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1、专题13：圆锥曲线综合检测1（解析版）一、单选题1已知椭圆的长轴在y轴上若焦距为4，则m等于（ ）A8B7C5D4【答案】A【分析】由长轴在y轴上求得，再由焦距为4，列方程可求出m的值【详解】由题得，于是因为焦距为4，所以，得故选：A【点睛】此题考查椭圆的标准方程的应用，属于基础题2若抛物线上的点M到焦点的距离为10，则M点到y轴的距离是（ ）A6B8C9D10【答案】C【分析】求出抛物线的准线方程，利用抛物线的定义转化求解即可【详解】抛物线的焦点，准线为，由M到焦点的距离为10，可知M到准线的距离也为10，故到M到的距离是9，故选C【点睛】本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力3已知直
2、线在轴上的截距为2，且与双曲线的渐近线平行，则直线的方程是（ ）AB或C或D【答案】B【分析】根据直线与直线平行关系，并结合直线的截距式，可得结果.【详解】双曲线的渐近线的斜率为，因为所求直线与双曲线的渐近线平行故直线的方程是.故选B.【点睛】本题考查直线方程的求法，以及直线与直线的位置关系，属基础题.4已知双曲线的左右焦点分别为，若直线与双曲线的一个交点的横坐标恰好为，则双曲线的离心率为（ ）ABCD【答案】C【分析】由题意可知在双曲线上，代入双曲线方程可得，即可求解.【详解】根据题意可知在双曲线上，所以，即，所以，整理可得，（），解得或，即.故选：C【点睛】本题考查了双曲线的简单几何性质，
3、考查了基本运算求解能力，属于基础题.5已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于AB3C5D【答案】A【解析】抛物线焦点为,故,双曲线焦点到渐近线的距离等于,故距离为,所以选.6已知点P是双曲线C：x21的一条渐近线ykx（k0）上一点，F是双曲线C的右焦点，若OPF的面积为5，则点P的横坐标为（）ABCD【答案】A【分析】根据条件得到渐近线方程为：y2x，再由面积为5得到yP2，再带回渐近线方程即可得到横坐标.【详解】由双曲线方程可得a1，b2，则c，则渐近线方程为：y2x，F（，0），又Sc|yP|5，则yP2，当y2时，x，当y2时，x，故点P的横坐标为，
4、故选：A【点睛】本题主要考查了双曲线渐近线方程的应用，求出的纵坐标是解题的关键，属于基础题.7若双曲线的离心率为2，则其渐近线方程为（ ）ABCD【答案】B【分析】把双曲线方程化为标准方程，由离心率求得，然后可得渐近线方程【详解】双曲线标准方程为，由题意，解得，双曲线标准方程是，渐近线方程为故选：B8抛物线的准线方程为（ ）ABCD【答案】C【分析】化为抛物线的标准方程，直接写出准线方程.【详解】因为抛物线，所以，所以准线方程为，故选：C9与直线平行的抛物线的切线方程为（ ）ABCD【答案】D【分析】根据切线与直线的平行，可利用待定系数法设出切线，然后与抛物线联立方程组，使方程只有一解即可【详
5、解】因为切线与直线的平行，所以可设切线方程为联立方程组得由解得，切线方程为，故选：10已知F是椭圆的左焦点，P是此椭圆上的动点，是一定点，则的最小值为（ ）ABCD【答案】C【分析】由题意知，进而根据椭圆的第二定义可得：过 A作右准线的垂线，交与B点，可知最小值为.【详解】由椭圆可得：，根据椭圆的第二定义：过A作左准线的垂线，交与B点，如图，则的最小值为，的最小值为 ,故选：C11已知椭圆x2+4y2=12的左、右焦点分别为F1F2，点P在椭圆上，线段PF1的中点在y轴上，则PF1是PF2的（ ）A3倍B4倍C5倍D7倍【答案】D【分析】由已知得到焦点坐标，设，根据中点坐标公式得到横坐标等于零
6、得到P点坐标，再利用两点间的距离公式可得答案.【详解】由椭圆x2+4y2=12得， ，所以，设，则线段的中点坐标为，因为线段PF1的中点在y轴上，所以，所以，所以，解得，当，所以，当，所以，故选：D.12设、分别是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，线段的中点在轴上，若，则椭圆的离心率为（ ）ABCD【答案】A【分析】本题首先可根据线段的中点在轴上得出轴，然后根据得出，再然后根据得出，最后根据以及即可得出结果.【详解】设点坐标为，因为线段的中点在轴上，所以，点与横坐标相等，轴，因为，所以，因为，所以，则，化简得，故，故选：A.【点睛】本题考查椭圆离心率的求法，考查中点性质的应用，能否根据题意得出轴是
7、解决本题的关键，考查椭圆定义的应用，椭圆上的点到两个焦点的距离之和为，考查计算能力，是中档题.二、填空题13若椭圆的焦距是，则_【答案】5【分析】由椭圆的定义可知，故焦点在轴上，即可得答案；【详解】由椭圆的定义可知，又，故焦点在轴上，故答案为：.14设为抛物线：的焦点，过且倾斜角为的直线交于，两点，为坐标原点，则的面积为_【答案】【分析】先由抛物线方程，得到，得出直线的方程，由抛物线的焦点弦公式求出弦长，再由点到直线距离公式，即可得出结果.【详解】因为为抛物线：的焦点，所以，又直线过点且倾斜角为，则直线的方程为：，即，设，由消去可得，整理得，所以，因此又点到直线的距离为，所以的面积为.故答案为
8、：.【点睛】思路点睛：求抛物线中三角形面积的一般步骤：（1）设直线与抛物线交点坐标，联立直线与抛物线方程；（2）根据抛物线的弦长公式求弦长，根据点到直线距离公式求距离；（3）根据三角形面积公式，即可得出结果.15设F为抛物线的焦点，经过点的直线与抛物线交于A，B两点，且，则 _【答案】【分析】根据题意，直线设为，然后，联立方程，利用韦达定理求出，进而求出，再利用抛物线的性质求解即可【详解】由题意知，经过点的直线要满足，所以，该直线的斜率必存在，且该直线必不平行于轴，设为，且，抛物线的焦点为，设，联立方程得，消去，可得，又由，可得，由抛物线方程得，故答案为：【点睛】关键点睛：本题的解题关键就在于
9、联立方程求出，以及利用，求出，本题难度属于中档题16已知为双曲线的左、右顶点，过点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线的另一条渐近线于点，若点在以线段为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是_.【答案】【分析】由题意结合双曲线的性质可设过点与双曲线的一条渐过线平行的直线方程为，联立方程可得，再由，可得到，由即可得到答案.【详解】双曲线的渐近线方程为，不妨设过点与双曲线的一条渐过线平行的直线方程为，联立，解得交点，点在以线段为直径的圆外，即有，即，.双曲线离心率的取值范围是故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题考查求双曲线的离心率，解题的关键是求出关于的不等式.本题中先求出点的坐标，利用点在以线
10、段为直径的圆外，推出，进而得到关于的不等式.考查学生的逻辑推理能力，计算求解能力，属于中档题.三、解答题17在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于不同的两点.（1）如果直线的方程为，求弦的长；（2）如果直线过抛物线的焦点，求的值.【答案】（1）8（2）-3【分析】（1）直线与抛物线联立，由两点间距离公式结合韦达定理求解即可；（2）设直线方程为：，与抛物线联立，由，结合韦达定理代入求解即可.【详解】设，.（1）联立得：.由韦达定理得：，. .（2）由直线过抛物线焦点且与抛物线有两个不同交点，故可设方程为：，联立得：，由韦达定理：，.【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，考查了设而不求的思
11、想，属于基础题.18在平面直角坐标系中，已知，动点满足记的轨迹为.（1）求的方程：（2）设直线与相交于、两点，且的中点，求为坐标原点）.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由题意可得的轨迹的方程；（2）由题意可得直线与直线垂直可得直线的方程，求出圆心到直线的距离，及到直线的距离，代入面积公式可得面积的值.【详解】解：（1）因为，由题意可得，两边平方整理可得：，所以的方程为：；（2）由题意可得直线，则，设直线的方程为，即直线的方程为，圆心到直线的距离，所以到直线的距离，弦长，所以.【点睛】关键点睛：利用点到直线距离和两点间距离公式和面积公式求解，主要考查学生的运算能力19已知双曲线的一个焦点与
12、抛物线的焦点相同，且经过点（）求双曲线C的标准方程和其渐近线方程；（）设直线l经过点，且斜率为k求直线l与双曲线C有两个公共点时k的取值范围【答案】（）；（），且.【分析】（）根据双曲线的定义可求出，然后可得到答案；（）联立直线与双曲线的方程消元，然后利用二次系数不等于0和可算出答案.【详解】（）由已知，双曲线的焦点为和根据定义有：故，从而所求双曲线C的方程为其渐近线方程为：.（）由得：当，即时，若，即时，直线与双曲线相交，有两个公共点；所以，当，且时，直线与双曲线有两个公共点【点睛】本题考查的是双曲线标准方程的求法和直线与双曲线的位置关系，属于基础题.20设椭圆C：过点（0，4），离心率为.
13、（1）求C的方程；（2）求过点（3，0）且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用待定系数法求出=4，再根据，代入即可求解.（2）直线方程为，将直线方程与椭圆方程联立消，利用韦达定理即可求解.【详解】（1）将（0，4）代入C的方程得，=4，又 得，即，A=5，C的方程为（2）过点且斜率为的直线方程为，设直线与C的交点为A，B，将直线方程代入C的方程，得，即， AB的中点坐标，即中点为【点睛】本题考查了待定系数法求椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系，考查了计算求解能力，属于基础题.21如图所示椭圆的左、右顶点分别为，上、下顶点分别为，右焦点为，离心率.（1）
14、求椭圆的方程；（2）过点作斜率为的直线与椭圆交于点，（点在第一象限），直线与直线交于点，求点的坐标.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根据及可求的值，从而可得椭圆的方程.（2）联立直线方程和椭圆方程可求的坐标，再求得直线的方程后可得点的坐标.【详解】解：（1）由及，可知，所以，所以椭圆的方程为.（2）依题可设过点且斜率为的直线，联立方程组，解得，则，所以，由（1）知，.所以直线，直线，由，解得，所以点的坐标为.【点睛】本题考查椭圆方程的求法、直线与椭圆的相交时交点坐标的求法、直线与直线的交点的求法，后两者均需联立曲线的方程，消元后求解即可，本题属于中档题.22已知椭圆：的离心率为，且经过点
15、，（1）求椭圆的标准方程；（2）过点作直线与椭圆相较于，两点，试问在轴上是否存在定点，使得两条不同直线，恰好关于轴对称，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由【答案】（1）；（2）存在，使得两条不同直线，恰好关于轴对称.【分析】（1）将点坐标代入方程，结合离心率公式及，即可求出，进而可求得椭圆的标准方程；（2）设直线l的方程为，与椭圆联立，可得，的表达式，根据题意可得，直线，的斜率互为相反数，列出斜率表达式，计算化简，即可求出Q点坐标.【详解】（1）有题意可得，解得，所以椭圆的方程为.（2）存在定点，满足直线，恰好关于x轴对称，设直线l的方程为，由，联立得，设，定点，由题意得，所以，因为直线，恰好关于x轴对称，所以直线，的斜率互为相反数，所以，即，所以，即，所以，即，所以当时，直线，恰好关于x轴对称，即.综上，在轴上存在定点，使直线，恰好关于x轴对称.【点睛】本题考查椭圆的方程及几何性质，考查直线与椭圆的位置关系问题，解题的关键是将条件：直线，恰好关于x轴对称，转化为直线，的斜率互为相反数，再根据韦达定理及斜率公式，进行求解，考查分析理解，计算求值的能力，属中档题.19原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！