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1、考点28 数列的概念与性质7种常见考法归类-【考点通关】备战2024年高考数学一轮题型归纳与解题策略(新高考地区专用)考点28 数列的概念与性质7种常见考法归类考点一 根据规律填写数列中的某项考点二 由前n项归纳数列的通项公式考点三 判断数列的增减性考点四 确定数列的最大（小）项考点五 根据数列的单调性求参数考点六 数列周期性的应用考点七 数列的新定义问题1. 数列的概念概念含义数列按照确定的顺序排列的一列数称为数列数列的项数列中的每一个数叫做这个数列的项，其中第1项也叫首项通项公式如果数列an的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式前n项
2、和数列an从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列an的前n项和，记作Sn2. 数列的分类分类标准类型含义按项数有穷数列项数有限的数列无穷数列项数无限的数列按项的变化趋势递增数列从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列，即恒有an1an(nN*)递减数列从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列，即恒有an10数列an是单调递增数列；an1an0或an0时，1数列an是单调递增数列；1数列an是单调递减数列；1数列an是常数列当an1数列an是单调递减数列；an(nN*)递减数列从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列，即恒有an10数列an是单调递增数列；an1an0或an0时，1数列an是单
3、调递增数列；1数列an是单调递减数列；1数列an是常数列当an1数列an是单调递减数列；1数列an是单调递增数列；1数列an是常数列(4) 函数法：结合相应的函数图象直观判断12. 数列周期性问题解决数列周期性问题，一般先写出前几项确定周期，再依据周期求解. 待求式中出现较大下标或已知条件中有关键恒等式，都是周期数列的“信号”.13. 求数列的最大项与最小项的常用方法(1)将数列视为函数f(x)当xN*时所对应的一列函数值，根据f(x)的类型作出相应的函数图象，或利用求函数最值的方法，求出f(x)的最值，进而求出数列的最大(小)项；(2)通过通项公式an研究数列的单调性，利用 (n2)确定最大
4、项，利用 (n2)确定最小项；(3)比较法：若有an1anf(n1)f(n)0，则an1an，则数列an是递增数列，所以数列an的最小项为a1f(1)；若有an1anf(n1)f(n)0，则an1an，则数列an是递减数列，所以数列an的最大项为a1f(1) 考点一 根据规律填写数列中的某项1（2023全国高三专题练习）如图是一个树形图的生长过程，依据图中所示的生长规律，第15行的实心圆点的个数等于_.【答案】377【分析】根据图示可以看出：一个实心圆点到了下一行变成一个实心圆点和一个空心圆点；一个空心圆点到了下一行变成一个实心圆点.在树形图中这些数字每一个都等于前面两个数之和，它们正好构成了
5、斐波那契数列.【详解】如果将第一行中的0个实心圆点和1个空心圆点用数对(0，1)表示，将第二行中的1个实心圆点和0个空心圆点用数对(1，0)表示.则第三、四、五行.的实心圆点和空心圆点分别可用数对(1，1)，(2，1)，(3，2).表示.根据上述得出的变化规律可知：后行数对的第一个数是前一行数对中的两数之和，第二个数是前一行数对中的第一个数.据此可以推算出第15行的数对为(377，233).所以第十五行的实心圆点的个数等于377个.故答案为：3772（2023云南保山统考二模）我国南宋数学家杨辉126l年所著的详解九章算法一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就.杨辉三
6、角也可以看做是二项式系数在三角形中的一种几何排列，若去除所有为1的项，其余各项依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，则此数列的第56项为（）A11B12C13D14【答案】B【分析】由题意可知，去除所有为1的项，则剩下的每一行的个数构成一个首项为1，公差为1的等差数列，求解即可.【详解】由题意可知：若去除所有的为1的项，则剩下的每一行的个数为1，2，3，4，.，可以看成构成一个首项为1，公差为1的等差数列，则，可得当，所有项的个数和为55，第56项为12，故选：B.3（2023全国高三专题练习）公元前四世纪，毕达哥拉斯学派对数和形的关系进行了研究他们借助几何图形（或格点）来表
7、示数，称为形数形数是联系算术和几何的纽带如图，数列1，6，15，28，45，从第二项起每一项都可以用六边形表示出来，故称它们为六边形数，那么该数列的第8项对应的六边形数为_【答案】120【分析】根据图形归纳出数列的规律，从而得出结论【详解】由题意，从第二个图形开始，把最外面六边形右侧两条边延长构成一个新的六边形，新六边形每条边上的点数比原来多一个，因此我们有：， ，,，故答案为:120.4（2023全国高三专题练习）古希腊科学家毕达哥拉斯对“形数”进行了深入的研究，若一定数目的点或圆在等距离的排列下可以形成一个等边三角形，则这样的数称为三角形数，如1，3，6，10，15，21，这些数量的点都可
8、以排成等边三角形，都是三角形数，把三角形数按照由小到大的顺序排成的数列叫做三角数列类似地，数1，4，9，16，叫做正方形数，则在三角数列中，第二个正方形数是（）A28B36C45D55【答案】B【分析】根据数列的前几项求出三角数列以及正方形数列的通项公式即可求解.【详解】由题意可得，三角数列的通项为，则三角数列的前若干项为1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，.，设正方形数按由小到大的顺序排成的数列为，则，其前若干项为1，4，9，16，25，36，49，在三角数列中，第二个正方形数是36.故选：B.5（2023河南安阳安阳一中校考模拟预测）将正整数排成下表：则在表中数字2021
9、出现在（）A第44行第77列B第45行第82列C第45行第85列D第45行第88列【答案】C【分析】观察数阵的规律，每行的最后一个数分别为1，4，9，16，可归纳出第行的最后一个数为，然后根据2021，找平方数是2021附近的正整数即可.【详解】解：因为每行的最后一个数分别为1，4，9，16，所以可归纳出第行的最后一个数为，又因为，所以2021在第45行，且第45行最后一个数为2025，又因为第1行有1个数，第2行有3个数，第3行有5个数，第4行有7个数，由此可归纳出第行有个数为，所以第45行共有89个数，又因为最后一个数是2025，第89个数是2025，所以第88个数是2024，第87个数是
10、2023，第86个数是2022，第85个数是2021.故选：C.考点二 由前n项归纳数列的通项公式6（2023全国高三专题练习）数列的前4项为：，则它的一个通项公式是（）ABCD【答案】C【分析】根据规律可得结果.【详解】将可以写成，所以的通项公式为；故选:C7（2023全国高三专题练习）数列的一个通项公式是（）ABCD【答案】A【分析】分析数列奇数项和偶数项的符号，同时注意到分子为，分母为，由此可求得一个通项公式.【详解】解：由数列可知：奇数项的符号为“”，偶数项的符号为“”，其分母为奇数，分子为此数列的一个通项公式故选：A8（2023全国高三专题练习）“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，
11、如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，从第三行起，每一行的第三个数1，构成数列，其前n项和为，则（）ABCD【答案】B【分析】根据数列的前4项，归纳出数列的通项，即可用裂项相消法求其前n项和为，即可得的值.【详解】由题意可知，则，所以其前n项和为：，则.故选：B.9（2022高二课时练习）写出下列数列的一个通项公式，使其前几项分别是下列各数：(1)3，5，9，17，33，；(2)，；(3)5，55，555，5555，；(4)，1，；(5)0，【答案】(1)（）(2)（）(3)（）(4)（）(5)（）【分析】先将数列中的数进行适当分解转化，再结合数列中各项的项数，将规律把这五个数列表示成式子
12、即可【详解】（1）数列的前几项可记为，所以该数列的一个通项公式为（）；（2）数列的整数部分1，2，3，4，恰好是序号，分数部分，与序号的关系为，所以该数列的一个通项公式为（）；（3）将原数列改写为，易知数列9，99，999，9999，的一个通项公式为，所以该数列的一个通项公式为（）；（4）数列的偶数项为负数，奇数项为正数，故通项公式必含有因式第2项1改写成后，该数列各项分母依次为3，5，7，9，11，与序号的关系可记为而各项分子依次为2，5，10，17，26，与序号的关系可记为，所以该数列的一个通项公式为（）；（5）因为，所以该数列的一个通项公式为（）考点三 判断数列的增减性10【多选】（20
13、23全国高三专题练习）已知数列满足,则（）ABC数列为递增数列D数列为递减数列【答案】BC【分析】先利用累乘法求得数列的通项公式，再依次判断各选项即可.【详解】因为数列满足，则当时，所有的式子相乘得，即，当 时也符合通项，故，数列为递增数列，故选：BC11【多选】（2023安徽六安高三六安一中校考阶段练习）已知在数列中，下列说法正确的是（）A存在实数，使数列单调递增B若存在正整数n，使，则C当时，对任意正整数n，都有D若对任意正整数n，都有，则【答案】AD【分析】根据递推关系式，结合数列的单调性判断A正确，取特殊值判断BC，利用累加法和反证法可得D【详解】，当时，使恒成立，此时,故数列单调递增
14、,故A正确，对B,取则，即存在正整数，使，但故B不正确对C,取，则,故C不正确对D,即累加可得：假设，则存在充分大的，使得,这与题设矛盾，所以D正确故选：AD12（2023春江苏南京高三江苏省江浦高级中学校考阶段练习）已知数列的前n项和为，数列是递增数列是的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】D【分析】由逻辑用语及数列的性质判定即可.【详解】若数列是递增数列，则，即，推不出，不满足充分性，比如反例：是各项为正数，公比小于1的等比数列；若，则数列是递减数列，不满足必要性，故数列是递增数列是的既不充分也不必要条件.故选：D.13（2023全国高三专题练习）已
15、知数列满足，则下列结论成立的是（）ABCD【答案】D【分析】先求的大小，又单调递减，可推出的大小，再得到的大小，可得到，反复这个过程，可得到各项大小关系得出答案.【详解】由已知，.由指数函数单调递减，得：.又，即，即，再由可得，即，反复，则有.故选：D.14（2023全国高三专题练习）已知数列满足，则（）ABCD【答案】C【详解】数列满足，与异号，则，故选考点四 确定数列的最大（小）项15（2023四川校考模拟预测）已知数列的通项公式为，前n项和为，则取最小值时n的值为（）A6B7C8D9【答案】C【分析】由已知可推得当时，.又，即可得出答案.【详解】解可得，或，即或.所以，当时，.又，所以，
16、当时，取最小值.故选：C.16（2023全国高三专题练习）已知数列的前n项的积为，若，则的最大值为（）AB2CD【答案】A【分析】计算可得；当时，由于，所以，从而得出结果.【详解】，可得；当时，时，当时，当时取等号，综上，当或5时，取最大值.故选：A17（2023河南校联考模拟预测）已知数列的通项公式为，则当最小时，（）A9B10C11D12【答案】C【分析】根据给定的通项公式，探讨数列的单调性，求出最小时的n值作答.【详解】数列中，则，而，于是当时，即，当时，即，因此当时，数列单调递减，当时，数列单调递增，所以当且仅当时，最小.故选：C18（2023北京北师大实验中学校考模拟预测）数列是无穷
17、项数列，则“存在，且”是“存在最大项”的（）A充分且不必要条件B必要且不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】D【分析】根据题意可通过举例特殊数列可知不满足充分性，再由数列可得不满足必要性即可得出结论.【详解】根据题意可知，若存在，且，不妨设即数列从第三项起满足，此时存在满足且，但数列从第三项开始是递增数列，无最大项；所以充分性不成立；若存在最大项，不妨设数列，此时的最大项为，且为递减数列；所以不存在，且，即必要性不成立.故选：D19（2023全国高三专题练习）有穷数列共有k项，满足，且当，时，则项数k的最大值为_【答案】【分析】分析数列为有穷数列，且，所以项数最大的项，利用累加法可
18、得即可得解.【详解】当时，因为有穷数列，所以当项数最大时，则，将以上各式相加得，即，即，则.故答案为：考点五 根据数列的单调性求参数20（2023全国高三专题练习）若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（）ABCD【答案】B【分析】先根据奇偶数对n讨论，再分离参数a，转化函数最值问题即得解.【详解】（1）当n为偶数时，恒成立，即转化为恒成立，而数列是递增数列，故时，故；（2）当n为奇数时，恒成立，即，转化为恒成立，而数列是递增数列，n为奇数时，故；综上可得a的范围为.故选：B.21（2023全国高三专题练习）已知数列满足，若数列为单调递增数列，则实数的取值范围为_【答案】【分析】若使数列单调
19、递增，则，即，且母函数，所以数列有极限，其值为其不动点(若函数满足，则称是函数的不动点).又在上单调增加，故，所以，下面只需要证明时满足条件即可.【详解】数列单调递增，则当时， .当时， ，而在上单调增加，所以，即，由数学归纳法可得.当时，因为，所以，即又，所以，所以，即故当时， 此时，而在上单调减少，所以，即，与题意矛盾.综上， 的取值范围是故答案为：【点睛】注若递推数列单调有界，则母函数在由和不动点为端点所形成的区间范围内单调增加.22（2023全国高三专题练习）已知实数，通项为的数列是单调递增数列，求的取值范围【答案】【分析】根据分段函数的单调性结合数列的性质求解.【详解】依题意，可得，
20、即，解得23（2023全国高三专题练习）已知数列满足若对，都有成立，则整数的值可能是（）ABC0D1【答案】BC【分析】根据数列以及构造不等式可得对都成立；分别对为奇数和偶数时进行分类讨论即可求得的取值范围并得出结果.【详解】由可得，若对，都有成立，即，整理可得，所以对都成立；当为奇数时，恒成立，所以，即；当为偶数时，恒成立，所以，即；所以的取值范围是，则整数的值可能是.故选：BC24（2023全国高三专题练习）数列满足，数列满足，设，且对任意且，有，则实数p的取值范围为_.【答案】【分析】推导出是中的较小者，是递减数列，是递增数列，是的最大者，时递增，时递减，由此能求出实数p的取值范围【详解
21、】当时，当时，是中的较小者，由，是递减数列，由，是递增数列，是的最大者，时递增，时递减，时， 总成立，当时，成立，时， 总成立，当时， 成立， 或， 若，即，则，故， 若，即，那么，即，故，综上，实数p的取值范围为故答案为：考点六 数列周期性的应用25（2023全国高三专题练习）设数列满足，且，则_【答案】【分析】根据给定的递推公式，求出数列的周期即可计算作答.【详解】，显然，否则，矛盾，则，于是，因此是周期为4的周期数列，所以.故答案为：26（2023全国高三专题练习）数列满足，判断数列的周期性【答案】周期为2【分析】通过递推公式列举出数列的项，进而发现周期，然后再进行证明即可【详解】因为，所以，则猜想该数列的周期为2，下面进行证明：根据题意，于是数列的周期为227（2023青海海东统考模拟预测）若