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1、专题15：圆锥曲线综合检测3（解析版）一、单选题1已知双曲线：（，）的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（ ）ABCD【答案】D【解析】，则，所以，即，所以，故选D2抛物线的焦点坐标是（ ）ABCD【答案】D【解析】把抛物线化为， ，的焦点坐标是.选D.3双曲线的实轴长是（ ）A2B3C4D6【答案】D【分析】由标准方程可求，从而可得实轴的长.【详解】因为双曲线的标准方程为，故，故实轴长为6.故选：D.【点睛】本题考查双曲线的几何量的计算，注意把圆锥曲线的方程化为标准型，本题属于容易题.4已知双曲线y21(a0)的右焦点与抛物线y28x的焦点重合，则此双曲线的渐近线方程是( )AyxByxCyx
2、Dyx【答案】D【分析】先求出抛物线y28x的焦点坐标，由此得到双曲线 的一个焦点，从而求出a的值，进而得到该双曲线的渐近线方程【详解】抛物线y28x的焦点是（2，0），c2，a2413，故选：D5已知双曲线的离心率是2，则双曲线的渐近线方程为（ ）ABCD【答案】B【分析】由结合解出的值即可得到答案.【详解】因为，所以，又所以，即，从而渐近线方程为.故选：B.【点睛】本题考查双曲线的离心率及渐近线方程的计算，解题的关键在于推出间的比例关系，属于基础题.6已知双曲线的方程为，双曲线右焦点F到双曲线渐近线的距离为（ ）A1BCD2【答案】C【分析】根据双曲线的方程求得右焦点的坐标和渐近线方程，结
3、合点到直线的距离公式，即可求解.【详解】由题意知，双曲线的右焦点为，双曲线的渐近线方程为，即，所以点到渐近线的距离，故选：C.【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及简单的几何性质，以及点到直线的距离公式的应用，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.7双曲线的渐近线方程为（ ）ABCD【答案】B【分析】先判断双曲线的焦点位置，然后得到渐近线方程的一般形式，再根据的值直接写出渐近线方程【详解】因为双曲线的焦点在轴上，所以双曲线的渐近线方程为，又因为，所以渐近线方程为.故选：B【点睛】本题考查双曲线渐近线方程的求解，考查学生计算能力，属于基础题8已知椭圆的离心率与双曲线的离心率互为倒数关系，则（
4、）ABC4D6【答案】B【分析】求出椭圆的离心率，进而可得出双曲线的离心率，根据双曲线的离心率公式可得出关于的等式，即可解得正数的值.【详解】由椭圆的离心率与双曲线的离心率互为倒数关系，又因为椭圆的离心率为，所以双曲线的离心率为，解得.故选：B.【点睛】本题考查根据双曲线的离心率求参数，同时也考查了椭圆离心率的计算，考查计算能力，属于较易题.9椭圆上有一点，它到右准线的距离是，则点到右焦点的距离是（ ）ABCD【答案】A【分析】根据椭圆方程，先求出椭圆离心率，结合题中条件，由椭圆的第二定义，即可得出结果.【详解】由得，则，所以椭圆离心率为，记点到右焦点的距离是，又点到右准线的距离是，根据椭圆的
5、第二定义可得，即.故选：A.【点睛】本题主要考查椭圆第二定义的应用，考查求椭圆上的点到焦点的距离，属于基础题型.10若直线ykx2与抛物线y28x交于A，B两个不同的点，且AB的中点的横坐标为2，则k（ ）A2B1C2或1D1【答案】A【解析】试题分析：假设，因是直线与抛物线的焦点，所以，坐标必满足方程组，消去得，为其两根，则，又的中点横坐标为，即，可解得，当时，方程为，由两个相等的实数根，即，为同一点，与题干中条件矛盾，所以舍去，故本题的正确选项为A考点：直线与抛物线的位置关系，中点公式【易错点睛】在解答本题时，由中点坐标公式容易得的值为或者，因忽略条件，为两个不同点，而错误的选择C，题中，
6、为两个不同点，则其横、纵坐标都不是对应相等，便可利用一元二次方程的判别式就能够排除错误的答案11若椭圆2a2x2-ay2=2的一个焦点是(-2，0)，则a=（ ）ABCD【答案】C【分析】方程化为椭圆的标准方程，根据焦点求解即可.【详解】由原方程可得，因为椭圆焦点是(-2，0)，所以，解得，因为，即，所以，故选：C12已知椭圆，双曲线为的焦点，为和的交点，若的内切圆的圆心的横坐标为2，和的离心率之积为，则的值为（ ）A2B3C4D5【答案】C【分析】设点在第一象限内，的内切圆与边的切点分别为，双曲线的焦距为，可得，结合双曲线的定义，可得，即可求出，由和的离心率之积为，分别求出两个曲线的离心率的
7、表达式，可建立等式关系，进而可求出的值.【详解】不妨设点在第一象限内，的内切圆与边的切点分别为，双曲线的焦距为.则，因为点在双曲线上，所以，则，又因为和的离心率之积为，而椭圆的离心率，双曲线的离心率为，所以，解得.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆、双曲线的性质，解题的关键是根据和的离心率之积为，建立等式关系.本题中根据的内切圆的圆心的横坐标，可建立等式关系，得到4，可求出的值，再分别表示出和的离心率，由两个离心率之积为，可求出的值.考查学生的逻辑推理能力，计算求解能力，属于中档题.二、填空题13已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则该双曲线的离心率为_.【答案】【分析】先求出渐近线的方
8、程，再根据渐近线与已知直线垂直可求的关系，从而可求离心率.【详解】双曲线的渐近线方程为，因为其中一条与直线垂直，故，即，故即.【点睛】本题考查双曲线的离心率的计算，此类问题只要找到一组关系式即可，本题属于容易题.14在平面直角坐标系中，已知，动点满足，且，则动点形成的轨迹长度为_.【答案】【分析】设，根据题中条件，得到，求出，得到点的轨迹为；分，四种情况，得到对应的轨迹，求出轨迹长度，即可得出结果.【详解】设，则，又，所以；由得，所以，又，所以，即点的轨迹为.当时，； 即点轨迹为图中线段；当时，；即点轨迹为图中线段；当时，；即点轨迹为图中线段； 当时，；即点轨迹为图中线段；由得，则； 由得，则
9、又，则，因此动点形成的轨迹长度为.故答案为：.【点睛】本题主要考查求点的轨迹的长度，涉及二元一次不等式所表示的平面区域，以及平面向量的坐标表示，根据数形结合的方法求解即可，属于常考题型.15设、是抛物线上不同的两点，线段的垂直平分线为，若，则_.【答案】【分析】根据线段的垂直平分线方程可得出直线的斜率，由此利用点差法可得出关于的等式，进而可求得实数的值.【详解】由题知，两式相减得，所以，由题知，所以，所以.故答案为：.【点睛】本题考查抛物线方程中参数的求解，涉及点差法的应用，考查计算能力，属于基础题.16阿波罗尼斯（古希腊数学家，约公元前262-190年）的著作圆锥曲线论是古代世界光辉的科学成
10、果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k（且）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆现有，则当的面积最大时，它的内切圆的半径为_.【答案】【分析】，,即根据阿波罗尼斯圆可得：点B的轨迹为圆, 以线段AC中点为原点，AC所在直线为x轴建立直角坐标系,求出B的轨迹方程，当面积最大时，边上的高为圆的半径4,进而求得的面积，根据内切圆的性质，计算可得半径，进而得出结论【详解】，为非零常数，故点B的轨迹是圆.以线段中点为原点，所在直线为x轴建立直角坐标系，则，设，整理得，因此，当面积最大时，边上的高为圆的半径4.此时，设内切圆的半径为r
11、，则，解得.故答案为：【点睛】本题考查了阿波罗尼斯圆的应用、正弦定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题三、解答题17已知与抛物线交于A、B两点，（1）若|AB|=10, 求实数的值（2）若, 求实数的值【答案】(1)；(2) m= -8 【解析】试题分析：由，得，设，则(1)所以，所以6分(2)因为，所以，即，所以m= -8 6分考点：直线与抛物线的综合应用；弦长公式点评：本题考查弦长的运算，解题时要注意椭圆性质的灵活运用和弦长公式的合理运用在求直线与圆锥曲线相交的弦长时一般采用韦达定理设而不求的方法，在求解过程中一般采取步骤为：设点联立方程消元韦达定理弦长公式18已知
12、椭圆的离心率为，其左、右焦点为F1、F2，点P是坐标平面内一点，且其中O为坐标原点（I） 求椭圆C的方程；（II） 如图，过点S（0，-)，且斜率为k的动直线l交椭圆于A、B两点，在y轴上是否存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）（2）在y轴上存在定点M，使得以AB为直径的圆恒过这个点，点M的坐标为（0，1）【解析】（1）利用；（2）直线方程与椭圆方程，联立方程组并借助于韦达定理，求点的坐标.解:(1)设，, 1分又,，即 2分代入得：. 又故所求椭圆方程为4分(2)设直线，代入，有.设，则. 6分若轴上存在定点满足题设，则，9分由
13、题意知，对任意实数都有恒成立， 10分即对成立.解得， 11分在轴上存在定点,使以为直径的圆恒过这个定点. 12分19已知直线l经过抛物线的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点.（1）若，求点A的坐标；（2）若直线l的倾斜角为，求线段AB的长.【答案】(1) 点A的坐标为或. (2) 线段AB的长是8【解析】解：由，得，其准线方程为，焦点. （2分）设，.（1）由抛物线的定义可知，从而.代入，解得. 点A的坐标为或. （6分）（2）直线l的方程为，即.与抛物线方程联立，得， （9分）消y，整理得，其两根为，且.由抛物线的定义可知，.所以，线段AB的长是8. （14分）20已知中心在原点，焦点在坐
14、标轴上的椭圆，它的离心率为，一个焦点和抛物线的焦点重合,过直线上一点M引椭圆的两条切线，切点分别是A,B（）求椭圆的方程；（）若在椭圆上的点处的椭圆的切线方程是. 求证:直线恒过定点；并出求定点的坐标.（）是否存在实数，使得恒成立？(点为直线恒过的定点)若存在，求出的值；若不存在，请说明理由【答案】（I）；（II）直线AB恒过定点（III）存在实数，使得【解析】试题分析：（I）设椭圆方程为抛物线的焦点是，故，又，所以，所以所求的椭圆方程为3分（II）设切点坐标为,直线上一点M的坐标则切线方程分别为，又两切线均过点M，即，即点A,B的坐标都适合方程，而两点之间确定唯一的一条直线，故直线AB的方程
15、是，显然对任意实数t，点（1,0）都适合这个方程，故直线AB恒过定点 6分（III）将直线AB的方程，代入椭圆方程，得，即所以.8分不妨设，同理10分所以即故存在实数，使得 12分考点：椭圆性质与方程，直线与椭圆相交的弦长点评：直线与椭圆相交问题要充分利用韦达定理使其简化解题过程，圆锥曲线题目一直是学生得分较低的类型21如图，已知直线OP1，OP2为双曲线E:的渐近线，P1OP2的面积为，在双曲线E上存在点P为线段P1P2的一个三等分点，且双曲线E的离心率为.（1）若P1、P2点的横坐标分别为x1、x2，则x1、x2之间满足怎样的关系？并证明你的结论；（2）求双曲线E的方程；（3）设双曲线E上
16、的动点,两焦点,若为钝角,求点横坐标的取值范围.【答案】（1）x1x2;（2）1;（3），2)(2，)【解析】（1）利用双曲线的性质与三角形的面积公式求解.（2）利用定必分点公式求解.（3）利用向量的数量积求解.试题分析：（1）设双曲线方程为1，由已知得，渐近线方程为， 2分则，设渐近线的倾斜角为，则，. 5分（2）不妨设分所成的比为，则,， 7分，1 即为双曲线的方程. 9分（3）由（2）知， 设，则y， 11分若为钝角，则，|x0|， 又，的范围为. 13分考点：考查双曲线的性质，三角形的面积，同角三角函数间的关系，定比分点公式，向量的数量积.考查分析能力、等价转化能力、计算能力.点评：
17、解析几何问题一般涉及知识点较多，弄清概念，找到各个概念之间的联系是关键，分析与计算是考查的重点一定要慎重对待.22已知椭圆的左右顶点分别为，上下顶点分别为，且，离心率.（1）求椭圆方程；（2）点是圆上一点，射线与椭圆交于点，直线，的斜率分别为，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由可得，由，结合可得答案.（2）由题意，直线(即)的方程为，则圆心距直线的距离不大于半径.可得的范围，从而可得答案.【详解】（1）在椭圆中，又且解得，椭圆方程为：，（2）设，由题意可知互，且点在第一象限，于是，故将代入可得直线(即)的方程为，则圆心距直线的距离不大于半径.即，即解得故的取值范围是.【点睛】本题考查根据椭圆的几何性质求方程，考查直线与圆的位置求斜率的范围，属于中档题.19原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！