《专题12数列求和问题 (解析版).docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《专题12数列求和问题 (解析版).docx（34页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、 专题12 数列求和问题 解析版 一、数列求和的常用方法知识框架 二、数列求和方法 【一】公式求和法1.等差数列前n项和 2.等比数列前n项和 公比含字母时一定要讨论3.其他常用求和公式； ； 1.例题【例1】求12222n的和.【解析】这是一个首项为1，公比为2的等比数列前n1项的和，所以12222n2n11.（这里容易弄错项数）【例2】已知等比数列an中，a34，S312，求数列an的通项公式.【解析】当q1时，a34，a1a2a34，S3a1a2a312，所以q1符合题意，an4.当q1时，解得q，ana3qn3n5.故数列通项公式为an4或ann5.【注意：上述解法中忽视了等比数列前n
2、项和公式中q1这一特殊情况.】【例3】在公差为的等差数列中，已知10，且，22，5成等比数列(1)求，；(2)若0，求|.【解析】(1)由题意得5(22)，即 所以或.所以或.(2)设数列的前n项和为.因为0)，则ana1qn1，且an0，由已知得化简得即又a10，q0，a11，q2，数列an的通项公式为an2n1.(2)由(1)知bnalog2an 4n1n1，Tn(14424n1)(0123n1).【练习2】已知数列是等差数列，满足，数列是公比为等比数列，且（1）求数列和的通项公式；（2）求数列的前项和【解析】（1）数列是等差数列,满足，公差.数列的通项公式为. 因为，又因为数列是公比为等
3、比数列，. . （2）.【三】奇偶并项求和法奇偶并项求和的基本思路：有些数列单独看求和困难，但相邻项结合后会变成熟悉的等差数列、等比数列求和.但当求前n项和而n是奇数还是偶数不确定时，往往需要讨论.1.例题【例1】求和122232429921002.【解析】122232429921002(1222)(3242)(9921002)(12)(12)(34)(34)(99100)(99100)(123499100)5 050.【例2】已知正项等比数列an的前n项和为Sn，且S26，S430，nN*，数列bn满足bnbn1an，b11.(1)求an，bn；(2)求数列bn的前n项和Tn.【解析】(1)
4、设正项等比数列an的公比为q(q0)，由题意可得a1a1q6，a1a1qa1q2a1q330，解得a1q2(负值舍去)，可得ana1qn12n，由bnbn1an2n，b11，可得b22，即有bn1bn2an12n1，可得2，可得数列bn中奇数项、偶数项分别为公比为2的等比数列，即有(2)当n为偶数时，前n项和为Tn(12)(24)3()n3；当n为奇数时，前n项和为TnTn13()n-13()n+33.综上可得，Tn 2.巩固提升综合练习【练习1】已知为数列的前项和，且满足，则_【解析】由知，当时，所以，所以数列所有的奇数项构成以3为公比的等比数列，所有的偶数项也构成以3为公比的等比数列又因为
5、，所以，所以【练习2】已知函数，且，则_【答案】【解析】当为奇数时，.当为偶数时，.所以【四】倒序相加法求和这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个.1.例题【例1】求和【解析】设 +得，所以【例2】设， .【解析】由于，故原式.2.巩固提升综合练习【练习1】已知正数数列是公比不等于1的等比数列，且，若，则（ ）A2018 B4036 C2019 D4038【解析】正数数列是公比不等于1的等比数列，且，即.函数，令，则， 故选C.【练习2】已知函数，若 ，则的最小值为（ ）A B C D【解析】由题知令又于是有 因此所以当
6、且仅当时取等号。本题正确选项：【五】错位相减求和数列anbn的前n项和，其中 an 、 bn 分别是等差数列和等比数列. 求和时一般在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比；然后再将得到的新和式和原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和，这种方法就是错位相减法。1.例题【例1】求和：121222323n2n，nN*.【解析】设Sn121222323n2n，则2Sn122223(n1)2nn2n1，Sn2122232nn2n1n2n12n12n2n1(1n)2n12，Sn(n1)2n12.【例2】在数列，中，.等差数列的前两项依次为，.（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和.【解析】（
7、1），则的公差为故的通项公式为.（2），得.又，从而是首项为2，公比为2的等比数列，故.，即，即.2.巩固提升综合练习【练习1】求和：【解析】当时，当时，当且时， 得 所以【练习2】已知数列an满足an0，a1，anan12anan1，nN+.(1)求证：是等差数列，并求出数列an的通项公式；(2)若数列bn满足bn，求数列bn的前n项和Tn.【解】(1)由已知可得，2，是首项为3，公差为2的等差数列，32(n1)2n1，an.(2)由(1)知bn(2n1)2n，Tn32522723(2n1)2n1(2n1)2n2Tn322523724(2n1)2n(2n1)2n1得，Tn622222322n
8、(2n1)2n16(2n1)2n12(2n1)2n1，Tn2(2n1)2n1.【练习3】已知等比数列的前项和为，若，则数列的前项和为（ ）A B C D【解析】当 时，不成立，当 时， ，两式相除得 ，解得： ， 即 ， ， ， ，两式相减得到： ，所以 ，故选D.【练习4】已知数列是公差不为0的等差数列，且成等比数列.(1)求的通项公式;(2)若,求的前项和.【解析】（1）数列是公差不为0的等差数列，且，成等比数列，解得，或（舍，（2），得，【六】裂项求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.
9、 通项分解（裂项）如：（1） 一般（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）1.例题 【例1】已知等差数列为递增数列，且满足,（1）求数列的通项公式；（2）令，为数列的前n项和，求【解析】（1）由题意知，或为递增数列，故数列的通项公式为（2）.【例2】求和：，n2，nN*.【解析】，原式(n2，nN*).【例3】已知数列的前项和满足，且.（1）证明数列为等差数列，并求的通项公式；（2）设，为数列的前项和，求使成立的最小正整数的值.【解析】（1） 当时，来源:学科网又，所以，当时，所以，可得，所以为等差数列.又，得，又，所以.（2），所以.要使，即，解得，所以.【例4】已知数列的通项公式为，求它
10、的前n项和。解：设则所以，解得，所以2.巩固提升综合练习【练习1】设数列是公差不为零的等差数列，其前项和为，.若，成等比数列.（I）求及；（）设， 求数列的前项和.【解析】（）由题意，得，即，解得，所以，；（）因为，所以.【练习2】在数列an中，已知a11，且，nN*.(1)记bn(an1)2，nN*，证明数列bn是等差数列；(2)设bn的前n项和为Sn，证明.【解析】证明：(1)，因为bn1bn2，所以数列bn是以3为首项，2为公差的等差数列(2)由(1)得Snn(n2)，所以所以.【练习3】已知数列的首项，前项和为，且（）设，证明数列是等比数列；（）设，求的前项和的取值范围.【解析】（）由
11、知：当时两式相减得：来源:学.科.网 又 ， 故是公比为，首项为的等比数列（）由（）知：由 得： 是单调递增的，故 的取值范围是【练习4】已知数列的前项和，等比数列的公比，且，是，的等差中项.（1）求数列和的通项公式；（2）求数列的前项和.【解析】（1）解：，时，.又时，满足上式，来源:学科网ZXXK又，解得，.（2），【七】其他方法1.例题 【例1】已知数列满足对时，其对，有，则数列的前50项的和为_【答案】【解析】数列an满足对1n3时，an=n，且对nN*，有an+3+an+1=an+2+an，可得a1=1，a2=2，a3=3，a4=1+32=2，a5=2+23=1，a6=2，a7=3，
12、a8=2，a9=1，a10=2，则数列an为周期为4的数列，且以1，2，3，2反复出现，可得数列nan的前50项的和为（1+5+49）+2（2+6+50）+3（3+7+47）+2（4+8+48）=（1+49）13+2（2+50）13+3（3+47）12+2（4+48）12=2525故答案为：2525【例2】数列的首项为1，其余各项为1或2，且在第个1和第个1之间有个2，即数列为：1，2，1，2，2，2，1，2，2，2，2，2，1，记数列的前项和为，则_（用数字作答）【答案】3993【解析】第个1为数列第项，当时；当时；所以前2019项有45个1和个2，因此【例3】若数列满足， ，数列的通项公式
13、 ，则数列的前10项和_【答案】【解析】由，当n=1，代入得-4,依次得发现规律， 利用，得b=- ， ，求出.故答案为：【例4】等差数列中，.若记表示不超过的最大整数，（如）.令，则数列的前2000项和为_【答案】5445.【解析】设等差数列an的公差为d，a3+a4=12，S7=492a1+5d=12，d=49，解得a1=1，d=2an=1+2（n1）=2n1bn=lgan=lg（2n1），n=1，2，3，4，5时，bn=06n50时，bn=1；51n500时，bn=2；501n2000时，bn=3数列bn的前2000项和=45+4502+15003=5445故答案为：5445.【例5】“
14、斐波那契”数列由十三世纪意大利数学家斐波那契发现数列中的一系列数字常被人们称之为神奇数具体数列为1，1，2，3，5，8，即从该数列的第三项数字开始，每个数字等于前两个相邻数字之和已知数列为“斐波那契”数列，为数列的前项和，若则_(用M表示)【答案】【解析】由“斐波那契”数列可知 。所以 ，来源:学科网ZXXK所以 三、课后自我检测 1已知是上的奇函数，则数列的通项公式为 ( )A B C D【解析】由在上为奇函数，知，令，则，得到由此能够求出数列的通项公式由题已知是上的奇函数故，代入得： 函数关于点对称，令，则，得到， 倒序相加可得，即 ，故选：B2设f(x)是R上的奇函数，当x0时，f(x)
15、2xln，记anf(n5)，则数列an的前8项和为_【答案】16【解析】数列an的前8项和为f(4)f(3)f(3)f(4)(f(3)f(3)(f(2)f(2)(f(1)f(1)f(0)f(4)f(4)16.3.求和：Sn1357(1)n(2n1).【解析】当n为奇数时，Sn(13)(57)(911)(2n5)(2n3)(2n1)2(2n1)n.当n为偶数时，Sn(13)(57)(2n3)(2n1)2n.Sn(1)nn (nN*).4已知等差数列和等比数列满足a1=b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5（1）求的通项公式；（2）求和：【解析】（1）设等差数列an的公差为d.因为a2+a4=
16、10，所以2a1+4d=10.解得d=2.所以an=2n1.（2）设等比数列的公比为q.因为b2b4=a5，所以b1qb1q3=9.解得q2=3.所以.从而.5等差数列的前项和为，已知，公差为大于0的整数，当且仅当=4时，取得最小值.（1）求公差及数列的通项公式；（2）求数列的前20项和.（1）设的公差为，则由题可知：. ，即. 解得.因为为整数，=2 所以数列的通项公式为 （2）当时，；当时， =272 来源:Z&xx&k.Com6已知数列满足：，.（1）求、；（2）求证：数列为等比数列，并求其通项公式；（3）求和.【解析】（1）， ，可得；，；（2）证明：，可得数列为公比为，首项为等比数列
17、，即；（3）由（2）可得，7已知数列是首项为，公差为的等差数列.（1）若，数列的前项积记为，且，求的值；（2）若，且恒成立，求的通项公式.【解析】（1）设的前项和为，则，令；（2）当时，或（舍）.当时，解得或.若，当时，解得或（舍去）.此时不成等差数列，故舍去.当时，依题意可知：数列是等差数列，故，；8已知数列有，是它的前项和，且（1）求证：数列为等差数列.（2）求的前项和.【解析】（1）当时，所以，两式对应相减得，所以又n=2时，所以，所以，所以数列为等差数列.（2）当为偶数时，当为奇数时，综上：9已知数列满足,.（1）证明:数列为等比数列;（2）求数列的前项和.【解析】（1） ， ，则，又
18、，是以为首项，为公比的等比数列.（2）由（1）知，故其前项和为:. 数列的前项和为:.10在正项等比数列中，且成等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，求数列的前项和【解析】设正项等比数列an的公比为(,（1）,所以 q2，(舍去)，所以；（2），得，.11已知正项数列其前n项和满足，且是和的等比中项.（1）求证：数列为等差数列，并计算数列的通项公式；（2）符号x表示不超过实数x的最大整数，记 ，求.【分析】（1）由得，从而得到，由此利用是和的等比中项，能求出数列的通项公式（2）由，令，得到，由此利用错位相减法能求出.【解析】（1）正项数列，前n项和Sn满足，由-，得，整理，得，是
19、正数数列，是公差为4的等差数列，由得或，当 时，不满足是和的等比中项，当时，满足是和的等比中项，.（2），由符号x表示不超过实数x的最大整数，知当时，令，-，得，.12已知公差不为0的等差数列的前n项和为，且，成等比数列（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前n项和公式【解析】（1）公差d不为0的等差数列的前n项和为，可得，且，成等比数列，可得，即，解得，则；，则数列的前n项和为13已知正项数列an的前n项和为Sn，a11，且(t1)Sna3an2(tR)(1)求数列an的通项公式；(2)若数列bn满足b11，bn1bnan1，求数列的前n项和Tn.【解析】(1)因为a11，且(t1)Sna3
20、an2，所以(t1)S1a3a12，所以t5.所以6Sna3an2. ()当n2时，有6Sn1a3an12，()得6ana3ana3an1，所以(anan1)(anan13)0，因为an0，所以anan13，又因为a11，所以an是首项a11，公差d3的等差数列，所以an3n2(nN+)(2)因为bn1bnan1，b11，所以bnbn1an(n2，nN+)，所以当n2时，bn(bnbn1)(bn1bn2)(b2b1)b1anan1a2b1.又b11也适合上式，所以bn(nN+)所以，所以Tn.14已知数列与的前项和分别为和，且对任意恒成立（1）若，求；（2）若对任意，都有及成立，求正实数的取值
21、范围【分析】（1）根据可得再由，利用等差数列的通项公式求和公式即可得出（2）对任意，即，数列是等比数列，公比为2又利用成立，及其数列的单调性即可得出【解析】（1），时，时，时适合上式，又数列是等差数列，首项为2，公差为1（2）对任意，都有，数列是等比数列，公比为2又成立，对任意，都成立，正实数的取值范围是15已知数列的首项，其前和为，且满足.（1）用表示的值；（2）求数列的通项公式；（3）当时，证明：对任意，都有.【分析】（1）令即可求解；（2）当时，通过作差法可求得，再书写一项，通过两式作差可得，分类讨论的奇偶，即可求解；（3）可结合放缩法公式，分别对化简后的表达式进行放缩，再结合裂项公式，的特点即可进一步求解【解析】（1）由条件得，.（2）法一：由条件得，两式相减得，故，两式再相减得，构成以为首项，公差为的等差数列；构成以为首项，公差为的等差数列；由（1）得；由条件得，得，从而，法二：设，即则有时，即（3）证明：当时，且，由（2）可知当时，当时，.