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1、考点16 利用导数研究函数的单调性6种常见考法归类-【考点通关】备战2024年高考数学一轮题型归纳与解题策略(新高考地区专用)考点16 利用导数研究函数的单调性6种常见考法归类考点一 利用导数求函数的单调区间（不含参）考点二 含参数的函数的单调性（一）导主一次型（二）导主二次型（1）可因式分解型（2）不可因式分解型（三）导主指数型（四）导主对数型考点三 比较大小考点四 解抽象不等式考点五 已知函数的单调性求参数的取值范围（一）在区间上单调递增（减）（二）在区间上单调（三）单调区间是 （四）存在单调区间（五）在区间上不单调（六）由单调区间个数求参数（七）综合应用考点六 函数图象与导数图象的应用（
2、一）由导函数图象确定原函数单调性（二）由导函数图象确定原函数图象（三）由原函数图象或解析式确定导函数图象1. 函数的单调性与导数的关系一般地，函数f(x)的单调性与导函数f(x)的正负之间具有如下的关系：在某个区间(a，b)上，如果f(x)0，那么函数y f(x)在区间(a，b)上单调递增；如果f(x)0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；解不等式f(x)k(k0)，构造函数g(x)f(x)kxb. (2)对于不等式xf(x)f(x)0，构造函数g(x)xf(x)；对于不等式xf(x)f(x)0，构造函数g(x)(x0). (3)对于不等式xf(x)nf(x)0，构造函数g(x)xnf(x)
3、；对于不等式xf(x)nf(x)0，构造函数g(x)(x0). (4)对于不等式f(x)f(x)0，构造函数g(x)exf(x)；对于不等式f(x)f(x)0，构造函数g(x). (5)对于不等式f(x)sinxf(x)cosx0(或f(x)f(x)tanx0)，构造函数g(x)f(x)sinx；对于不等式f(x)cosxf(x)sinx0(或f(x)f(x)tanx0)，构造函数g(x)f(x)cosx. 9. 可导函数f(x)在(a，b)上单调递增(减)的充要条件在某区间内f(x)0(f(x)0(或f(x)g(x)的一般步骤(1)构造函数F(x)f(x)g(x)，xa，b(2)证明F(x)
4、f(x)g(x)0，且F(a)0.(3)依(2)知函数F(x)f(x)g(x)在a，b上是单调递增函数，故f(x)g(x)0，即f(x)g(x)这是因为F(x)为单调递增函数，所以F(x)F(a)0，即f(x)g(x)f(a)g(a)0.考点一 利用导数求函数的单调区间（不含参）1（2023云南校联考二模）函数的单调递增区间为_2【多选】（2023广东高三专题练习）已知，则下列说法正确的是（）A是周期函数B有对称轴C有对称中心D在上单调递增3（2023上海高三专题练习）函数（）A严格增函数B在上是严格增函数，在上是严格减函数C严格减函数D在上是严格减函数，在上是严格增函数4（2023全国高三专
5、题练习）若函数为增函数，则的单调递增区间为_考点二 含参数的函数的单调性（一）导主一次型5（2023春河南郑州高三郑州市第二高级中学校考阶段练习）已知函数(1)讨论函数的单调性；(2)若对任意的，恒成立，求实数的取值范围；6（2023全国高三专题练习）已知函数，.(1)讨论的单调性；(2)对任意的，恒成立，求的取值范围.（二）导主二次型（1）可因式分解型7（2023春山东菏泽高三统考期中）已知函数.(1)讨论的单调性；(2)是否存在正实数，使得函数在区间上的最小值为?若存在，求出的值；若不存在，说明理由.8（2023广西统考模拟预测）已知函数，.(1)讨论的单调区间；(2)若有3个零点，求的取
6、值范围.9（2023春广东佛山高三华南师大附中南海实验高中校考阶段练习）已知函数，（其中）(1)讨论的单调性；(2)对于任意，都有成立，求a的取值范围（2）不可因式分解型10（2023春江西高三校联考期中）已知函数.(1)讨论的单调性；(2)若过点可作曲线的两条切线，求实数的取值范围.11（2023春福建福州高三福建省福州第一中学校考期中）已知函数.(1)讨论函数的单调性；(2)若，求a的取值范围.12（2023湖南长沙长郡中学校考一模）已知函数.(1)讨论函数的单调性;(2)记的零点为，的极小值点为，当时，判断与的大小关系，并说明理由.（三）导主指数型13（2023江苏高三专题练习）已知函数
7、(1)判断在区间上的单调性；(2)若恰有两个不同的零点，且，证明：14（2023春天津南开高三南开中学校考期中）已知函数，讨论其单调区间与极值.15（2023春甘肃金昌高三永昌县第一高级中学校考期中）已知函数，讨论函数的极值.（四）导主对数型16（2023秋河南高三洛阳市第一高级中学校联考阶段练习）已知函数，其中且(1)讨论函数的单调性；(2)若在上恒成立，求实数a的取值范围17（2023全国模拟预测）已知函数.(1)当时，讨论的单调性；(2)当时，证明：存在唯一的极小值点，且.考点三 比较大小18（2023河南校联考三模）现有下列四个不等式：；其中所有正确结论的编号是（）ABCD19（202
8、3浙江高三专题练习）设，则（）ABCD20（2023全国高三专题练习）已知，且，则下列关系式恒成立的为（）ABCD21（2023全国高三专题练习）若，则（）ABCD22（2023福建统考模拟预测）已知，则（）ABCD23（2023河南洛阳统考模拟预测）已知函数，若，则a，b，c的大小关系为（）ABCD24（2023浙江统考二模）已知函数，若，则（）ABCD考点四 解抽象不等式25（2023河南校联考三模）已知函数.若.则的取值范围是_.26（2023全国高三专题练习）已知偶函数与其导函数的定义域均为，且也是偶函数，若，则实数的取值范围是（）ABCD27【多选】（2023辽宁锦州统考二模）已知函
9、数是定义在上的可导函数，当时，若且对任意，不等式成立，则实数的取值可以是（）A-1B0C1D228（2023全国高三专题练习）已知函数及其导函数的定义域均为，满足，当时，则不等式的解集为_29（2023湖北模拟预测）已知函数及其导函数的定义域均为R，且满足时，若不等式在上恒成立，则a的取值范围是_,30（2023全国高三专题练习）已知函数的单调递减区间是，则关于的不等式的解集是_.考点五 已知函数的单调性求参数的取值范围（一）在区间上单调递增（减）31（2023全国高三专题练习）已知函数，则“”是“在上单调递增”的（）A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件32（202
10、3广西玉林统考二模）若函数在上为增函数，则a的取值范围是（）ABCD33（2023河南校联考模拟预测）若函数在上单调递增，则实数m的取值范围为（）ABCD34（2023全国高三专题练习）若函数且在区间内单调递增，则的取值范围是（）ABCD35（2023全国高三专题练习）已知函数在区间上是减函数，则实数的取值范围为（）ABCD36（2023秋河南郑州高三校联考期末）已知，函数在其定义域上单调递减，则实数_.37（2023全国高三专题练习）已知函数在单调递增，在单调递减，则函数在的值域是（）ABCD38（2023全国高三专题练习）已知函数，若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（）ABCD39（2
11、023全国高三专题练习）若对任意的 ，且，都有，则m的最小值是（）AB C1D（二）在区间上单调40（2023全国高三专题练习）已知函数，若f(x)在R上单调，则a的取值范围是（）ABCD41（2023全国高三专题练习）若函数是上的单调函数，则实数的取值范围是（）ABCD42（2023全国高三专题练习）若函数在上是单调函数，则的最大值是_.43（2023全国高三专题练习）已知三次函数在上单调递增，则最小值为（）ABCD（三）单调区间是44（2023全国高三专题练习）已知函数，若的单调递减区间为，求实数的值45（2023全国高三专题练习）已知函数的单调递减区间是，则（）A3BC2D46（2023
12、全国高三专题练习）已知函数的单调递减区间为，则（）.ABCD（四）存在单调区间47（2023全国高三专题练习）若函数在区间内存在单调递增区间，则实数a的取值范围是_48（2023全国高三专题练习）若函数存在单调递减区间，则实数b的取值范围是（）AB CD 49（2023全国高三专题练习）已知函数(1)求证：函数存在单调递减区间，并求出单调递减区间的长度的取值范围；(2)当时，恒成立，求实数的取值范围（五）在区间上不单调50（2023全国高三专题练习）已知函数若在内不单调，则实数a的取值范围是_51（2023全国高三专题练习）若对于任意 ，函数在区间(t,3)上总不为单调函数，则实数m的取值范围
13、是_52（2023全国高三专题练习）已知函数在上不单调，则的取值范围是（）ABCD53（2023全国高三专题练习）已知函数在区间上不是单调函数，则实数的取值范围是（）ABCD54（2023全国高三专题练习）若函数在定义域内的一个子区间上不是单调函数，则实数k的取值范围是（）ABC(1，2D1，2)（六）由单调区间的个数求参数55（2023全国高三专题练习）已知函数恰有三个单调区间，则实数a的取值范围为ABCD56（2023全国高三专题练习）已知函数存在三个单调区间，则实数的取值范围是（）ABCD57（2023全国高三对口高考）设函数恰有三个单调区间，试确定a的取值范围（七）综合应用58（202
14、3甘肃兰州校考一模）已知函数(1)若函数存在单调递减区间，求a的取值范围；(2)若函数在1,4上单调递减，求a的取值范围.59【多选】（2023广东深圳统考一模）已知函数，若，其中，则（）ABCD的取值范围为60（2023全国高三专题练习）设向量，满足，若函数单调递增，则的取值范围为_考点六 函数图象与导数图象的应用（一） 由导函数图象确定原函数单调性61（2023江西统考模拟预测）已知函数的大致图象如图所示，则（）ABCD62（2023全国高三专题练习）如图是函数的导函数的图象，则下列判断正确的是（）A在区间上，是增函数B当时，取到极小值C在区间上，是减函数D在区间上，是增函数63【多选】（
15、2023春河南洛阳高三校联考阶段练习）定义在上的可导函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A是函数的极大值点，是函数的极小值点B是函数的极小值点C函数的单调递增区间是D函数的单调递减区间是64【多选】（2023春重庆巫溪高三校考阶段练习）已知函数与的图象如图所示，则（）A在区间上是单调递增的B在区间上是单调递减的C在区间上是单调递减的D在区间单调递减的（二）由导函数图象确定原函数图象65（2023黑龙江齐齐哈尔统考二模）已知函数的图象如图所示（其中是函数的导函数），下面四个图象中可能是图象的是（）ABCD66（2023春上海浦东新高三上海市进才中学校考阶段练习）函数的图象如图所示，
16、则函数的图象可能是ABCD67（2023全国高三专题练习）函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（）ABCD68（2023全国高三专题练习）已知函数的导函数图像如图所示，则的图像是图四个图像中的（）ABCD69（2023全国高三专题练习）设是函数的导函数，的图像如图所示，则的图像最有可能的是（）ABCD（三）由原函数图象或解析式确定导函数图象70（2023全国高三专题练习）设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则其导函数的图象可能是（）A BCD71（2023春河北石家庄高三石家庄市第二十五中学校考期中）设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则其导函数的图象可能是（） ABCD72（2
17、023陕西西安校联考一模）已知定义在上的函数的大致图像如图所示，是的导函数，则不等式的解集为（）ABCD73（2023全国高三专题练习）在R上可导的函数的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为_考点16 利用导数研究函数的单调性6种常见考法归类考点一 利用导数求函数的单调区间（不含参）考点二 含参数的函数的单调性（一）导主一次型（二）导主二次型（1）可因式分解型（2）不可因式分解型（三）导主指数型（四）导主对数型考点三 比较大小考点四 解抽象不等式考点五 已知函数的单调性求参数的取值范围（一）在区间上单调递增（减）（二）在区间上单调（三）单调区间是 （四）存在单调区间（五）在区间上不单调（六）
18、由单调区间个数求参数（七）综合应用考点六 函数图象与导数图象的应用（一）由导函数图象确定原函数单调性（二）由导函数图象确定原函数图象（三）由原函数图象或解析式确定导函数图象1. 函数的单调性与导数的关系一般地，函数f(x)的单调性与导函数f(x)的正负之间具有如下的关系：在某个区间(a，b)上，如果f(x)0，那么函数y f(x)在区间(a，b)上单调递增；如果f(x)0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；解不等式f(x)k(k0)，构造函数g(x)f(x)kxb. (2)对于不等式xf(x)f(x)0，构造函数g(x)xf(x)；对于不等式xf(x)f(x)0，构造函数g(x)(x0).
19、(3)对于不等式xf(x)nf(x)0，构造函数g(x)xnf(x)；对于不等式xf(x)nf(x)0，构造函数g(x)(x0). (4)对于不等式f(x)f(x)0，构造函数g(x)exf(x)；对于不等式f(x)f(x)0，构造函数g(x). (5)对于不等式f(x)sinxf(x)cosx0(或f(x)f(x)tanx0)，构造函数g(x)f(x)sinx；对于不等式f(x)cosxf(x)sinx0(或f(x)f(x)tanx0)，构造函数g(x)f(x)cosx. 9. 可导函数f(x)在(a，b)上单调递增(减)的充要条件在某区间内f(x)0(f(x)0(或f(x)g(x)的一般步
20、骤(1)构造函数F(x)f(x)g(x)，xa，b(2)证明F(x)f(x)g(x)0，且F(a)0.(3)依(2)知函数F(x)f(x)g(x)在a，b上是单调递增函数，故f(x)g(x)0，即f(x)g(x)这是因为F(x)为单调递增函数，所以F(x)F(a)0，即f(x)g(x)f(a)g(a)0.考点一 利用导数求函数的单调区间（不含参）1（2023云南校联考二模）函数的单调递增区间为_【答案】/【分析】通过二次求导，证明当时，即得解.【详解】由题得函数定义域为，所以在上单调递增，又，所以当时，故的单调递增区间为（或）故答案为：2【多选】（2023广东高三专题练习）已知，则下列说法正确
21、的是（）A是周期函数B有对称轴C有对称中心D在上单调递增【答案】ACD【分析】根据周期函数的定义判断判断A，证明，由此判断C，利用导数判断函数的单调性，判断D，结合单调性和周期的性质作出函数在上的图象，由此判断B.【详解】因为，所以，所以函数为周期函数，A正确；因为所以，所以函数为奇函数，故函数的图象关于原点对称，所以为函数的中心对称，C正确；当时，因为，所以，所以函数在上单调递增，D正确；由可得，当时，由，可得，函数在上单调递增，当，由，可得，函数在上单调递增，又，作出函数在的大致图象可得：结合函数是一个周期为的函数可得函数没有对称轴，B错误.故选：ACD.3（2023上海高三专题练习）函数
22、（）A严格增函数B在上是严格增函数，在上是严格减函数C严格减函数D在上是严格减函数，在上是严格增函数【答案】D【分析】求导后利用导函数的正负判断函数的单调性，并根据严格增减函数的定义即可得到选项.【详解】解：已知，则，令，即，解得，当时，所以在上是严格减函数，当时，所以在上是严格增函数，故选：D.【点睛】导数求函数的单调区间或判断函数的单调性问题时应注意如下几方面：（1）在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域；（2）不能随意将函数的2个独立的单调递增（或递减）区间写成并集形式；（3）利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数
23、形结合思想的应用.4（2023全国高三专题练习）若函数为增函数，则的单调递增区间为_【答案】【分析】由恒成立可得，对求导，根据及基本不等式即可求解.【详解】由题可得恒成立，又，所以对于函数，其定义域为，有，又，当且仅当时取等号，由得，则，故的单调递增区间为.故答案为:.考点二 含参数的函数的单调性（一）导主一次型5（2023春河南郑州高三郑州市第二高级中学校考阶段练习）已知函数(1)讨论函数的单调性；(2)若对任意的，恒成立，求实数的取值范围；【答案】(1)答案见解析(2)【分析】（1）求导可得，分和进行讨论即可得解；（2）根据题意参变分离可得恒成立，令，求出的最大值即可得解.【详解】（1）依
24、题意，当时，显然，所以在上单调递增；当时，令，得；令，；即在上单调递增，在上单调递减（2）由题意得恒成立，等价于恒成立，令，即时成立则，当时，当时，那么在上单调递增，在上单调递增减，所以，所以6（2023全国高三专题练习）已知函数，.(1)讨论的单调性；(2)对任意的，恒成立，求的取值范围.【答案】(1)答案见解析(2)【分析】（1）求导后，分别在和的情况下，根据的正负可确定单调性；（2）采用参变分离的方式可得，将不等式右侧变形后，可令，将问题转化为求解；令，利用导数可证得，进而得到，令，利用导数和零点存在定理可说明等号能够成立，采用放缩法可得，由此可得结果.【详解】（1）由题意知：定义域为，
25、；当时，在上单调递增；当时，令，解得：；当时，；当时，；在上单调递增，在上单调递减；综上所述：当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.（2）由恒成立得：，令，令，则，则当时，；当时，在上单调递减，在上单调递增，即（当且仅当时取等号），（当且仅当时取等号）；令，则恒成立，在上单调递增，又，使得，即，等号可以成立，解得：，即实数的取值范围为.【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数讨论含参数函数单调性、恒成立问题的求解；本题求解恒成立问题的关键是采用参变分离的方式，根据所构造函数为指对混合函数的特征，采用放缩法来对函数进行变形，从而求得最值.（二）导主二次型（1）可因式分解型7（2023春山东菏泽高三统考期中）已知函数.(1)讨论的单调性；(2)是否存在正实数，使得函数在区间上的最小值为?若存在，求出的值；若不存在，说明理由.【答案】(1)答案见解析(2)存在，【分析】（1）由题意可得，按，和分类讨论导函数的正负即可得的单调性；（2）利用（1）中单调性，按和分情况讨论即可求解.【详解】（1）由题意可得，当时，恒成立，所以在上单调递增；当时，令解得或，令解得，所以在