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1、 专题12 数列求和问题 解析版 一、数列求和的常用方法知识框架 二、数列求和方法 【一】公式求和法1.等差数列前n项和 2.等比数列前n项和 公比含字母时一定要讨论3.其他常用求和公式； ； 1.例题【例1】求12222n的和.【例2】已知等比数列an中，a34，S312，求数列an的通项公式.【例3】在公差为的等差数列中，已知10，且，22，5成等比数列(1)求，；(2)若0，求|.2.巩固提升综合练习【练习1】在中插入个数，使它们和组成等差数列，则（）A B C D【练习2】记Sn为等差数列an的前n项和，已知a17，S315.(1)求an的通项公式；(2)求Sn，并求Sn的最小值【练习
2、3】在平面直角坐标系中，已知，.（1）若，求的值；（2）若，求的坐标；【练习4】公差不为0的等差数列的前项和为，且成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）求的前10项和【二】分组求和法分组分解求和的基本思路：通过分解每一项重新组合，化归为等差数列和等比数列求和.1.例题【例1】求和：123.【例2】求数列1,1a,1aa2，1aa2an1，的前n项和Sn.(其中a0，nN*)【例3】 求和2.巩固提升综合练习【练习1】已知数列an是各项均为正数的等比数列，且a1a22，a3a432.(1)求数列an的通项公式；(2)设bnalog2an，求数列bn的前n项和Tn.【练习2】已知数列是等差数列
3、，满足，数列是公比为等比数列，且（1）求数列和的通项公式；（2）求数列的前项和【三】奇偶并项求和法奇偶并项求和的基本思路：有些数列单独看求和困难，但相邻项结合后会变成熟悉的等差数列、等比数列求和.但当求前n项和而n是奇数还是偶数不确定时，往往需要讨论.1.例题【例1】求和122232429921002.【例2】已知正项等比数列an的前n项和为Sn，且S26，S430，nN*，数列bn满足bnbn1an，b11.(1)求an，bn；(2)求数列bn的前n项和Tn. 2.巩固提升综合练习【练习1】已知为数列的前项和，且满足，则_【练习2】已知函数，且，则_【四】倒序相加法求和这是推导等差数列的前n
4、项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个.1.例题【例1】求和【例2】设， .2.巩固提升综合练习【练习1】已知正数数列是公比不等于1的等比数列，且，若，则（ ）A2018 B4036 C2019 D4038【练习2】已知函数，若 ，则的最小值为（ ）A B C D【五】错位相减求和数列anbn的前n项和，其中 an 、 bn 分别是等差数列和等比数列. 求和时一般在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比；然后再将得到的新和式和原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和，这种方法就是错位相减法。1.例题【例1】求和：121222323n2
5、n，nN*.【例2】在数列，中，.等差数列的前两项依次为，.（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和.2.巩固提升综合练习【练习1】求和：【练习2】已知数列an满足an0，a1，anan12anan1，nN+.(1)求证：是等差数列，并求出数列an的通项公式；(2)若数列bn满足bn，求数列bn的前n项和Tn.【练习3】已知等比数列的前项和为，若，则数列的前项和为（ ）A B C D【练习4】已知数列是公差不为0的等差数列，且成等比数列.(1)求的通项公式;(2)若,求的前项和.【六】裂项求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使
6、之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：（1） 一般（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）1.例题 【例1】已知等差数列为递增数列，且满足,（1）求数列的通项公式；（2）令，为数列的前n项和，求【例2】求和：，n2，nN*.【例3】已知数列的前项和满足，且.（1）证明数列为等差数列，并求的通项公式；（2）设，为数列的前项和，求使成立的最小正整数的值.【例4】已知数列的通项公式为，求它的前n项和。2.巩固提升综合练习【练习1】设数列是公差不为零的等差数列，其前项和为，.若，成等比数列.（I）求及；（）设， 求数列的前项和.【练习2】在数列an中，已知a11，且，nN*.(1
7、)记bn(an1)2，nN*，证明数列bn是等差数列；(2)设bn的前n项和为Sn，证明.【练习3】已知数列的首项，前项和为，且（）设，证明数列是等比数列；（）设，求的前项和的取值范围.【练习4】已知数列的前项和，等比数列的公比，且，是，的等差中项.（1）求数列和的通项公式；（2）求数列的前项和.【七】其他方法1.例题 【例1】已知数列满足对时，其对，有，则数列的前50项的和为_【例2】数列的首项为1，其余各项为1或2，且在第个1和第个1之间有个2，即数列为：1，2，1，2，2，2，1，2，2，2，2，2，1，记数列的前项和为，则_（用数字作答）【例3】若数列满足， ，数列的通项公式 ，则数列
8、的前10项和_【例4】等差数列中，.若记表示不超过的最大整数，（如）.令，则数列的前2000项和为_【例5】“斐波那契”数列由十三世纪意大利数学家斐波那契发现数列中的一系列数字常被人们称之为神奇数具体数列为1，1，2，3，5，8，即从该数列的第三项数字开始，每个数字等于前两个相邻数字之和已知数列为“斐波那契”数列，为数列的前项和，若则_(用M表示) 三、课后自我检测 1已知是上的奇函数，则数列的通项公式为 ( )A B C D2设f(x)是R上的奇函数，当x0时，f(x)2xln，记anf(n5)，则数列an的前8项和为_3.求和：Sn1357(1)n(2n1).4已知等差数列和等比数列满足a
9、1=b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5（1）求的通项公式；（2）求和：5等差数列的前项和为，已知，公差为大于0的整数，当且仅当=4时，取得最小值.（1）求公差及数列的通项公式；（2）求数列的前20项和.6已知数列满足：，.（1）求、；（2）求证：数列为等比数列，并求其通项公式；（3）求和.7已知数列是首项为，公差为的等差数列.（1）若，数列的前项积记为，且，求的值；（2）若，且恒成立，求的通项公式.8已知数列有，是它的前项和，且（1）求证：数列为等差数列.（2）求的前项和.9已知数列满足,.（1）证明:数列为等比数列;（2）求数列的前项和.10在正项等比数列中，且成等差数列.（1）求数
10、列的通项公式；（2）若数列满足，求数列的前项和11已知正项数列其前n项和满足，且是和的等比中项.（1）求证：数列为等差数列，并计算数列的通项公式；（2）符号x表示不超过实数x的最大整数，记 ，求.12已知公差不为0的等差数列的前n项和为，且，成等比数列（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前n项和公式13已知正项数列an的前n项和为Sn，a11，且(t1)Sna3an2(tR)(1)求数列an的通项公式；(2)若数列bn满足b11，bn1bnan1，求数列的前n项和Tn.14已知数列与的前项和分别为和，且对任意恒成立（1）若，求；（2）若对任意，都有及成立，求正实数的取值范围15已知数列的首项，其前和为，且满足.（1）用表示的值；（2）求数列的通项公式；（3）当时，证明：对任意，都有.