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1、专题14：圆锥曲线综合检测2（解析版）一、单选题1椭圆的一个焦点坐标是（ ）ABCD【答案】C【分析】由判断出焦点位置，再求出即可得出答案.【详解】因为，所以，所以椭圆焦点在x轴上，所以，所以椭圆焦点坐标为，故选：C.【点睛】本题考查椭圆的标准方程、简单几何性质，属于基础题.2已知椭圆C：，则C的长轴长为（ ）ABCD【答案】B【分析】根据椭圆标准方程求得，再根据长轴长为得结果.【详解】所以长轴长为故选：B【点睛】本题考查根据椭圆方程求基本量，考查基本求解能力，属基础题.3设双曲线的渐近线方程为，则的值为（ ）A4B3C2D1【答案】C【分析】先根据双曲线求出渐近线方程，再与比较即可求出的值【
2、详解】由双曲线的几何性质可得，双曲线的渐近线方程为，又因为渐近线方程为，即，故，选C【点睛】本题主要考查双曲线的渐近线方程的求法，属基础题4下列双曲线中，焦点在轴上且渐近线方程为的是ABCD【答案】C【解析】试题分析：焦点在轴上的是C和D，渐近线方程为，故选C考点：1双曲线的标准方程；2双曲线的简单几何性质5设抛物线的焦点为F，过F且斜率为1的直线与抛物线相交于A，B两点，若线段的中点为E，O为坐标原点，且，则（ ）A2B3C6D12【答案】A【分析】利用点差法求解，设，由题意得，相减化简得，得，因为E在直线上，所以，再由，可求得【详解】解：由题意可知，则直线为，设，由题意得，相减得：，因为E
3、为线段的中点，所以，即，因为E在直线上，所以，又因为，所以.故选：A【点睛】此题考查直线与抛物线的位置关系，考查点差法的应用，属于基础题6已知椭圆，则该椭圆的焦距为（ ）ABCD【答案】B【分析】利用椭圆的性质以及即可求解.【详解】由，则，所以，所以，所以该椭圆的焦距为.故选：B【点睛】本题考查了椭圆的简单几何性质，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题.7椭圆的左、右焦点为，过垂直于x轴的直线交C于A，B两点，若为等边三角形，则椭圆C的离心率为（ ）ABCD【答案】D【分析】利用椭圆方程，求出焦点坐标，通过三角形是等边三角形求解椭圆的离心率即可.【详解】椭圆的左、右焦点为，过垂直于x轴的直线交
4、C于A，B两点，若为等边三角形，可得，所以：，即，解得，故选：D.【点睛】本题主要考查椭圆的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，属于基础题.8已知双曲线的左、右焦点分别为、，过作垂直于实轴的弦，若，则的离心率为（ ）ABCD【答案】C【分析】首先根据已知条件建立等量关系，进一步利用通径和焦距间的等量求出双曲线的离心率【详解】解：双曲线的左右焦点分别为、，过作垂直于实轴的弦，若，则：为等腰直角三角形由于通径，则：，解得：，所以：，解得：；由于e1，所以：，故选：C【点睛】本题考查通径在求离心率中的应用，等腰直角三角形的性质的应用属于基础题型9双曲线：（，）的焦距为4，且其渐近线与圆：相切，
5、则双曲线的方程为（ ）ABCD【答案】D【分析】利用双曲线的焦距以及双曲线的渐近线与圆相切，推出、的方程组，求解，即可得到双曲线方程【详解】双曲线的焦距为4，所以；双曲线的两条渐近线与圆相切，可得，又，可得，双曲线的方程为：故选：D【点睛】本题考查了双曲线渐近线，双曲线的简单性质的应用，直线与圆的位置关系的应用，属于基础题10斜率存在的直线点且与双曲线：有且只有一个公共点，则直线斜率为（ ）ABC2或D或【答案】D【分析】设直线方程，联立方程，令方程只有一个解或两个相等的实数根即可得解.【详解】由题意，设直线的方程为，代入双曲线方程化简可得，当即时，只有一解，满足直线与双曲线有且只有一个公共点
6、；当时，令，解得，此时方程有两个相等实数根，满足直线与双曲线有且只有一个公共点；所以或.故选：D.【点睛】本题考查了直线与双曲线位置关系的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.11已知双曲线的方程，则该双曲线的焦点到渐近线的距离为（ ）ABC3D5【答案】B【分析】根据双曲线的方程求得右焦点的坐标和渐近线方程，结合点到直线的距离公式，即可求解.【详解】由题意知，双曲线的右焦点为，双曲线的渐近线方程为，不妨取，所以点到渐近线的距离，故选：B.【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及简单的几何性质，以及点到直线的距离公式的应用，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.12已知抛物线的焦点为，过点的直
7、线与抛物线交于两点，且，则为坐标原点的面积等于（ ）ABCD【答案】D【分析】设，直线的方程为，直线方程代入抛物线方程整理后应用韦达定理得，由得，从而可求得，再由面积公式得结论【详解】设，直线的方程为，将代入，消去可得，所以，因为，所以，所以，则，所以，所以，又，所以的面积故选：D【点睛】方法点睛：本题考查直线与抛物线相交问题，解题方法是应用韦达定理即设，直线的方程为，直线方程代入抛物线方程后整理，应用韦达定理得，再结合已知求出，然后求出三角形面积二、填空题13如果椭圆上一点P到左焦点的距离为6，那么点P到右焦点的距离是_.【答案】14【分析】根据椭圆的定义即可求出.【详解】设椭圆的左右焦点为
8、，由题可得，,由椭圆的定义，即.故答案为：14.14在平面直角坐标系中，若双曲线：的一条准线与抛物线：的准线重合，则正数的值是_.【答案】3【分析】由已知可得双曲线的准线方程及其抛物线的准线方程，即可得出正数【详解】抛物线：的准线方程为，双曲线：的一条准线方程为，根据题意得，解得.故答案为：3【点睛】本题考查了双曲线与抛物线的标准方程及其准线方程，属于基础题15已知抛物线C : y2=2px(p0)，直线l ：y = 2x+ b经过抛物线C的焦点，且与C相交于A、B 两点若|AB| = 5，则p = _【答案】2【分析】法1：首先利用直线过焦点，得，再利用直线与抛物线方程联立，利用根与系数的关
9、系表示，计算求得；法2：由已知，求得的值，再利用弦长公式，求的值.【详解】法1：由题意知，直线，即直线经过抛物线的焦点，即直线的方程为设、，联立，消去整理可得，由韦达定理得，又，则.法2：设直线的切斜角为，则，得，得.故答案为：2【点睛】结论点睛：当直线过抛物线的焦点时，与抛物线交于两点，称为焦点弦长，有如下的性质：直线与抛物线交于，；为定值；弦长 （为直线的倾斜角）；以为直径的圆与准线相切；焦点对在准线上射影的张角为.16已知经过点的直线与抛物线相交于，两点，点，且，则的面积为_.【答案】【分析】设直线，联立，由，利用韦达定理求得，然后再求得点到的距离及弦长求解.【详解】设直线，设点，联立，
10、得，则，则，.由题意知，所以，展开并代入化简得，所以，所以的方程为，点到的距离为，所以.故答案为：【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系研究三角形面积问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.三、解答题17已知抛物线的准线方程为.（）求的值；（）直线交抛物线于、两点，求弦长.【答案】（）2；（）8.【解析】【分析】（）依已知得，所以；（）设，由消去，得,再利用韦达定理求弦长.【详解】（）依已知得，所以；（）设，由消去，得，则，所以 .【点睛】本题主要考查抛物线的简单几何性质和弦长的计算，意在考查学生对这些知识的理解能力掌握水平及其应用能力.18在平面直角坐标系xOy中，双曲线：经过点，其中
11、一条近线的方程为，椭圆：与双曲线有相同的焦点椭圆的左焦点，左顶点和上顶点分别为F，A，B，且点F到直线AB的距离为求双曲线的方程；求椭圆的方程【答案】（1）（2）【解析】【分析】由双曲线经过点，可得m；再由渐近线方程可得m，n的方程，求得n，即可得到所求双曲线的方程；由椭圆的a，b，c的关系式，求得F，A，B的坐标，可得直线AB的方程，由点到直线的距离公式，可得a，b的关系式，解方程可得a，b，进而得到所求椭圆方程【详解】解：双曲线：经过点，可得，其中一条近线的方程为，可得，解得，即有双曲线的方程为；椭圆：与双曲线有相同的焦点，可得，椭圆的左焦点，左顶点和上顶点分别为，由点F到直线AB：的距离
12、为，可得，化为，由解得，则椭圆的方程为【点睛】本题考查椭圆和双曲线的方程的求法，注意运用方程思想，考查运算能力，属于基础题19己知椭圆的一个顶点坐标为，离心率为，直线交椭圆于不同的两点（）求椭圆的方程；（）设点，当的面积为时，求实数的值【答案】（）：y21；（）m【分析】（）根据顶点坐标、离心率和的关系可求得，从而得到椭圆方程；（）直线方程与椭圆方程联立，根据有两个交点可得，求得范围；联立后写出韦达定理的形式，代入弦长公式求得，利用点到直线距离公式求得点到直线的距离，从而利用构造方程解得，验证符合的即为结果.【详解】（）由题意知：，则 椭圆的方程为：（）设， 联立得：，解得：，又点到直线的距离
13、为：，解得：【点睛】本题考查直线与椭圆的综合应用问题，涉及到椭圆标准方程的求解、韦达定理、弦长公式、点到直线距离公式的应用，需要注意的是联立后要利用判别式大于零确定参数的取值范围.20已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A（2，3），且点F（2.0）为其右焦点（）求椭圆C的方程；（）是否存在平行于OA的直线L，使得直线L与椭圆C有公共点，且直线OA与L的距离等于4？若存在，求出直线L的方程；若不存在，说明理由【答案】（I）（II）不存在【详解】试题分析：（1）先设出椭圆C的标准方程，进而根据焦点和椭圆的定义求得c和a，进而求得b，则椭圆的方程可得（2）先假设直线存在，设出直线方程与椭圆方程联立消
14、去y，进而根据判别式大于0求得t的范围，进而根据直线OA与l的距离求得t，最后验证t不符合题意，则结论可得试题解析：（1）依题意，可设椭圆C的方程为，且可知左焦点为 F（-2，0），从而有解得又所以故椭圆C的方程为（2）假设存在符合题意的直线，其方程为由得，因为直线与椭圆有公共点，所以有解得，另一方面，由直线OA与的距离，从而，由于，所以符合题意的直线不存在考点：1椭圆的标准方程；2直线与圆锥曲线的综合问题21已知直线l：过抛物线E：的焦点，且与E交于A，B两点.（1）求抛物线E的方程；（2）以为直径的圆与x轴交于C，D两点，若，求k的取值范围.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由抛物线的
15、方程可得焦点在轴上，再由直线过抛物线的焦点可得焦点坐标，进而求出抛物线的方程；（2）直线方程与抛物线的方程联立可得两根之和，进而可得以为直径的圆的圆心的坐标及半径的表示，由题意求出弦长的值，再由的范围可得的范围【详解】（1）由抛物线的方程可得焦点在轴上，再由直线过抛物线的焦点，令，所以，可得焦点坐标为，所以抛物线的方程为：；（2）设，联立直线与抛物线的方程，整理可得：，可得，因为过抛物线的焦点，所以以为直径的圆的圆心为，半径为，所以，解得，即或，所以的取值范围为：【点睛】本题考查求抛物线的方程及直线与抛物线的综合，属于中档题求圆的弦长有两种方法：一是利用弦长公式，结合韦达定理求解；二是利用半弦
16、长，弦心距，圆半径构成直角三角形，利用勾股定理求解.22已知椭圆，抛物线，的焦点与的一个焦点重合，且、有一个交点.（1）求、的标准方程；（2）若直线过点且交于、两点，交于、两点，求的取值范围.【答案】（1）；（2）【分析】（1）把的坐标代入，可求出，即可得到的标准方程，进而可求出椭圆的焦点坐标，由椭圆的定义知，可求出，进而可求出，即可得到的标准方程；（2）易知直线的斜率不为0，设，与抛物线方程联立，得到关于的一元二次方程，进而可求出弦长，同理可求出弦长，从而可得到的表达式，求出取值范围即可.【详解】（1）把代入，可得，故的标准方程为，焦点.故椭圆的两焦点为，由椭圆的定义知，所以，则，故的标准方程为.（2）易知直线的斜率不为0，设，联立，可得，则，所以.联立，可得，则，则.则，令，则.构造函数，求导得，由，可得，所以，即在上单调递增，且，所以，则.故的取值范围是.【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆、抛物线方程，考查弦长公式的应用.解题关键是求出的表达式，本题中联立直线与曲线方程，整理后应用韦达定理求出两根之和、两根之积，然后利用弦长公式求出，由的表达式求出取值范围.考查学生的运算求解能力，逻辑推理能力，属于中档题.19原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！