0时，y . 单调性：当时，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增，当时，；当时，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减，当时，；.与轴相交的弦长当时，二次函数的图像与轴有两个交点和，.7
27、、二次函数在闭区间上的最值问题二次函数在闭区间上的最值：二次函数在闭区间上必有最大值和最小值. 它只能在区间的端点或二次函数的顶点处取得，可分别求值再比较大小，最后确定最值. 闭区间上二次函数最值的取得一定是在区间端点或顶点处.对二次函数，当时，在区间上的最大值是，最小值是，令：（1）若，则；（2）若，则；（3）若，则；（4）若，则.二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动. 不论哪种类型，解题的关键都是对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论. 要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上的二次函数最值问题，先“定性”(作
28、草图)，再“定量”(看图求解)，事半功倍. 8、有关二次函数的问题，关键是利用图像.（1）要熟练掌握二次函数在某区间上的最值或值域的求法，特别是含参数的两类问题动轴定区间和定轴动区间，解法是抓住“三点一轴”，三点指的是区间两个端点和区间中点，一轴指对称轴.即注意对对称轴与区间的不同位置关系加以分类讨论，往往分成：轴处在区间的左侧；轴处在区间的右侧；轴穿过区间内部（部分题目还需讨论轴与区间中点的位置关系），从而对参数值的范围进行讨论.（2）对于二次方程实根分布问题，要抓住四点，即开口方向、判别式、对称轴位置及区间端点函数值正负.9、 一元二次方程根的分布设x1，x2是实系数一元二次方程ax2bx
29、c0(a0)的两实根，则x1，x2的分布范围与系数之间的关系如表所示. 根的分布(mnp且m，n，p均为常数)图象满足的条件x1x2mmx1x2x1mx2f(m)0. mx1x2nmx1nx2pmx1x2n只有一根在区间(m，n)内f(m)f(n)0考点一 幂函数的定义及其应用1（2023春上海杨浦高三复旦附中校考阶段练习）已知幂函数的图像过点，则的值为_【答案】【分析】设幂函数为，代入点计算，从而得函数解析式，再代入计算即可.【详解】设幂函数为，由题意，解得，所以幂函数解析式为，所以.故答案为：2【多选】（2023秋高三单元测试）已知函数为幂函数，则实数的可能性取值为（）A1B-2C3D-4
30、【答案】AD【分析】根据幂函数定义得到方程，求出实数，检验后得到答案.【详解】由题意得，解得或，当时，当时，均满足要求.故选：AD3（2023秋河北邯郸高三统考期末）已知幂函数满足，则的值为（）A2BCD【答案】B【分析】设出幂函数的解析式，根据已知，求出参数的关系式，即可计算作答.【详解】依题意，设，则，所以.故选：B考点二 幂函数的定义域和值域4（2023全国高三专题练习）下列函数定义域为的是（）ABCD【答案】C【详解】化分数指数幂为根式，分别求出四个选项中函数的定义域得答案【解答】，定义域为，定义域为，定义域为，定义域为故选：C5（2023上海高三专题练习）函数的定义域为_【答案】【解
31、析】将函数解析式变形为，即可求得原函数的定义域.【详解】，所以，.因此，函数的定义域为.故答案为：.6（2023全国高三专题练习）若幂函数的图象过点，则的值域为_【答案】【分析】设，根据条件求出，然后可得答案.【详解】设，因为幂函数的图象过点，所以所以，所以故答案为：7（2023全国高三专题练习）已知函数则函数值域是（）ABCD【答案】B【分析】结合分段函数的单调性来求得的值域.【详解】当时，单调递增，值域为；当时，单调递增，值域为，故函数值域为.故选：B8（2023全国高三专题练习）幂函数中a的取值集合C是的子集，当幂函数的值域与定义域相同时，集合C为（）ABCD【答案】C【分析】分别求出各
32、幂函数的定义域和值域，得到答案.【详解】当时，定义域和值域均为，符合题意；时，定义域为，值域为，故不合题意；时，定义域为，值域为，符合题意；时，定义域与值域均为R，符合题意；时，定义域为R，值域为，不符合题意；时，定义域与值域均为R，符合题意.故选：C9（2023秋江西鹰潭高三贵溪市实验中学校考阶段练习）已知幂函数的定义域为R.(1)求实数的值；(2)若函数在上不单调，求实数的取值范围.【答案】(1)；(2)【分析】（1）由幂函数定义求得参数值；（2）由二次函数的单调性知对称轴在开区间上，再由指数函数性质，对数的定义得结论【详解】（1）由题意且，解得；（2）由（1），的对称轴 ，因为在上不单调
33、，所以，解得10（2023北京高三专题练习）已知函数.（1）若函数的定义域为，求实数的取值范围；（2）若，都有成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【分析】（1）由题意得在上恒成立，可得，代入数据，化简整理，即可得答案.（2）根据题意可得，即时恒成立，整理可得，设，只需即可，求导，可得的单调性，即可求得的最小值，即可得答案.【详解】（1）由题意可知在上恒成立，故可得，解得（2）由题意可得，即时恒成立可化为，设，只要即可，又，所以在为增函数，所以，所以【点睛】解题的关键是分离参数，可得恒成立，即即可，若处理存在性问题时，只需即可，考查分析计算的能力，属中档题.11（2023全国高三专题练
34、习）已知函数，若函数的值域为，则实数的取值范围为_【答案】【分析】判断单调递增，讨论或，根据分段函数的值域可得且，解不等式即可求解.【详解】由函数单调递增，当时，若，有，而，此时函数的值域不是；当时，若，有，而，若函数的值域为，必有，可得则实数的取值范围为故答案为：考点三 幂函数的图象及应用（一）依据图象高低判定幂指数大小12（2023全国高三专题练习）幂函数在第一象限的图像如图所示，则的大小关系是 （）ABCD【答案】D【分析】根据幂函数的性质，在第一象限内，的右侧部分的图像，图像由下至上，幂指数增大，即可判断；【详解】根据幂函数的性质，在第一象限内，的右侧部分的图像，图像由下至上，幂指数增
35、大，所以由图像得：，故选：D13（2023秋上海浦东新高三上海市建平中学校考阶段练习）如图所示是函数（均为正整数且互质）的图象，则（）A是奇数且B是偶数，是奇数，且C是偶数，是奇数，且D是奇数，且【答案】B【分析】由幂函数性质及时两图象的位置关系可知；由图象可知为偶函数，进而确定的特征.【详解】由幂函数性质可知：与恒过点，即在第一象限的交点为，当时，则；又图象关于轴对称，为偶函数，又互质，为偶数，为奇数.故选：B.14（2023全国高三专题练习）已知幂函数（且互质）的图象关于y轴对称，如图所示，则（）Ap，q均为奇数，且Bq为偶数，p为奇数，且Cq为奇数，p为偶数，且Dq为奇数，p为偶数，且【
36、答案】D【分析】根据函数的单调性可判断出；根据函数的奇偶性及，互质可判断出为偶数，为奇数.【详解】因为函数的定义域为，且在上单调递减，所以0，因为函数的图象关于y轴对称，所以函数为偶函数，即p为偶数，又p、q互质，所以q为奇数，所以选项D正确，故选：D.（二）图象的识别15（2023秋广东高三统考学业考试）函数的图像大致为（）ABCD【答案】A【分析】根据给定的幂函数的值域排除两个选项，再利用函数图象在第一象限的特征判断作答.【详解】由得，函数的图象在x轴及上方，B、D都不正确，函数的图象是曲线，在时，该曲线在直线的下方，且增长速度逐渐变慢，C不正确，A满足条件.故选：A16（2023全国高三
37、专题练习）函数的大致图象是（）ABCD【答案】B【分析】由奇偶性可排除D；由幂函数性质可排除AC，由此可得结果.【详解】的定义域为，且，为偶函数，图象关于轴对称，可排除；，由幂函数性质知：在上单调递增，但增长速度越来越慢，可排除AC.故选：B.17（2023全国高三专题练习）函数的图象大致为（）ABCD【答案】C【分析】利用函数的奇偶性及幂函数的性质进行排除可得答案.【详解】因为，所以为偶函数，排除A,B选项；易知当时，为增函数，且增加幅度较为缓和，所以D不正确.故选：C.18（2023秋四川遂宁高三校考阶段练习）函数的图像大致是（）ABCD【答案】A【分析】利用时排除选项D，利用时排除选项C
38、，利用时排除选项B，所以选项A正确.【详解】函数的定义域为当时，可知选项D错误；当时，可知选项C错误；当时，可知选项B错误，选项A正确.故选：A19【多选】（2023秋辽宁高三校联考期中）函数的大致图象可能是（）ABCD【答案】ABD【分析】先根据当时，时，排除C，再举出适当的的值，分别得到ABD三个图象.【详解】由题意知，则，当时，当时，所以的大致图象不可能为C，而当为其他值时，A，B，D均有可能出现，不妨设，定义域为，此时A选项符合要求；当时，定义域为，且，故函数为奇函数，所以B选项符合要求，当时，定义域为，且，故函数为偶函数，所以D选项符合要求.故选：ABD（三）幂函数图象过定点问题20
39、（2023秋河南开封高三校考阶段练习）函数的图象恒过定点A，且点A在幂函数的图象上，则_.【答案】27【分析】由对数函数与幂函数的性质求解，【详解】令，得，此时，故定点，设，则，得，故，故答案为：2721（2023全国高三专题练习）函数（，且）的图象恒过定点，在幂函数的图象上，则=_；【答案】27【分析】先求出定点的坐标，然后代入幂函数中，即可求出幂函数的方程，进而可以求出.【详解】解：因为函数（，且）的图象恒过定点，所以由指数型函数性质得，因为在幂函数的图象上所以，解得，所以，.故答案为：22（2023秋福建漳州高三校考阶段练习）已知函数且的图象恒过定点，则点的坐标为_【答案】【分析】由恒成立可得定点坐标.【详解】当时，.故答案为：.考点四 幂函数的性质及其应用（一）由幂函数的单调性求参数23（2023秋高三课时练习）幂函数在上单调递减，则实数的值为_【答案】2【分析】根据幂函数建立等式，解出，将代入函数检验，看是否在上单调递减即可确定答案.【详解】解：因为是幂函数，所以，解得或，因为函数在上单调递减，当时，函数化为，符合题意，当时，