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1、专题21导数的应用综合检测题（解析版）一、单选题1函数在区间上的最小值是（）A-9B-16C-12D9【答案】B【解析】【分析】利用导数求得函数在上的单调区间、极值，比较区间端点的函数值和极值，由此求得最小值.【详解】，故函数在区间上为增函数，在区间上为减函数.，故最小值为.所以选B.【点睛】本小题主要考查利用导数求函数的最小值.首先利用函数的导数求得函数的单调区间，利用单调区间得到函数的极值点，然后计算函数在区间端点的函数值，以及函数在极值点的函数值，比较这几个函数值，其中最大的就是最大值，最小的就是最小值.本小题属于基础题.2函数yx2(x3)的单调递减区间是()A(，0) B(2，)C(
2、0，2) D(2，2)【答案】C【解析】【分析】根据导函数与函数单调性的关系，令y0，解出x的范围即可【详解】y=x2（x3）=x33x2，y=3x26x，令3x26x0 得0x2，故函数的单调递减区间是（0，2）故选：C【点睛】本题主要考查用导数求函数的单调区间的问题，属于基础题.3若函数的单调递减区间为，则实数的值为（ ）ABCD【答案】D【分析】由f（x）=3x2-a，f（x）的单调递减区间为（-1，1），可得方程3x2-a=0的根为1，即可得出【详解】由f（x）=3x2a，f（x）的单调递减区间为（1，1），可得方程3x2a=0的根为1，a=3故选：D【点睛】本题考查了利用导数研究函数
3、的单调性求参数的问题，属于基础题4已知函数均为上的可导函数，在上连续且，则的最大值为()ABCD【答案】A【解析】【分析】构造函数，通过函数的单调性求出函数的最值即可【详解】函数f（x），g（x）均为a，b上的可导函数，在a，b上连续令h（x）=f（x）g（x），则h（x）=f（x）g（x），f（x）g（x），h（x）0，函数h（x）是减函数，所以函数h（x）=f（x）g（x）在a，b上的最大值为：h（a）=f（a）g（a）故答案为：A【点睛】本题考查函数的导数的应用，函数的最值的求法，函数的单调性的判断，考查分析问题解决问题的能力5若函数yx3x2m在-2，1上的最大值为，则m等于（ ）A0
4、B1C2D【答案】C【分析】利用导数研究函数的单调性，找出最值，解方程即可得到答案.【详解】，易知，当时，当或时，所以函数yx3x2m在，上单调递增，在上单调递减，又当时，当时，所以最大值为，解得.故选：C6函数，若，则（ ）ABCD【答案】B【分析】求导，可得在的单调性，利用单调性，即可得答案.【详解】因为，所以，当时，则在为减函数，因为，所以，即，故选：B7若函数没有极值点，则实数a的取值范围是（ ）ABCD【答案】C【分析】先对函数求导，然后结合极值存在的条件转化为函数图象交点问题，分离参数后结合导数即可求解.【详解】由题意可得，没有零点，或者有唯一解（但导数在点的两侧符号相同），即没有
5、交点，或者只有一个交点但交点的两侧符号相同.令，则，令则在上单调递减且，所以当时，单调递增，当时，单调递减，故当时，取得最大值，又时，时，结合图象可知，即.故选：C.【点睛】方法点睛：已知函数没有极值点，求参数值(取值范围)常用的方法：（1）分离参数法：先求导然后将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（2）数形结合法：先求导然后对导函数变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.8设函数，若不等式对任意的都成立，则实数的取值范围是（ ）ABCD【答案】A【分析】由已知得，求出在上的单调性，然后，把问题不等式对任意的都成立，转化为对任意的恒成立
6、，然后，利用导数的单调性和极值来求出的范围【详解】解：由函数解析式知，在上单调递增，若不等式对任意的都成立，等价于对任意的恒成立，令，令，所以在单调递增，因为，故当时，单调递增；因为，所以，满足题意；当时，取，不满足；综上：实数的取值范围为，故选：A【点睛】本题考查利用导数的单调性和极值证明不等式恒成立问题，属于难题9函数的图象大致是（ ）ABCD【答案】A【分析】采用排除法进行排除，根据可知图象经过原点，以及导函数的符号判断函数的单调性，求出单调区间即可求解.【详解】根据，排除C，因为，由得或，可知在和单调递增，在单调递减，排除BD故选：A【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及
7、由函数解析式选择函数的图象，属于常考题型.10已知为偶函数，且，令，若时，关于的不等式的解集为（ ）A或BCD或【答案】C【分析】先对函数求导，根据题中条件，判定时，函数单调递增，根据函数奇偶性，得到在上单调递减；结合函数奇偶性与单调性，即可求出不等式的解集.【详解】因为，则，当时，所以，即函数在上单调递增；又为偶函数，所以在上单调递减；因为，所以，则不等式可化为，则，即，解得.故选：C.【点睛】本题主要考查由导数的方法判定函数单调性，考查由函数奇偶性与单调性解不等式，属于常考题型.11设，已知函数，对于任意，都有，则实数的取值范围为（ ）ABCD【答案】B【分析】令，用导数法得到在上递减；再
8、根据，则在上递减，然后再根据对任意，都有，由求解.【详解】设，则，当或时，递增；当时，递减；当时，所以在上递减；所以在上递减；所以因为任意，都有，所以，即，即，解得或，又，所以实数的取值范围为，故选：B【点睛】关键点点睛：本题关键有两点：一是对任意，都有等价于，二是在上的单调性，由，利用导数法求解.12已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）ABCD【答案】A【分析】先求导数，利用单调性转化为，构造新函数求解的最小值即可.【详解】，由题意可知在恒成立，即恒成立，设，时，为减函数；时，为增函数；的最小值为，所以，故选：A.【点睛】利用函数单调性求解参数时，通常转化为恒成立问题求解：（1）在
9、区间上单调递增等价于在区间上恒成立；（2）在区间上单调递减等价于在区间上恒成立.二、填空题13函数的极大值为_.【答案】【分析】先求函数的导函数，再解不等式和得函数的单调区间，进而由极值的定义求得函数的极值点和极值.【详解】可知，令，解得或，令，解得，在，单调递增，在单调递减，在处取得极大值.故答案为：.【点睛】利用导数工具求该函数的极值是解决该题的关键，要先确定出导函数等于零的实数x的值，再讨论出函数的单调区间，根据极值的判断方法求出该函数的极值，体现了导数的工具作用14已知函数在内为增函数，则的取值范围；_ ； .【答案】【分析】求出导函数使在恒成立即可求解,【详解】由，则因为函数在内为增
10、函数，则在恒成立，即在恒成立，所以.故答案为：15若在上恒成立，则实数的取值范围为_【答案】【分析】对已知不等式进行变形，利用换元法、构造函数法、常变量分离法，结合导数的性质进行求解即可.【详解】 (1)，令，因为，所以，则不等式化为：，设，当时，单调递减，当时，单调递增，因此当时，而，因此当时，因此，设，因此要想在上恒成立，只需，因为，所以，因此在时单调递减，所以，因此.故答案为：【点睛】本题考查了利用导数研究不等式恒成立问题，考查了数学运算能力.16已知，若存在实数，满足，则的最大值为_【答案】【分析】由，可得，由在上单调递增，可得，构造函数，利用导数求其最大值即可【详解】解：，且在上单调
11、递增，设，则，当时，；当时，在上单调递增，在上单调递减，故答案为：【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是将化为的形式，然后结合及的单调性得到关于，的式子三、解答题17若，求：（1）的单调增区间；（2）在上的最小值和最大值.【答案】(1) 增区间为;(2) .【解析】分析：（1）求导，解不等式得到的单调增区间；（2）求出极值与端点值，经比较得到在上的最小值和最大值.详解：（1），由 解得，的增区间为；（2）， （舍）或，, , ， 点睛：函数的最值(1)在闭区间上连续的函数f(x)在上必有最大值与最小值(2)若函数f(x)在上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x
12、)在上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值18如图，已知点，直线与函数的图象交于点，与轴交于点，记的面积为.（1）求函数的解析式；（2）求函数的最大值.【答案】（1）；（2）8.【分析】（1）根据题中条件，得到，进而可求出函数解析式；（2）对函数求导，根据导数的方法，即可求出最值.【详解】（1）由题意，可得：， 所以的面积为，. （2）由（1）可得， 由得， 函数与在定义域上的情况如下：3+0极大值所以当时，函数取得极大值，也是最大值8.【点睛】思路点睛：导数方法求函数最值时，需要先对函数求导，根据导数的方法研究函数的单调性，由函数在给定区间的单调性，即可求出极值，从而可
13、得最值.19已知函数曲线在点处的切线方程为.（1）求的值；（2）证明：当且时，.【答案】（）， （）略【分析】先对函数求导，利用切线方程求出切线的斜率及切点，利用函数在切点处的导数值为曲线切线的斜率及切点也在曲线上，列出方程组，求出的值将不等式变形，构造新函数，求出新函数的导数，判断出导函数的符号，得到函数的单调性，从而得证【详解】（1）由于直线的斜率为，且过点，故即解得，.（2）由（1）知f(x)=所以考虑函数则h(x)=所以x1时h(x)0而h(1)=0,故x时h(x)0可得,x h(x)0可得,从而当，且时，.【点睛】本题考查了导函数的几何意义，在切点处的导数值为切线的斜率，考查了通过判
14、断导函数的符号判断出函数的单调性，通过求函数的最值证明不等式的恒成立，属于中档题20已知函数在处取得极值，且，（1）求常数，的值；（2）求函数极大值和极小值.【答案】（1）；（2）极大值；极小值.【分析】（1）先对函数求导，根据极值点，以及，列出方程组求解，即可求出结果；（2）由（1）得到，对其求导，用导数的方法判定其单调性，进而可求出极值.【详解】（1）因为，所以，又函数在处取得极值，且所以，解得：；（2）由（1）得，则，由得或；由得；因此在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，因此当时，取得极大值；当时，取得极小值.【点睛】本题主要考查由函数极值点求参数，考查导数的方法求函数的极值，属于
15、常考题型.21已知函数（1）若在点处的切线与直线垂直，求实数的值（2）求函数的单调区间；（3）讨论函数在区间上零点的个数【答案】（1）；（2）当时，函数的单调递增区间为；当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为 ；（3）当时，在区间上有两个零点；当或时，在区间上没有零点； 当或时，在区间上有一个零点【解析】试题分析：（1）对求导，令在点处的导数等于直线的斜率即可求得的值；（2）由（1）知对求导，分和讨论即可得到函数的单调区间；（3）由（2）可知在区间上单调的单调性，分，及的， 诸情况讨论即可得到函数在区间上零点的个数情况.试题解析：（1）的定义域为，由于直线的斜率为，（2）由（1）知当时，在
16、上单调递增 当时，由，得 ，由，得在上单调递增，在上单调递减 综上所述：当时，函数的单调递增区间为；当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为（3）由（2）可知当时，在区间上单调递增，在区间上没有零点当时，在区间上单调递增，在区间上有一个零点当时，若即时，在区间上单调递减，在区间上没有零点 若，即时，在上单调递增，在上单调递减 ，若，即时，在区间上没有零点若，即时，在区间上有一个零点若，即时，由得，此时在区间上有一个零点由得，此时在区间上有两个零点若即时，在区间上单调递增，在区间上有一个零点综上所述，当或时，在区间上有一个零点当时，在区间上有两个零点当或时，在区间上没有零点 考点：利用导数研究
17、函数的性质22已知函数，（1）若为负实数, 求函数的极值；（2）若不等式对恒成立，求的取值范围【答案】（1）当时，没有极值；当时，；当时，（2）【分析】（1）首先求出的解析式，再求出导函数，再对参数分类讨论，求出函数的单调区间与极值；（2）设（）求出函数的导函数，依题意在时恒成立即可，从而求出参数的取值范围；【详解】解：（1），的定义域为，即时，在和上递增，在上递减，；，即时，在上递增，没有极值；，即时，在和上递增，在上递减，综上可知：当时，没有极值；当时，；当时，（2）设（），设，则， ，在上递增，的值域为，当时，为上的增函数，适合条件；当时，不适合条件；当时，对于，令，存在，使得时，在上单调递减，即在时，不适合条件综上，的取值范围为【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理21原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！